Editor grafico per trasformazioni geometriche

 

Trasformazioni geometriche piane

Nello studio delle trasformazioni geometriche si utilizza opportunamente la teoria degli omomorfismi. Poiché si tratta di lavorare non negli spazi vettoriali, ma negli spazi affini, non si parlerà però di omomorfismi ma di affinità; poiché i sottospazi dello spazio affine sono i laterali dei sottospazi dello spazio vettoriale, le affinità dovranno trasformare sottospazi affini ancora in sottospazi affini e poiché si parla di trasformazioni, in particolare si useranno gli isomorfismi degli spazi vettoriali.

Definizione. Si chiama collineazione una trasformazione geometrica che muta una retta in una retta, quindi le affinità sono particolari collineazioni. Ogni affinità si individua mediante equazioni vettoriali della forma

x = Av + w

con A matrice quadrata invertibile (detA ≠ 0). Si noti che la prima parte dell'equazione x = Av è un isomorfismo f dello spazio vettoriale (per cui f(0) = 0); la seconda parte (+ w) indica in quale punto viene trasportata l'origine del sistema di riferimento del piano.

Isometrie

Definizione. Si dice isometria una trasformazione geometrica f che conserva le distanze, cioè tale che, comunque scelta una coppia A e B di punti del piano (o dello spazio), risulti d(A, B) = d(f(A),f(B)).

  • Ogni isometria è una collineazione.
  • Ogni isometria trasforma un segmento in un segmento.
  • Ogni isometria trasforma una semiretta in una semiretta.
  • La composizione di due isometrie è ancora una isometria.

Si dimostra che la richiesta di conservare le distanze (e quindi gli angoli) coincide col chiedere che la matrice A sia ortogonale, il che significa che i vettori colonna di A devono essere a due a due ortogonali e di modulo 1.

Questo fa sì che una base ortonormale (versori a due a due ortogonali) venga trasformata ancora in una base ortonormale.

La condizione di ortogonalità della matrice si può rappresentare in blocco con la condizione ATA=I, da cui si ricava che deve essere detA = ±1. (non è vero il viceversa!) Se risulta detA = 1 l'isometria è detta diretta, o pari, se detA = -1 è detta indiretta, dispari, invertente o inversa (quest'ultimo termine, che è quello storico, può confondere). Nel primo caso una figura F può essere trasportata sulla figura trasformata F' con un movimento rigido, nell'altro è una sua immagine speculare.

Allora un'affinità f risulta essere un'isometria se e solo se la matrice che la caratterizza (ottenuta accostando i trasformati di vettori fondamentali della base canonica, cioè per cui i' = f(i) = e j' = f(j) = ) ha una delle due forme:

i vettori i e j e i loro trasformati i' e j' sono rappresentati, nei due casi, nelle figure seguenti.

Osserviamo che la prima matrice, che ha determinante 1, rappresenta un'isometria diretta (l'angolo tra i' e j' è 90°) mentre la seconda, che ha determinante -1, una isometria invertente (l'angolo tra i' e j' è -90°, secondo la definizione data di angolo orientato).

Studiamo separatamente i vari tipi di isometrie.

Traslazione

Definizione. Consideriamo un vettore v. Si dice traslazione τ di vettore v la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano affine che associa ad un punto qualsiasi A del piano il punto A' tale che il vettore AA' sia equipollente a v.

Proprietà

  • Ogni traslazione trasforma una retta in una retta parallela.
  • Ogni traslazione, esclusa l'identità, non ha punti uniti.
  • Rette unite sono tutte e sole le rette parallele al vettore della traslazione.
  • Il prodotto di due traslazioni è una traslazione.

Equazione vettoriale: x'=x+v ⇒ x'= Ix+v

Passando alle componenti si hanno le equazioni τ:

l'equazione matriciale della traslazione di vettore v

Rotazione

Definizione. In un piano si chiama rotazione ρ di centro O individuata dall'angolo orientato α, la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che:

  • al punto O associa il punto stesso,
  • ad ogni altro punto A associa il punto A' tale che
    • l'angolo tra OA e OA' sia congruente e concorde ad α
    • i segmenti OA e OA' siano congruenti.

