Definizione e costruzione

 

Definizione: Una curva razionale di Bezier di grado n (piana) è la proiezione sul piano z=1 (identificato con E2) di una curva di Bezier nello spazio E3.

Per il caso 3D si ha l'analoga

Definizione: Una curva razionale di Bezier di grado n (nello spazio) è la proiezione sull' iperpiano u=1 (identificato con E3) di una curva di Bezier in uno spazio euclideo 4-dimensionale.

 

L'espressione generale di una curva razionale di Bézier, nello spazio E3 è quindi la seguente:

(1)

I punti bi sono i vertici del poligono di controllo, mentre le quantità reali wi sono detti pesi (relativi ai rispettivi vertici)

(si noti come la denominazione razionale sia dovuta alla espressione 1: la curva è il rapporto di due polinomi in t)


Nelle righe che seguono si darà una breve spiegazione di come si è arrivata a tale espressione.

Dapprima si identifichi il piano  z = 1  in E3 con lo spazio euclideo 2-dim.

I punti del piano di coordinate  [ x  y ] vengono ad essere identificati con i punti dello spazio  [ x  y  1 ]. Si consideri ora la proiezione caratterizzata da:

Si noti che un punto  [ x  y ] è la proiezione di un'intera famiglia di punti: tutti quelli di coordinate [ wx  wy  w ], queste sono dette coordinate omogenee.

La situazione appena descritta è illustrata dalla seguente figura

 

Veniamo finalmente alla dimostrazione della (1)

Per semplicità di notazione tratteremo il caso delle coniche (curve di grado 2).

Sia c(t) un punto di una conica in E2. Mostreremo che esistono dei numeri reali w0,w1,w2 e dei punti b0,b1,b2 in E2 tali che

(2)

 

Per quanto già detto possiamo scrivere il generico punto c(t) in coordinate affini: [ c(t)  1 ] in E3.

Questo è la proiezione di un punto [ w(t)c(t)  w(t) ] che appartiene ad una parabola 3D (curva parametrica in t di grado 2)

La terza componente w(t) può essere espressa per mezzi dei polinomi di Bernstein di secondo grado:

Una volta nota la forma di w(t) possiamo scrivere:

Ed inoltre il membro sinistro di questa uguaglianza rappresenta una parabola, quindi:

Ove i pi sono punti del piano E2. Da cui

Ed infine

 

E questa corrisponde alla (2) ponendo:    pi = wibi .

La (1) risulta ovvia ricordando che la (2) ne è un caso particolare (per n=2)

 

La costruzione di una curva razionale di Bézier piana è illustrata dalla seguente figura

In questo caso i punti sono:    b0 = [1  0 ], b1 = [0  0 ], b2 = [0  1 ]

mentre i pesi valgono:           w0 = 1w1 = 2w2 = 1 

 

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