Giornate di Geometria Algebrica e argomenti correlati X
Gargnano, 25 -  29 maggio 2010.

Elenco delle conferenze e delle colloquium lectures

Ogni conferenza avrà la durata di circa 60 minuti
F. Bastianelli:  Chiusura di Galois e varietà Lagrangiane
Abstract

Sia X una varietà proiettiva complessa di dimensione n. Dato un intero 1<k<n+1, si consideri l'omomorfismo naturale p_k definito sul k-esimo prodotto wedge di H^{1,0}(X) a valori nello spazio delle k-forme olomorfe H^{k,0}(X).
 La non-iniettività di tale mappa ha importanti conseguenze sulla topologia di X. 
I principali risultati in questa direzione sono il Teorema di Castelnuovo-de Franchis riguardante l'esistenza di fibrazioni e le successive generalizzazioni dovute a Catanese; 
vi sono poi altre conseguenze legate al gruppo fondamentale di X ed al suo indice topologico.
 In questo seminario, frutto di un lavoro in collaborazione con Gian Pietro Pirola e Lidia Stoppino, verra presentato un metodo che permette, attraverso l'uso di chiusure di Galois di mappe razionali finite, di produrre esempi di varietà proiettive complesse tali che l'omomorfismo p_k abbia nucleo non banale.
 In seguito, applicheremo questa costruzione al caso bi-dimensionale esibendo una nuova famiglia di superficie non-fibrate di tipo generale che risulteranno essere Lagrangiane nella loro varietà di Albanese. In particolare, determineremo i principali invarianti birazionali di tali superficie fornendo così un controesempio ad alcune congetture sull'indice topologico di superficie Lagrangiane.
 

C. Bertone:  Tecniche modulari per la decomposizione di curve 
e insiemi algebrici
Abstract:

Ci interessiamo a trovare strategie computazionalmente efficaci per la decomposizione in componenti irriducibili di curve del piano affine C^2 e, più in generale, per insiemi algebrici dello spazio affine  C^n.
L'idea fondamentale è di sfruttare il calcolo modulare, ma non nel modo abituale:  invece di scegliere un primo che preservi l'irriducibilità di un polinomio razionale,
cerchiamo un primo p tale che il polinomio considerato non sia irriducibile modulo p.  In questo modo si può ottenere una prima (grossolana) approssimazione della
fattorizzazione del polinomio che otterremmo usando coefficienti nella chiusura algebrica di Q.
Le tecniche modulari applicate al caso di una curva del piano affine definita da un polinomio razionale, ci permettono di calcolare la decomposizione completa della
curva (ovvero la fattorizzazione assoluta del polinomio che la definisce).
Nel caso di un insieme algebrico di C^n definito da polinomi razionali, mediante i calcoli modulari possiamo ottenere la funzione di Hilbert delle componenti
irriducibili di molteplicità 1 (e altre informazioni, anche per componenti di molteplicità superiore).
 

 
C..Camere:  La stabilità del fibrato tangente di P^r 
ristretto ad una curva o ad una superficie
Abstract:

Dati X una varietà proiettiva liscia ed L un fibrato in rette su X generato dalle sue sezioni globali, il morfismo di valutazione delle sezioni v:C-->P^r  è ben definito e v*T è la restrizione a X del fibrato tangente T di P^r. Nel caso in cui X sia una curva di genere g>1 mostreremo che se deg L>2g-c(C)-1 allora v*T è semistabile, precisando quando si ha stabilità. Vedremo poi come tale risultato sulle curve si possa utilizzare per studiare la \mu-stabilità di v*T rispetto a L nel caso in cui X sia una superficie K3 o abeliana.
 