Proprietà

  • Sia AB un segmento ed A'B' il suo trasformato nella rotazione ρ di centro O ed angolo α. L'angolo formato tra AB e A'B' è uguale ad α.
  • Dati due segmenti congruenti AB ed A'B' esiste una rotazione ρ tale che ρ(AB) = A'B', o una traslazione τ se AB e A'B' sono equipollenti.
  • Unico punto unito di una rotazione diversa dalla identità è il suo centro O.
  • In una rotazione ρ diversa dalla identità e dalla rotazione di angolo α=180° non esistono rette unite.
  • Il prodotto di due rotazioni con centro comune O ed angolo orientato rispettivamente α e β, è una rotazione attorno allo stesso centro O, di angolo orientato α + β.
  • Il prodotto di due rotazioni con centri O' e O'' ed angoli orientati α e β, è una rotazione di angolo orientato α + β se α + β ≠ 0 (mod 360°); ed è una traslazione se α + β ≡ 0 (mod 360°).
  • Il prodotto di una traslazione τ di vettore v e di una rotazione ρ di centro O ed angolo orientato α è una rotazione di angolo orientato α.

Costruiamone la matrice associata: risulta

dunque la trasformazione è data dalle equazioni vettoriali

e la matrice associata è

Supponiamo invece di dover determinare una rotazione di centro C ≠(x0,y0) e di angolo θ.

    Consideriamo:
  • la traslazione τ che porta il punto C nell'origine O,
  • la rotazione ρ di centro O e angolo θ
  • il prodotto ρ2 = t-1 • r • τ

Per le proprietà sopra esposte, questa è una rotazione, di angolo θ e di centro C.

Simmetria assiale

Consideriamo una retta r ed un punto qualsiasi P non appartenente ad r; conduciamo da P la perpendicolare s ad r ed indichiamo con H il suo piede. Consideriamo il punto P ' tale che

HP = -HP' .

Il punto P ' si dice simmetrico di P rispetto alla retta r detta asse di simmetria. Il simmetrico di un punto P dell'asse è il punto stesso.

Definizione. Si chiama simmetria assiale di asse r, la corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa il punto P ' simmetrico di P rispetto ad r.

Proprietà

  • Ogni simmetria assiale scambia tra loro punti corrispondenti, cioè è involutoria.
  • Sono rette unite tutte e sole le rette perpendicolari all'asse r, oltre ovviamente all'asse stesso, che è luogo di punti uniti.
  • Rette corrispondenti si incontrano sull'asse o sono entrambe parallele all'asse stesso.
  • Sono direzioni unite la direzione dell'asse e quella delle rette perpendicolari all'asse.
  • Ogni simmetria assiale conserva le ampiezze degli angoli ma ne cambia l'orientamento.
  • Il prodotto di due simmetrie aventi lo stesso asse è l'identità.

Matrici in casi particolari: poiché le colonne della matrice della trasformazione sono le componenti dei trasformati di i e j rispettivamente, si ha:

  • simmetria rispetto all'asse x (per cui i'=i, j'=-j)

  • simmetria rispetto all'asse y (per cui i'=-i, j'=j)

  • simmetria rispetto alla bisettrice b ' del primo e terzo quadrante (per cui i'=i, j'=j)

  • simmetria rispetto alla bisettrice b '' del secondo e quarto quadrante (per cui i'=-i, j'=-j)

In tutti e quattro i casi il determinante della matrice della trasformazione vale -1, infatti la simmetria assiale è una isometria invertente.

Se l'asse di simmetria è una retta qualsiasi passante per l'origine, calcoliamo le componenti di i' e j'.

