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Programma del Corso



"Prof.A.Alzati"

Si riferisce al corso di Geometria Computazionale svoltosi nell'Anno Accademico 1998/1999 e può subire modifiche ogni anno accademico (anche se in modo leggero). La durata è di circa quarantadue ore e la vaidità è pari ad una unità didattica (o, equivalentemente, mezza annualità).
Si prevede di suddividere le lezioni nel seguente modo:





  1. Richiami di geometria analitica elementare del piano e dello spazio. (7 ore)

    1. Definizione di piano e spazio reali affini ed euclidei: punti, vettori, coordinate; angoli, distanze, aree. Sistemi di riferimento locali e globali. Coordinate baricentriche.
    2. Rette: equazioni cartesiane e parametriche di una retta, retta per due punti, rette orientate,  angolo fra due rette, segmenti;  intersezione e parallelismo di rette. Interpolazione lineare.
    3. Piani: equazioni cartesiane e parametriche di un piano, piano per tre punti, piani orientati, angoli fra due piani; intersezione e parallelismo di piani; intersezioni e parallelismo di rette e piani. Distanze tra punti,rette, piani.
    4. Trasformazioni: traslazioni, rotazioni,riflessioni; congruenze, similitudini, affinitł; rapporto semplice. Cambiamento di sistema di riferimento.


  2. Curve (13 ore)

    1. Generalitł (4 ore):
      • vettori funzioni di un parametro e loro derivate
      • equazioni parametriche e cartesiane, rette tangenti, piani osculatori
      • parametro arco, curvatura, torsione, flessi
      • sistemi di riferimento, intrinseci, equazioni intrinseche
      • esempi: eliche, coniche, cubiche; curve piane
      • biarchi, curve composte, continuitł geometrica (G1 e G2)

    2. Costruzioni di curve (9 ore):
      1. Curve di BÄzier (4 ore):
      2. Splines (4 ore):
        • spazi di funzioni polinomiali e definizione di funzione spline di grado k
        • funzioni B-spline, in dettaglio il caso k=2 e k=3
        • algoritmo di valutazione di De Boor-Cox
        • curve splines, splines uniformi

      3. Interpolazione (1 ora):
        • interpolazione classica di Lagrange
        • interpolazione cubica di Hermite
        • interpolazione con curve splines


  3. Superfici (9 ore).

    1. Generalitł (4 ore):
      • patches e loro proprietł, piano tangente, vettori tangenti e di torsione
      • sistemi di riferimento intrinseci, forme fondamentali, aree
      • curvature normali , direzioni principali, classificazione dei punti
      • curvatura media, curvatura di Gauss
      • curve su superfici, linee di curvatura, linee asintotiche, geodetiche
      • superfici particolari: rigate, di rotazione, sferiche, composte.

    2. Costruzioni di superfici (5 ore):

      1. Superfici spline (2 ore):
        • prodotto tensoriale di due curve di BÄzier o splines
        • vettori di torsione e loro significato geometrico

      2. Interpolazione (1 ora):
        • mediante superfici splines
        • mediante saldatura di patches su nervature

      3. Patches di Coons (2 ore):
        • miscelamento bilineare
        • miscelamento bicubico alla Hermite
        • superfici traslazionali; superfici di Gordon


  4. Relazioni tra curve e superfici (1 ora)

    1. Distanze (0.5 ore):
      • tra punti e curve
      • tra punti e superfici
      • tra curve e curve
      • tra curve e superfici
      • tra superfici e superfici

    2. Intersezioni (0.5 ore):
      • fra rette
      • fra piani
      • fra curve e superfici
      • fra superfici


  5. Proiezioni, ricostruzioni di immagini; NURBS (11 ore)

    1. Elementi di geometria proiettiva (4 ore):
      • coordinate proiettive nel piano e nello spazio, proiezioni fra piani
      • sistemi di riferimento proiettivi
      • birapporti, prospettivitł e proiettivitł

    2. Immagini e proiezioni (4 ore):
    3. NURBS (3 ore):
      • rappresentazioni parametriche razionali
      • in dettaglio il caso delle coniche
      • curve razionali nel piano e nello spazio
      • curve spline razionali
      • superfici spline razionali


  6. Cenni sulla Teoria dei Frattali (1 ora):
    • Costruzione di oggetti virtuali mediante trasformazioni piane iterate
    • Trasformazioni polinomiali di secondo grado sul piano complesso
    • Insiemi di Julia e di Mandelbrot

Fine.


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Alberto Alzati
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Ultimo Aggiornamento A.A. 1998-1999
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