R. Cavalieri:  Invarianti di GW aperti di orbifold
Abstract

I fisici, studiando la propagazione di stringhe aperte, hanno prodotto degli invarianti numerici che  *dovrebbero corrispondere* and un conto (virtuale) di mappe olomorfe da superfici di Riemann con bordo ad una varietàsimplettica X, con immagine del bordo in una Lagrangiana L.
Lo sviluppo matematico di una teoria dell'intersezione per spazi di moduli di tali mappe e' ancora agli inizi. Nel caso in cui il problema si possa formulare in maniera equivariante, una decina di anni fa Sheldon Katz e Melissa Liu propongono un approccio al problema via localizzazione. In poche parole, aggirano il problema del non comprendere gli spazi di moduli dimostrando che è sufficiente comprendere i luoghi fissati dall'azione di un toro.
 In questo seminario porterò la situazione nel contesto di invarianti GW orbifold. Anche in questo caso i fisici ci precedono. Presentero' delle verifiche matematiche di alcuni fisici, e per uno specifico orbidold, il primo esempio di un "Mirror Theorem" nel contesto degli invarianti aperti. Questo e' lavoro collaborativo con Andrea Brini (Ginevra).
 

L. Di Biagio:  Sistemi pluricanonici per 3-folds e 4-folds di tipo generale
Abstract

Un famoso teorema di Hacon-McKernan e Takayama asserisce che esistono interi n(d) e m(d) tali che per ogni varietà proiettiva complessa X di tipo generale e dimensione d, l'n-esimo plurigenere P(n) è diverso da 0 se n>n(d) e l'm-esima mappa pluricanonica f(m) è birazionale se m>m(d). Valori effettivi per n(d) e m(d) non sono conosciuti, salvo che per d=1,2,3.
E' ragionevole aspettarsi che supponendo il volume di X sufficientemente grande si possano ottenere risultati migliori: in questo seminario daremo stime esplicite per d=3, migliorando così un risultato di Todorov, e per d=4. Inoltre sempre nel caso di volume alto, daremo una caratterizzazione dei 3-folds con mappa 4-canonica non birazionale, mostrando quindi come le stime ottenute per d=3 siano in un certo senso ottimali.
 

S. Diverio:  Bigness di fibrati vettoriali olomorfi, classi di Chern e semistabilità.
Abstract: 

Motivati da alcune questioni di iperbolicità e, più generalmente, di p-misura iperbolicità, descriveremo un criterio di tipo geometrico differenziale sufficiente
per garantire la bigness di un fibrato vettoriale hermitiano su una varietà complessa.
Daremo poi una caratterizzazione congetturale di tale criterio in termini di semistabiltà e disuguaglianze sulle classi di Chern, fornendone alcune evidenze.
Se il tempo lo permetterà, spiegheremo poi come riottenere le diseguaglianze classiche di Bogomolov-Miyaoka-Yau e Kobayashi-Lübke con queste tecniche.
Si tratta di un lavoro in corso, parzialmente in collaborazione con Ernesto Mistretta.
 

G. Failla:  Varietà di Hankel
Abstract: 

Ci interessiamo di una vasta ed interessante classe di varietà, sottovarietà della Grassmanniana G(r,m) degli r-piani dello spazio proiettivo P^m,  introdotte da  S. Giuffrida e R. Maggioni ( 2007), dette varietà  di Hankel, poiché costruite  a partire da matrici di Hankel.
Si studia il ruolo cruciale della curva razionale normale standard di P^m nella loro caratterizzazione, il  luogo singolare, le  equazioni di definizione. Anche particolari luoghi di r-piani di Hankel di P^m sono descritti esplicitamente. Per la varietà delle rette di Hankel di P^m, si ottengono risultati tramite argomenti di deformazione, utilizzando ordinamenti monomiali noti in geometria algebrica classica nello studio di varietà definite da minori. 
 

A. Ferretti:  L'anello di Chow delle sestiche EPW doppie
Abstract

Le varietà simplettiche irriducibili sono una generalizzazione naturale delle superfici K3 in dimensione superiore. Pochi anni fa, prendendo spunto da una notevole proprietà della forma d'intersezione sulle K3 e dalle congetture di Bloch e Beilinson, Beauville ha proposto una congettura che dà una descrizione parziale dei gruppi di Chow di
queste varietà. 
Scopo del seminario è introdurre questo problema e descrivere lo stato attuale della congettura. Avendo tempo, darò anche una breve descrizione del lavoro fatto in tesi di dottorato, in cui dimostro la congettura per una particolare famiglia.
 

