Ogni conferenza avrà la durata di circa 60 minuti
F. Bastianelli: Chiusura
di Galois e varietà Lagrangiane |
Abstract:
Sia X una varietà proiettiva complessa di dimensione n. Dato
un intero 1<k<n+1, si consideri l'omomorfismo naturale p_k definito
sul k-esimo prodotto wedge di H^{1,0}(X) a valori nello spazio delle k-forme
olomorfe H^{k,0}(X).
La non-iniettività di tale mappa ha importanti conseguenze
sulla topologia di X.
I principali risultati in questa direzione sono il Teorema di Castelnuovo-de
Franchis riguardante l'esistenza di fibrazioni e le successive generalizzazioni
dovute a Catanese;
vi sono poi altre conseguenze legate al gruppo fondamentale di X ed
al suo indice topologico.
In questo seminario, frutto di un lavoro in collaborazione con
Gian Pietro Pirola e Lidia Stoppino, verra presentato un metodo che permette,
attraverso l'uso di chiusure di Galois di mappe razionali finite, di produrre
esempi di varietà proiettive complesse tali che l'omomorfismo p_k
abbia nucleo non banale.
In seguito, applicheremo questa costruzione al caso bi-dimensionale
esibendo una nuova famiglia di superficie non-fibrate di tipo generale
che risulteranno essere Lagrangiane nella loro varietà di Albanese.
In particolare, determineremo i principali invarianti birazionali di tali
superficie fornendo così un controesempio ad alcune congetture sull'indice
topologico di superficie Lagrangiane.
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C. Bertone: Tecniche modulari
per la decomposizione di curve
e insiemi algebrici |
Abstract:
Ci interessiamo a trovare strategie computazionalmente efficaci per
la decomposizione in componenti irriducibili di curve del piano affine
C^2 e, più in generale, per insiemi algebrici dello spazio affine
C^n.
L'idea fondamentale è di sfruttare il calcolo modulare, ma non
nel modo abituale: invece di scegliere un primo che preservi l'irriducibilità
di un polinomio razionale,
cerchiamo un primo p tale che il polinomio considerato non sia irriducibile
modulo p. In questo modo si può ottenere una prima (grossolana)
approssimazione della
fattorizzazione del polinomio che otterremmo usando coefficienti nella
chiusura algebrica di Q.
Le tecniche modulari applicate al caso di una curva del piano affine
definita da un polinomio razionale, ci permettono di calcolare la decomposizione
completa della
curva (ovvero la fattorizzazione assoluta del polinomio che la definisce).
Nel caso di un insieme algebrico di C^n definito da polinomi razionali,
mediante i calcoli modulari possiamo ottenere la funzione di Hilbert delle
componenti
irriducibili di molteplicità 1 (e altre informazioni, anche
per componenti di molteplicità superiore).
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C..Camere: La stabilità
del fibrato tangente di P^r
ristretto ad una curva o ad una superficie |
Abstract:
Dati X una varietà proiettiva liscia ed L un fibrato in rette
su X generato dalle sue sezioni globali, il morfismo di valutazione delle
sezioni v:C-->P^r è ben definito e v*T è la restrizione
a X del fibrato tangente T di P^r. Nel caso in cui X sia una curva di genere
g>1 mostreremo che se deg L>2g-c(C)-1 allora v*T è semistabile,
precisando quando si ha stabilità. Vedremo poi come tale risultato
sulle curve si possa utilizzare per studiare la \mu-stabilità di
v*T rispetto a L nel caso in cui X sia una superficie K3 o abeliana.
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R. Cavalieri: Invarianti
di GW aperti di orbifold |
Abstract:
I fisici, studiando la propagazione di stringhe aperte, hanno prodotto
degli invarianti numerici che *dovrebbero corrispondere* and un conto
(virtuale) di mappe olomorfe da superfici di Riemann con bordo ad una varietàsimplettica
X, con immagine del bordo in una Lagrangiana L.
Lo sviluppo matematico di una teoria dell'intersezione per spazi di
moduli di tali mappe e' ancora agli inizi. Nel caso in cui il problema
si possa formulare in maniera equivariante, una decina di anni fa Sheldon
Katz e Melissa Liu propongono un approccio al problema via localizzazione.
