Tavola 1

Introduzione
 
 

Questa tavola ha come obiettivo quello di presentare meglio quanto detto nella pagina di teoria.

L'algoritmo di De Casteljeu sarà presentato mediante un semplice esempio con una griglia quadrata di 16 punti ottenendo perciò una supericie cubica.

Dato questo esempio e la teoria, la generalizzazione dovrebbe essere immediata.

L'esempio sarà corredato da immagini e da riferimenti teorici
 
 
 
 

Algoritmo di De Casteljeu
 
 

Consideriamo una griglia come in figura, essa rappresenta la proiezione ortogonale su piano (u,v) del poliedro di controllo della superficie di Bézier che intendiamo costruire. In generale non è detto che la griglia debba essere così regolare, abbiamo scelto questo caso per semplicità. Fissiamo una coppia di valori (u,v) in [0,1]x[0,1].
 
 



Consideriamo il quadrilatero definito dalla quaterna di punti:
 
 


Si tenga present e che la figura rappresenta solo la proiezione ortogona- le dei 4 punti sul piano (u,v), nello spazio i 4 punti in questione non saranno in generale complanari.
Individuiamo ora sul segmento P0,0 -- P0,1 un punto A1 e sul segmento P1,0 -- P1,1 un punto B1 in modo che i rapporti semplici (P0,0,A1,P0,1),(P1,0,B1,P1,1) e (0,u,1) siano uguali. Individuiamo poi sul segmento P0,0 -- P1,0 un punto A2 e sul segmento P0,1 -- P1,1 un punto B2 in modo che i rapporti semplici (P0,0,A2,P1,0),(P0,1,B2,P1,1) e (0,v,1) siano uguali.
I segmenti A1 -- B1 e A2 -- B2 si intersecano in un nuovo punto del quale in figura è mostrata la proiezione ortogonale sul piano (u,v).
 
 



Ripetiamo questo procedimento per tutti i quadrilateri della griglia ottenendo così un'altra griglia 3x3 detta poliedro di 1°livello:
 
 



Ripetendo quanto fatto sopra sul poliedro di 1&de g; livello si ottiene il poliedro di 2° livello che nel nostro esempio non è altro che un quadrilatero
 
 



L'ultima iterazione porta ad individuare il punto della superficie di Bezier immagine del punto (u,v):
 
 



Utilizzando questo algoritmo per ogni (u,v) in [0,1]x[0,1] si ottiene la superficie cercata.


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Dario Cozzi
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