D. Fusi:  Razionalitàe problemi correlati.
Abstract

Una varietà proiettiva X di dimensione n è razionale se è birazionale alla spazio proiettivo P^n. 
Oggi la razionalità è chiara nel caso di curve e superfici proiettive, diversamente dal caso di varietà proiettive di dimensione maggiore o uguale a tre, dove la presenza di
varietà "vicine" alle razionali (quali "unirazionali" e "razionalmente connesse") rende la questione molto piu` sottile. Molte questioni riguardanti la razionalità rimangono tuttora aperte. 
Nel seminario verranno esposti alcuni recenti risultati.
 

G. Manno:  Geometria delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs)
Abstract

Una PDE può essere interpretata come una ipersuperficie del fibrato E->M dove M è una varietà di contatto ed E è l'insieme degli spazi Lagrangiani di M. Questo punto di vista permette una trattazione geometrica della teoria delle caratteristiche delle PDEs e dei loro integrali intermedi. Una classe notevole di PDEs, che è possibile descrivere in termini delle loro caratteristiche, è quella delle equazioni di Monge-Ampère. 
Faremo vedere come tali equazioni sono in corrispondenza biunivoca con distribuzioni (sottofibrati del fibrato tangente) sulla varietà di contatto M. 
Nel caso dim(M)=5, esporrò alcuni risultati di classificazione di tali distribuzioni, dando un'idea di come rispondere positivamente ad una congettura di Bryant-Griffiths sulla forma normale di equazioni di Monge-Ampère paraboliche. 
Nel caso dim(M)=3, farò vedere come lo studio delle distribuzioni su M aiuti a risolvere un altro problema di classificazione posto da Sophus Lie nel 1882 riguardante la classificazione delle metriche su superfici che ammettono simmetrie proiettive.
 

E. Martinengo:  Deformazioni infinitesimali di fibrati di Higgs e mappa di Hitchin
Abstract

L’interesse per i fibrati di Higgs nasce dagli studi di Hitchin e Simpson e la loro ricca struttura fa si che giochino un ruolo importante i molti ambiti. Un fibrato di Higgs su una varietà complessa X è il dato di un fibrato vettoriale E su X e di una sezione s in 
H^0(X, End(E) \otimes\Omega_X^1).
Il mio lavoro riguarda deformazioni infinitesimali di fibrati di Higgs tramite algebre di Lie differenziali graduate (dgla) e algebre L-infinito.
Questi approcci permettono di semplificare lo studio delle deformazioni di un oggetto geometrico, tramite l’individuazione di un oggetto algebrico, una dgla o un’algebra L-infinito, che controlla le deformazioni dell’oggetto geometrico in questione.
Il mio primo risultato è l’individuazione di una dgla che controlla le deformazioni di fibrati di Higgs. Grazie ad essa riottengo la descrizione di Biswas e Ramanan delle deformazioni al primo ordine e miglioro il loro risultato sulle ostruzioni.
Con le stesse tecniche ho studiato la mappa di Hitchin, definita da Simpson come generalizzazione della mappa determinante introdotta da Hitchin. Ho provato che essa è indotta da una mappa di algebre L-infinito.
Grazie a risultati standard nella teoria delle algebre L-infinito, essa è quindi una mappa di teorie di deformazione e questo permette di trovare una nuova condizione sulle ostruzioni alle deformazioni di fibrati di Higgs.
 

N. Mazzari:  Alcuni aspetti della coomologia sintomica
Abstract: 

La coomologia di Deligne-Beilinson è una teoria nata per studiare i gruppi di Chow delle varietà algebriche complesse. Analogamente la coomologia sintomica (rigida) è una teoria nell'ambito delle varietà algebriche definite su un anello di valutazione discreta di caratteristica mista. 
In un recente lavoro, con B. Chiarellotto e A. Ciccioni, abbiamo dimostrato alcune proprietà di questa coomologia come l'esistenza di un prodotto cup e la mappa di Gysin. Il formalismo sviluppato servirà per un studio approfondito del regolatore sintomico.
 

 
M. Melo:  Compattificazioni di jacobiane di curve singolari
Abstract: 

Data una curva X singolare, la sua jacobiana Jac(X) non e', in generale, compatta. 
Il problema di trovare una compattificazione per Jac(X) e' molto classico e risale a dei lavori di Igusa e Mayer-Mumford negli anni 50-60.
Da allora sono state trovate diverse soluzioni, che differiscono tra di loro per il tipo di singolarita' ammissibili e le proprieta' dei funtori di moduli a loro associati.
In questo seminario, discuteremo nuovi risultati sulle proprieta' modulari di alcune di queste costruzioni, restringendoci al caso di curve nodali.
 