In poche parole, aggirano il problema del non comprendere gli spazi di
moduli dimostrando che è sufficiente comprendere i luoghi fissati
dall'azione di un toro.
In questo seminario porterò la situazione nel contesto
di invarianti GW orbifold. Anche in questo caso i fisici ci precedono.
Presentero' delle verifiche matematiche di alcuni fisici, e per uno specifico
orbidold, il primo esempio di un "Mirror Theorem" nel contesto degli invarianti
aperti. Questo e' lavoro collaborativo con Andrea Brini (Ginevra).
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L.
Di Biagio: Sistemi pluricanonici per 3-folds e 4-folds di tipo generale |
Abstract:
Un famoso teorema di Hacon-McKernan e Takayama asserisce che esistono
interi n(d) e m(d) tali che per ogni varietà proiettiva complessa
X di tipo generale e dimensione d, l'n-esimo plurigenere P(n) è
diverso da 0 se n>n(d) e l'm-esima mappa pluricanonica f(m) è birazionale
se m>m(d). Valori effettivi per n(d) e m(d) non sono conosciuti, salvo
che per d=1,2,3.
E' ragionevole aspettarsi che supponendo il volume di X sufficientemente
grande si possano ottenere risultati migliori: in questo seminario daremo
stime esplicite per d=3, migliorando così un risultato di Todorov,
e per d=4. Inoltre sempre nel caso di volume alto, daremo una caratterizzazione
dei 3-folds con mappa 4-canonica non birazionale, mostrando quindi come
le stime ottenute per d=3 siano in un certo senso ottimali.
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S.
Diverio: Bigness di fibrati vettoriali olomorfi, classi di Chern
e semistabilità. |
Abstract:
Motivati da alcune questioni di iperbolicità e, più generalmente,
di p-misura iperbolicità, descriveremo un criterio di tipo geometrico
differenziale sufficiente
per garantire la bigness di un fibrato vettoriale hermitiano su una
varietà complessa.
Daremo poi una caratterizzazione congetturale di tale criterio in termini
di semistabiltà e disuguaglianze sulle classi di Chern, fornendone
alcune evidenze.
Se il tempo lo permetterà, spiegheremo poi come riottenere le
diseguaglianze classiche di Bogomolov-Miyaoka-Yau e Kobayashi-Lübke
con queste tecniche.
Si tratta di un lavoro in corso, parzialmente in collaborazione con
Ernesto Mistretta.
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G. Failla: Varietà
di Hankel |
Abstract:
Ci interessiamo di una vasta ed interessante classe di varietà,
sottovarietà della Grassmanniana G(r,m) degli r-piani dello spazio
proiettivo P^m, introdotte da S. Giuffrida e R. Maggioni (
2007), dette varietà di Hankel, poiché costruite
a partire da matrici di Hankel.
Si studia il ruolo cruciale della curva razionale normale standard
di P^m nella loro caratterizzazione, il luogo singolare, le
equazioni di definizione. Anche particolari luoghi di r-piani di Hankel
di P^m sono descritti esplicitamente. Per la varietà delle rette
di Hankel di P^m, si ottengono risultati tramite argomenti di deformazione,
utilizzando ordinamenti monomiali noti in geometria algebrica classica
nello studio di varietà definite da minori.
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A.
Ferretti: L'anello di Chow delle sestiche EPW doppie |
Abstract:
Le varietà simplettiche irriducibili sono una generalizzazione
naturale delle superfici K3 in dimensione superiore. Pochi anni fa, prendendo
spunto da una notevole proprietà della forma d'intersezione sulle
K3 e dalle congetture di Bloch e Beilinson, Beauville ha proposto una congettura
che dà una descrizione parziale dei gruppi di Chow di
queste varietà.
Scopo del seminario è introdurre questo problema e descrivere
lo stato attuale della congettura. Avendo tempo, darò anche una
breve descrizione del lavoro fatto in tesi di dottorato, in cui dimostro
la congettura per una particolare famiglia.
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D. Fusi: Razionalitàe
problemi correlati. |
Abstract:
Una varietà proiettiva X di dimensione n è razionale se
è birazionale alla spazio proiettivo P^n.
