Programma del corso
I) Richiami di geometria analitica elementare del piano e dello spazio
1) Definizione di piano e spazio reali affini ed euclidei: punti, vettori, coordinate; angoli, distanze, aree. Sistemi di riferimento locali e globali. Coordinate baricentriche.
2) Rette: equazioni cartesiane e parametriche di una retta, retta per due punti, rette orientate, angolo fra due rette, segmenti; intersezione e parallelismo di rette. Interpolazione lineare.
3) Piani: equazioni cartesiane e parametriche di un piano, piano per tre punti, piani orientati, angoli fra due piani; intersezione e parallelismo di piani; intersezioni e parallelismo di rette e piani. Distanze tra punti, rette, piani.
4) Trasformazioni: traslazioni, rotazioni, riflessioni; congruenze, similitudini, affinità; rapporto semplice. Cambiamento di sistema di riferimento.
II) Curve
IIa) Generalità:
- vettori funzioni di un parametro e loro derivate
- equazioni parametriche e cartesiane, rette tangenti, piani osculatori
- parametro arco, curvatura, torsione, flessi
- sistemi di riferimento, intrinseci, equazioni intrinseche
- esempi: eliche, coniche, cubiche; curve piane
- biarchi, curve composte, continuità geometrica (G1 e G2)
IIb) Costruzioni di curve:
1) Curve di Bézier:
- definizione mediante l'algoritmo di De Casteljeu
- polinomi di Bernstein
- principali proprietà delle curve di Bézier
- derivate ed operatore delta
- forma matriciale
- saldatura di due o più curve di Bézier, poligoni di De Boor
- esempi in grado 2 e 3
2) Splines:
- spazi di funzioni polinomiali e definizione di funzione spline di grado k
- funzioni B-spline, in dettaglio il caso k=2 e k=3
- algoritmo di valutazione di De Boor-Cox
- curve splines, splines uniformi
3) Interpolazione
- interpolazione classica di Lagrange
- interpolazione cubica di Hermite
- interpolazione con curve splines
III) Superfici
IIIa) Generalità:
- patches e loro proprietà, piano tangente, vettori tangenti e di torsione
- sistemi di riferimento intrinseci, forme fondamentali, aree
- curvature normali , direzioni principali, classificazione dei punti
- curvatura media, curvatura di Gauss
- curve su superfici, linee di curvatura, linee asintotiche, geodetiche
- superfici particolari: rigate, di rotazione, sferiche, composte.
IIIb) costruzioni di superfici
1) Superfici spline:
- prodotto tensoriale di due curve di Bézier o splines
- vettori di torsione e loro significato geometrico
- esempio in dettaglio: il caso bicubico
2) Interpolazione:
- mediante superfici splines
- mediante saldatura di patches su nervature
3) Patches di Coons
- miscelamento bilineare
- miscelamento bicubico alla Hermite
- superfici traslazionali; superfici di Gordon
IV) Relazioni tra curve e superfici
IVa) Distanze:
- tra punti e curve
- tra punti e superfici
- tra curve e curve
- tra curve e superfici
- tra superfici e superfici
IVb) Intersezioni
- fra rette
- fra piani
- fra curve e superfici
- fra superfici
V) Proiezioni, ricostruzioni di immagini; NURBS
Va) Elementi di geometria proiettiva
- coordinate proiettive nel piano e nello spazio, proiezioni fra piani
- sistemi di riferimento proiettivi
- birapporti, prospettività e proiettività
Vb) Immagini e
proiezioni
- proiezioni parallele ed ortogonali
- rappresentazioni piane di oggetti tridimensionali
- ricostruzioni di oggetti, calibramento di telecamere
- cenni di aereofotogrammetria
Vc) NURBS
- rappresentazioni parametriche razionali
- in dettaglio il caso delle coniche
- curve razionali nel piano e nello spazio
- curve spline razionali
- superfici spline razionali
VI) Elementi di topologia
- teorema di Jordan
- curvature torali, teorema dei cammini chiusi
- deformazioni di curve e superfici
- teorema di Eulero
- classificazione delle superfici compatte