A. Nigro:  Wronskiani di sezioni di fibrati di Grassmann
Abstract: 

Ogni sistema lineare su una curva può vedersi in modo naturale come una particolare sezione di un fibrato di Grassmann sulla curva stessa, associato a un certo fibrato di jets. 
La nozione di wronskiano e di luogo di ramificazione di una serie lineare si estende in modo naturale alle sezioni di un fibrato di Grassmann su una varietà qualsiasi. 
Si definirà la mappa di Wronski su spazi di sezioni di fibrati di Grassmann e se ne illustreranno applicazioni alle curve iperellittiche, dove il wronskiano dell'involuzione canonica assume una speciale importanza.
 

M. Penegini:  Fibrazioni Isotriviali con p_g=q=2
Abstract:

Diamo una completa classificazione delle superfici di tipo generale con p_g=q=2 che ammettono una fibrazione isotriviale. 
La classificazione è ottenuta studiando i quozienti del prodotto di due curve lisce modulo l'azione di un gruppo finito. Come conseguenza otteniamo nuovi esempi di superfici con p_g=q=2 e K^2=4,5 e il primo esempio con K^2=6.
Inoltre daremo la descrizione di una famiglia più grande di superfici con K^2=5 e p_g=q=2 che contiene sia la nostra famiglia che, presumibilmente (work in progress), una precedentemente costruita da Chen e Hacon. 
 

 
A. Perego:  Gli spazi di moduli di O'Grady
Abstract

Gli esempi di O'Grady sono gli unici esempi conosciuti di varietà irriducibili simplettiche che non si deformano in schemi di Hilbert di punti su una superficie K3 (proiettiva) o in varietà di Kummer generalizzate. 
Si tratta di risoluzioni simplettiche delle singolarità di spazi di moduli di fasci coerenti su una superficie K3 o abeliana il cui numero di Picard è 1, ed il cui vettore di Mukai è v=(2,0,-2). 
Più in generale, l'esistenza di una risoluzione simplettica è garantita, per un teorema di Lehn e Sorger, per una superficie K3 proiettiva o abeliana qualunque, e per un vettore di Mukai v=2w, con w primitivo e di quadrato 2. 
In questo seminario parlerò di alcune proprietà di questi spazi di moduli, come la 2-fattorialità ed il gruppo di Picard.
 

E.  Postinghel:  Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici toriche
Abstract

Sia X la superficie torica proiettiva associata al politopo piano P. 
Effettueremo degenerazioni toriche di X a unioni di piani, le quali corrispondono a triangolazioni regolari D di P, al fine di studiare le varietà k-secanti di X. In particolare daremo un limite dal basso al grado secante e 2-secante, studiando la combinatorica della configurazione D di degenerazioni toriche non-delightful, migliorando così un risultato di B. Sturmfels e S. Sullivant.
Questo è un lavoro (in corso) che è parte della mia tesi di dottorato.
 

M. Seveso:  Invarianti L e moduli di monodromia associati a forme modulari
Abstract

Sia X la curva di Shimura associata ad una Q-algebra quaternionica indefinita di discriminante D e ad un ordine di Eichler di livello N e sia S(X,k) lo spazio delle forme modulari di peso k su X.
Uno dei temi ricorrenti nella aritmetica delle forme modulari è la possibilità di associare un invariante L ad un forma modulare f di peso k nuova in p. L’importanza di questo invariante risiede in parte nel fatto che, quando f è una forma modulare spezzata, tale invariante spiega la discrepanza fra il valore speciale della funzione L complessa associata alla forma modulare e quello della funzione L p-adica.
Diverse definizioni, a priori differenti, sono state date: per esempio da Mazur-Tate- Teitelbaum, Teitelbaum, Coleman, Mazur, Breuil, Darmon, Orton e M. Greenberg. 
Quando definiti questi invarianti sono noti essere tutti uguali. 
In particolare, quanto X è una curva modulare (risp. X è una curva di Shimura arbitraria ma k=2) Darmon e poi Orton nel caso k>2 (risp. M. Greenberg) hanno dato una definizione basata su una teoria della integrazione p-adica. 
Spiegheremo come definire un invariante che generalizza questi invarianti.
Un altro obbiettivo della conferenza sarà quello di spiegare come sia possibile associare ad una forma modulare un modulo di monodromia D’_f mediante una costruzione di Eichler-Shimura. 
Sia V_f la rappresentazione p-adica associata da Deligne alla forma modulare f e sia D_f il modulo di monodromia ad essa associato. Quando l’invariante L da noi definito coincide con quello di Mazur D’_f=D_f.
I risultati citati sono stati ottenuti in collaborazione con Victor Rotger.
 