Oggi la razionalità è chiara nel caso di curve e superfici
proiettive, diversamente dal caso di varietà proiettive di dimensione
maggiore o uguale a tre, dove la presenza di
varietà "vicine" alle razionali (quali "unirazionali" e "razionalmente
connesse") rende la questione molto piu` sottile. Molte questioni riguardanti
la razionalità rimangono tuttora aperte.
Nel seminario verranno esposti alcuni recenti risultati.
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G. Manno: Geometria delle
equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs) |
Abstract:
Una PDE può essere interpretata come una ipersuperficie del fibrato
E->M dove M è una varietà di contatto ed E è l'insieme
degli spazi Lagrangiani di M. Questo punto di vista permette una trattazione
geometrica della teoria delle caratteristiche delle PDEs e dei loro integrali
intermedi. Una classe notevole di PDEs, che è possibile descrivere
in termini delle loro caratteristiche, è quella delle equazioni
di Monge-Ampère.
Faremo vedere come tali equazioni sono in corrispondenza biunivoca
con distribuzioni (sottofibrati del fibrato tangente) sulla varietà
di contatto M.
Nel caso dim(M)=5, esporrò alcuni risultati di classificazione
di tali distribuzioni, dando un'idea di come rispondere positivamente ad
una congettura di Bryant-Griffiths sulla forma normale di equazioni di
Monge-Ampère paraboliche.
Nel caso dim(M)=3, farò vedere come lo studio delle distribuzioni
su M aiuti a risolvere un altro problema di classificazione posto da Sophus
Lie nel 1882 riguardante la classificazione delle metriche su superfici
che ammettono simmetrie proiettive.
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E.
Martinengo: Deformazioni infinitesimali di fibrati di Higgs e mappa
di Hitchin |
Abstract:
L’interesse per i fibrati di Higgs nasce dagli studi di Hitchin e Simpson
e la loro ricca struttura fa si che giochino un ruolo importante i molti
ambiti. Un fibrato di Higgs su una varietà complessa X è
il dato di un fibrato vettoriale E su X e di una sezione s in
H^0(X, End(E) \otimes\Omega_X^1).
Il mio lavoro riguarda deformazioni infinitesimali di fibrati di Higgs
tramite algebre di Lie differenziali graduate (dgla) e algebre L-infinito.
Questi approcci permettono di semplificare lo studio delle deformazioni
di un oggetto geometrico, tramite l’individuazione di un oggetto algebrico,
una dgla o un’algebra L-infinito, che controlla le deformazioni dell’oggetto
geometrico in questione.
Il mio primo risultato è l’individuazione di una dgla che controlla
le deformazioni di fibrati di Higgs. Grazie ad essa riottengo la descrizione
di Biswas e Ramanan delle deformazioni al primo ordine e miglioro il loro
risultato sulle ostruzioni.
Con le stesse tecniche ho studiato la mappa di Hitchin, definita da
Simpson come generalizzazione della mappa determinante introdotta da Hitchin.
Ho provato che essa è indotta da una mappa di algebre L-infinito.
Grazie a risultati standard nella teoria delle algebre L-infinito,
essa è quindi una mappa di teorie di deformazione e questo permette
di trovare una nuova condizione sulle ostruzioni alle deformazioni di fibrati
di Higgs.
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N. Mazzari: Alcuni aspetti
della coomologia sintomica |
Abstract:
La coomologia di Deligne-Beilinson è una teoria nata per studiare
i gruppi di Chow delle varietà algebriche complesse. Analogamente
la coomologia sintomica (rigida) è una teoria nell'ambito delle
varietà algebriche definite su un anello di valutazione discreta
di caratteristica mista.
In un recente lavoro, con B. Chiarellotto e A. Ciccioni, abbiamo dimostrato
alcune proprietà di questa coomologia come l'esistenza di un prodotto
cup e la mappa di Gysin. Il formalismo sviluppato servirà per un
studio approfondito del regolatore sintomico.
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M. Melo:
Compattificazioni di jacobiane di curve singolari |
Abstract:
Data una curva X singolare, la sua jacobiana Jac(X) non e', in generale,
compatta.
Il problema di trovare una compattificazione per Jac(X) e' molto classico
e risale a dei lavori di Igusa e Mayer-Mumford negli anni 50-60.
