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Patches di Bézier

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Superfici di Bézier

L'equazione parametrica di una superficie di Bézier definita da n+1 punti di controllo lungo il parametro u e da m+1 punti lungo il parametro v è la seguente:

Figura 1
Poliedro di controllo di una
patch bicubica.

La rappresentazione di Bézier usa come polinomi di base i polinomi di Bernstein.
I punti di controllo formano il poliedro di controllo (vedi Figura 1) e la sua forma corrisponde schematicamente alla forma della superficie di Bézier che verrà generata.

Una superficie bicubica di Bézier è una superficie in cui n=m=3 e il cui poliedro di controllo è composto da 16 punti.
 

Collezione di Patches di Bézier

Le superfici di Bézier sono uno strumento molto potente per la progettazione di superfici, in quanto consentono di descrivere una superficie usando un numero limitato di punti.

Hanno però hanno una limitazione:
per
rappresentare delle forme complesse, usando una sola superficie, sono necessari molti punti di controllo. Questo significa che il grado dei polinomi usati nella rappresentazione di Bézier può diventare molto alto e quindi difficile da trattare con il calcolatore.

La soluzione a questo problema è quella di utilizzare una collezione di superfici di Bézier, note anche come superfici spline.
Un foglio complesso può essere creato affiancando e unendo tra loro dei pezzi di superficie (patches). Il modo con cui questi pezzi vengono uniti può variare a seconda dell'effetto che si vuole ottenere.
E' possibile generare degli spigoli sui lati di giunzione oppure imporre un passaggio dolce tra le due superfici. Questi risultati dipendono dal tipo di continuità con cui le superfici vengono incollate.

Modellare le superfici usando una collezione di Patches di Bézier ha anche il vantaggio di avere un controllo locale sulla forma della superficie. Con il controllo locale, lo spostamento di un punto di controllo comporta la modifica della superficie solo in un intorno del punto, mentre le zone lontane non vengono influenzate da questa modifica.
 

Parametrizzazione

Una superficie di Bézier P(u,v) viene descritta utilizzando i due parametri u, v. Quando si considera una singola superficie, si assume che questi parametri possano variare nell'intervallo [0,1]x[0,1]. In questo caso si parla di parametrizzazione locale.

Le cose si modificano quando si considerano le superfici spline. Si può sempre usare una parametrizzazione locale, ma la superficie (considerata interamente) è l'immagine di un insieme di intervalli e le loro lunghezze relative rivestono un ruolo importante.
Come esempio di parametrizzazione globale si considerino tre patch (P1, P2, P3) i cui parametri variano tra [u0,u1]x[v0,v1], [u1,u2]x[v0,v1], [u2,u3]x[v0,v1]. In questo caso i punti (u0,v0) (u1,v0) (u2,v0) (u0,v1) (u1,v1) (u2,v1) rappresentano i nodi della superficie spline.

Dato un poliedro di controllo, la variazione della parametrizzazione consente di ottenere superfici diverse. Una prima possibilità di parametrizzazione globale è quella di scegliere degli intervalli unitari (parametrizzazione uniforme), ma questa scelta risulta essere troppo rigida in molti casi. Per ottenere superfici migliori conviene considerare la geometria del poliedro di controllo nella scelta della posizione dei nodi.
 

Condizioni di continuità

Quando si incollano due o più Patches di Bézier vanno imposte delle condizioni di continuità lungo i bordi dove le patches si uniscono. Queste condizioni servono per ottenere delle superfici di una certa utilità. La condizione più banale è quella di imporre che le superfici unite condividano lo stesso bordo. Condizioni ulteriori sono usate per imporre che l'unione non generi uno spigolo, ma una superficie liscia e ben levigato.

Supponiamo di avere due patches P1(u,v) e P2(u,v) i cui parametri variano nell'intervallo 0,1. Volendole unire lungo il bordo dato da u=1 per la superficie P1 e da u=0 per la superficie P2, le condizioni di continuità da considerare sono le seguenti:

C0:
C1:
C2:

Queste condizioni valgono per ogni valore di v compreso tra 0 e 1.

La condizione C0 impone un'uguaglianza tra tutti i punti del bordo.
La condizione C1 impone un'uguaglianza tra le derivate prime in tutti i punti del bordo.
La condizione C2 impone un'uguaglianza tra le derivate seconde in tutti i punti del bordo.

L'uguaglianza tra tutti i punti del bordo si ottiene imponendo che le curve di Bézier che descrivono il bordo delle superfici condividano gli stessi punti di controllo.
Essendo le derivate di una superficie di Bézier definibili in base ai punti di controllo, é possibile ottenere delle condizioni che ci dicono dove posizionare i punti di controllo per ottenere una certa continuità.
 

Bibliografia

M. Schichtel, Short Course Geometric Modelling (dispensa del corso)
G. Farin, Curves and Surfaces for CAGD (*) , Academic Press 1990

(*) CAGD = Computer Aided Geometric Design


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Febbraio 2000 - Andrea Rizzi & Davide Selmo