E. Tenni:  Nuove varietà slope-instabili
Abstract: 

Ross e Thomas hanno mostrato come certi sottoschemi possono K-destabilizzare varietà polarizzate, introducendo la nozione di slope instabilità. 
Mostrerò una situazione in cui la slope instabilità per varietà corrisponde ad una condizione di tipo instabilità per certi fibrati. Questo permette la costruzione di nuove classi di varietà instabili ed in particolare si applica a scoppiamenti di superficie rigate viste come fibrati in coniche su una curva. 
E' un lavoro in collaborazione con J. Stoppa.
 

 
 P. Cascini :   Geometria Birazionale Simplettica
Abstract: 

Lo scopo del Programma di  Mori e' generalizzare la classificazione birazione delle superfici algebriche, dovuta alla scuola italiana di geometria algebrica, a dimensioni piu' alte.
Alcuni di questi risultati possono essere reinterpretati da un punto di vista
della geometria simplettica. Discuteremo qualche aspetto di questo programma.

 

 T. de Fernex :  Un tuffo negli zeri di polinomi
Abstract: 

Quanto rapidamente si annulla un polinomio quando imponiamo le variabili uguali a zero? Chiaramente la risposta nel caso di un polinomio in una variabile può solo dipendere dalla sua molteplicità. Quando però il numero delle variabili è maggiore la questione diventa più delicata. 
Concentrandomi sui due esempi F(x,y) = y^2 - x^2 - x^3 e G(x,y) = y^2 - x^3, presenterò tre approcci completamente indipendenti (eppure equivalenti), usando (a) condizioni
di integrabilità, (b) condizioni annullamento di derivazioni, e (c) modificazioni geometriche del piano xy.  Tale discussione porterà alla definizione di "valore critico log-canonico".  Alcuni risultati recenti e questioni aperte verrano infine discusse. 
Il seminario si basa su risultati ottenuti in collaborazione con L. Ein e M. Mustata.

 

 A. N.Skorobogatov :  Superfici di del Pezzo 
e rappresentazioni di gruppi di Lie semi-semplici
Abstract: 

Relazioni tra le superfici di del Pezzo, i gruppi generati per riflessione ed i gruppi di Lie risalgono a E. Cartan, Coxeter e Du Val. 
Un esempio di queste relazioni è il seguente: la varietà di Grassmann G(2,5) è un'orbita chiusa nella rappresentazione di dimensione 10 del gruppo semi-semplice SL(5) associato al sistema di radici A_4. Il toro massimale T di SL(5) agisce naturalmente su G(2,5). Il sottoinsieme aperto U sul quale T agisce liberamente è un torsore universale sul quoziente U/T, che è la superficie di del Pezzo di grado 5 (il piano proiettivo scoppiato in quattro punti). 
Si possono canonicamente associare alle superfici di del Pezzo di grado d=4, 3, 2, 1 i gruppi di Lie semi-semplici di tipo D_5, E_6, E_7, E_8 e loro orbite chiuse nelle rappresentazioni di dimensione 16, 27, 56, 248. Ma le superfici di del Pezzo di grado d<5 ammettono spazi di moduli, quindi non può esistere una equivalenza come in grado 5. 
Tuttavia si può descrivere un torsore universale sulla superficie di del Pezzo in termini di questa orbita. Il problema si collega alla descrizione dell'anello di Cox tramite generatori e relazioni.

 

 
 

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