Proprietà
Un catenoide è una superficie piana tridimensionale costruita dalla rotazione di una curva catenaria attorno alla sua direttrice. È stata la prima superficie minima scoperta (senza considerare il piano), questa proprietà fu dimostrata da Leonhard Euler nel 1744.

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Un elicoide è una superficie invariante per tutti gli avvitamenti rispetto ad un asse con passo fissato. È possibile generare un elicoide tramite il movimento rigido elicoidale di una curva. Un elicoide particolare è l'elicoide retto, generato dal movimento elicoidale di una retta perpendicolare all'asse di rotazione.

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Catenoide ed elicoide retto sono legati da una deformazione isometrica attraverso la quale un catenoide può essere trasformato in un elicoide retto senza distensioni, ogni superficie all’interno della famiglia di trasformazioni è a sua volta minima ed è localmente isometrica all’elicoide.

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dove
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con parametro di deformazione:
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catenoid_to_helix

Curvatura principale
Ciascun piano contenente la normale di un punto di una superficie differenziabile, e quindi ortogonale al piano tangente la superficie in quel punto, interseca la superficie stessa formando una curva. La curva generata ha un valore di
curvatura uguale al reciproco del raggio osculatore nel punto, che può assumere un valore positivo o negativo: positivo quando la curva gira nella stessa direzione della normale alla superficie, negativo altrimenti.
Ad ogni punto di una superficie differenziabile nello spazio euclideo
8 sono quindi associati infiniti valori di curvatura, i piani che generano i valori di minima e massima curvatura prendono il nome di curvature principali, le due rette del piano tangente alla superficie nel punto che identificano i piani ortogonali al piano tangente che generano i valori di curvatura principale prendono il nome di direzioni principali, queste sono inoltre ortogonali (Eulero - 1760).
La
curvatura gaussiana e la curvatura media sono ottenute rispettivamente come prodotto e come media aritmetica delle due curvature principali.
Le superfici a curvatura media nulla sono dette superfici minime, e compaiono in natura ad esempio immergendo nell'acqua saponata un telaietto metallico di forma arbitraria.

Superfici minime
Si definisce superficie minima una superficie che ha curvatura media uguale a zero in ogni punto.
Quando si parla di superfici minime si intende superfici che minimizzano la propria area e rispondono alla domanda: data una curva chiusa, qual è la superficie di area minima che ha tale curva come bordo? (Problema di Plateau).
Se si costruisce un telaio di fil di ferro e lo immerge in acqua e sapone, sul telaio si formerà una pellicola. La superficie formata dalla pellicola è proprio una superficie minima che risolve il problema.

disks-smallcatenoid-small

Se ad esempio prendiamo come bordo due circonferenze, possiamo avere due diversi minimi locali uno sconnesso e uno connesso: i due dischi oppure un catenoide.

Riscontro reale di elicoidi e catenoidi


Bulle_de_savon_hélicoïde.PNGScala a chiocciola

Bolla