Sia r l'asse di simmetria e sia α l'angolo che tale retta forma con l'asse x.

e quindi l'equazione matriciale è

Glissoriflessione

Definizione. Le antitraslazioni (o, equivalentemente, glissosimmetrie, glissoriflessioni, simmetrie con scorrimento) sono quelle isometrie del piano euclideo che si ottengono da una simmetria assiale S composta con una traslazione T lungo una retta parallela all'asse di S.

Proprietà

  • Quando si va a comporre S con una traslazione T di direzione perpendicolare all'asse di S, d non cambia; aggiungendo che la composizione di traslazioni è commutativa, si ha che, per ogni punto X,S(T(X)) = T(S(X)), ovvero SoT=ToS. In sostanza, si può associare ogni punto con un rettangolo: l'antitraslazione è la diagonale, se si compone simmetria e traslazione in un senso si fa percorrere al punto lati adiacenti, se si inverte l'ordine di composizione gli si fa percorrere gli altri due lati.
  • Una simmetria assiale può essere considerata come un caso particolare di antitraslazione, in cui la componente della traslazione ha modulo 0 (è l'identità).

Omotetia

Definizione. Fissato in un piano un punto O e un numero reale k≠0 chiamiamo omotetia di centro O e rapporto k, la trasformazione ω del piano in sé che ad ogni punto A del piano associa il punto A' tale che risulti OA' = kOA.

Proprietà

  • Ogni omotetia ω è una collineazione, quindi una retta è trasformata in una retta.
  • Le omotetie trasformano una retta in una retta parallela, equiversa se k > 0, con verso opposto se k < 0.
  • Un'omotetia ω di rapporto k = 1 è la trasformazione identica, un'omotetia ω di rapporto k = -1 è una simmetria centrale rispetto al centro O dell'omotetia; solo per tali due valori del rapporto l'omotetia è una isometria.
  • In un'omotetia diversa dalla trasformazione identica, il centro O è l'unico punto unito; sono rette unite tutte e sole le rette passanti per O.
  • Ogni omotetia ω conserva le ampiezze degli angoli e il loro orientamento.
  • Il prodotto di un'omotetia di rapporto k≠1 e di una traslazione è una omotetia di rapporto k.

Per determinarne la matrice associata, supponiamo che il centro della omotetia ω sia l'origine O e sia k il rapporto.

I due versori i e j vengono trasformati nei loro multipli ki e kj, quindi la matrice associata è

Se invece il centro non fosse l'origine, ma un generico punto P ≡ (a, b), possiamo considerare al solito la traslazione τ tale che t(P) = O, la omotetia ω e la traslazione inversa t-1; la omotetia richiesta è il prodotto t-1 • ω • τ. Si ha

Il determinante di tale matrice, non nullo, vale k2 e risulta k2 = 1 se e solo se k = ±1, cioè rispettivamente nel caso della identità o traslazione o della simmetria rispetto ad un punto.

Similitudine

Definizione. Si chiama similitudine di rapporto k > 0 una trasformazione biunivoca del piano in sé tale che per ogni coppia di punti corrispondenti A, A' e B, B' risulti AB = k A'B'.

Proprietà

  • Il prodotto di due similitudini di rapporto rispettivamente k1 e k2 è una similitudine di rapporto k1×k2.
  • Ogni similitudine è il prodotto di un'omotetia per un'isometria o viceversa.
  • Una similitudine si dice diretta o invertente a seconda che l'isometria che la compone sia diretta o invertente.

Affinità

Definizione. Tutte le trasformazioni viste fin qui sono particolari affinità. Un'affinità è in generale una trasformazione la cui equazione vettoriale è del tipo:

x = Av + w

con A matrice quadrata invertibile (det≠0).

Tra le affinità generiche notare in particolare:

dilatazioni (contrazioni se a < 1) nella direzione dell'asse x.

dilatazioni nella direzione dell'asse y.

deformazione "di taglio" (shear); conserva le aree.