Da allora sono state trovate diverse soluzioni, che differiscono tra
di loro per il tipo di singolarita' ammissibili e le proprieta' dei funtori
di moduli a loro associati.
In questo seminario, discuteremo nuovi risultati sulle proprieta' modulari
di alcune di queste costruzioni, restringendoci al caso di curve nodali.
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A. Nigro:
Wronskiani di sezioni di fibrati di Grassmann |
Abstract:
Ogni sistema lineare su una curva può vedersi in modo naturale
come una particolare sezione di un fibrato di Grassmann sulla curva stessa,
associato a un certo fibrato di jets.
La nozione di wronskiano e di luogo di ramificazione di una serie lineare
si estende in modo naturale alle sezioni di un fibrato di Grassmann su
una varietà qualsiasi.
Si definirà la mappa di Wronski su spazi di sezioni di fibrati
di Grassmann e se ne illustreranno applicazioni alle curve iperellittiche,
dove il wronskiano dell'involuzione canonica assume una speciale importanza.
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M. Penegini: Fibrazioni
Isotriviali con p_g=q=2 |
Abstract:
Diamo una completa classificazione delle superfici di tipo generale
con p_g=q=2 che ammettono una fibrazione isotriviale.
La classificazione è ottenuta studiando i quozienti del prodotto
di due curve lisce modulo l'azione di un gruppo finito. Come conseguenza
otteniamo nuovi esempi di superfici con p_g=q=2 e K^2=4,5 e il primo esempio
con K^2=6.
Inoltre daremo la descrizione di una famiglia più grande di
superfici con K^2=5 e p_g=q=2 che contiene sia la nostra famiglia che,
presumibilmente (work in progress), una precedentemente costruita da Chen
e Hacon.
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A.
Perego: Gli spazi di moduli di O'Grady |
Abstract:
Gli esempi di O'Grady sono gli unici esempi conosciuti di varietà
irriducibili simplettiche che non si deformano in schemi di Hilbert di
punti su una superficie K3 (proiettiva) o in varietà di Kummer generalizzate.
Si tratta di risoluzioni simplettiche delle singolarità di spazi
di moduli di fasci coerenti su una superficie K3 o abeliana il cui numero
di Picard è 1, ed il cui vettore di Mukai è v=(2,0,-2).
Più in generale, l'esistenza di una risoluzione simplettica
è garantita, per un teorema di Lehn e Sorger, per una superficie
K3 proiettiva o abeliana qualunque, e per un vettore di Mukai v=2w, con
w primitivo e di quadrato 2.
In questo seminario parlerò di alcune proprietà di questi
spazi di moduli, come la 2-fattorialità ed il gruppo di Picard.
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E.
Postinghel: Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici
toriche |
Abstract:
Sia X la superficie torica proiettiva associata al politopo piano P.
Effettueremo degenerazioni toriche di X a unioni di piani, le quali
corrispondono a triangolazioni regolari D di P, al fine di studiare le
varietà k-secanti di X. In particolare daremo un limite dal basso
al grado secante e 2-secante, studiando la combinatorica della configurazione
D di degenerazioni toriche non-delightful, migliorando così un risultato
di B. Sturmfels e S. Sullivant.
Questo è un lavoro (in corso) che è parte della mia tesi
di dottorato.
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M. Seveso: Invarianti L
e moduli di monodromia associati a forme modulari |
Abstract:
Sia X la curva di Shimura associata ad una Q-algebra quaternionica indefinita
di discriminante D e ad un ordine di Eichler di livello N e sia S(X,k)
lo spazio delle forme modulari di peso k su X.
Uno dei temi ricorrenti nella aritmetica delle forme modulari è
la possibilità di associare un invariante L ad un forma modulare
f di peso k nuova in p. L’importanza di questo invariante risiede in parte
nel fatto che, quando f è una forma modulare spezzata, tale invariante
spiega la discrepanza fra il valore speciale della funzione L complessa
associata alla forma modulare e quello della funzione L p-adica.
Diverse definizioni, a priori differenti, sono state date: per esempio
da Mazur-Tate- Teitelbaum, Teitelbaum, Coleman, Mazur, Breuil, Darmon,
Orton e M. Greenberg.
Quando definiti questi invarianti sono noti essere tutti uguali.
In particolare, quanto X è una curva modulare (risp. X è
una curva di Shimura arbitraria ma k=2) Darmon e poi Orton nel caso k>2
(risp. M. Greenberg) hanno dato una definizione basata su una teoria della
integrazione p-adica.
Spiegheremo come definire un invariante che generalizza questi invarianti.
Un altro obbiettivo della conferenza sarà quello di spiegare
come sia possibile associare ad una forma modulare un modulo di monodromia
D’_f mediante una costruzione di Eichler-Shimura.
Sia V_f la rappresentazione p-adica associata da Deligne alla forma
modulare f e sia D_f il modulo di monodromia ad essa associato. Quando
l’invariante L da noi definito coincide con quello di Mazur D’_f=D_f.
I risultati citati sono stati ottenuti in collaborazione con Victor
Rotger.
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E. Tenni: Nuove varietà
slope-instabili |
Abstract:
Ross e Thomas hanno mostrato come certi sottoschemi possono K-destabilizzare
varietà polarizzate, introducendo la nozione di slope instabilità.
Mostrerò una situazione in cui la slope instabilità per
varietà corrisponde ad una condizione di tipo instabilità
per certi fibrati. Questo permette la costruzione di nuove classi di varietà
instabili ed in particolare si applica a scoppiamenti di superficie rigate
viste come fibrati in coniche su una curva.
E' un lavoro in collaborazione con J. Stoppa.
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P. Cascini : Geometria Birazionale Simplettica
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Abstract:
Lo scopo del Programma di Mori e' generalizzare la classificazione
birazione delle superfici algebriche, dovuta alla scuola italiana di geometria
algebrica, a dimensioni piu' alte.
Alcuni di questi risultati possono essere reinterpretati da un punto
di vista
della geometria simplettica. Discuteremo qualche aspetto di questo
programma.
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T. de Fernex : Un tuffo
negli zeri di polinomi
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Abstract:
Quanto rapidamente si annulla un polinomio quando imponiamo le variabili
uguali a zero? Chiaramente la risposta nel caso di un polinomio in una
variabile può solo dipendere dalla sua molteplicità. Quando
però il numero delle variabili è maggiore la questione diventa
più delicata.
Concentrandomi sui due esempi F(x,y) = y^2 - x^2 - x^3 e G(x,y) = y^2
- x^3, presenterò tre approcci completamente indipendenti (eppure
equivalenti), usando (a) condizioni
di integrabilità, (b) condizioni annullamento di derivazioni,
e (c) modificazioni geometriche del piano xy. Tale discussione porterà
alla definizione di "valore critico log-canonico". Alcuni risultati
recenti e questioni aperte verrano infine discusse.
Il seminario si basa su risultati ottenuti in collaborazione con L.
Ein e M. Mustata.
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A. N.Skorobogatov : Superfici di del Pezzo
e rappresentazioni di gruppi di Lie semi-semplici
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Abstract:
Relazioni tra le superfici di del Pezzo, i gruppi generati per riflessione
ed i gruppi di Lie risalgono a E. Cartan, Coxeter e Du Val.
Un esempio di queste relazioni è il seguente: la varietà
di Grassmann G(2,5) è un'orbita chiusa nella rappresentazione di
dimensione 10 del gruppo semi-semplice SL(5) associato al sistema di radici
A_4. Il toro massimale T di SL(5) agisce naturalmente su G(2,5). Il sottoinsieme
aperto U sul quale T agisce liberamente è un torsore universale
sul quoziente U/T, che è la superficie di del Pezzo di grado 5 (il
piano proiettivo scoppiato in quattro punti).
Si possono canonicamente associare alle superfici di del Pezzo di grado
d=4, 3, 2, 1 i gruppi di Lie semi-semplici di tipo D_5, E_6, E_7, E_8 e
loro orbite chiuse nelle rappresentazioni di dimensione 16, 27, 56, 248.
Ma le superfici di del Pezzo di grado d<5 ammettono spazi di moduli,
quindi non può esistere una equivalenza come in grado 5.
Tuttavia si può descrivere un torsore universale sulla superficie
di del Pezzo in termini di questa orbita. Il problema si collega alla descrizione
dell'anello di Cox tramite generatori e relazioni.
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