CORSO DI MATEMATICA PER BIOTECNOLOGIE (6 cfu)
linea 2, prof. Alberto Alzati ed Elisabetta Colombo
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PROGRAMMA DI MASSIMA DEL CORSO PER L'A.A. 2022-2023

1. Preliminari.
a) Insiemi e operazioni sugli insiemi. Iniettività, suriettività.
b) Numeri interi ed elementi di calcolo combinatorio: fattoriale, permutazioni, combinazioni semplici e con ripetizione, disposizioni semplici e con ripetizioni.
c) Numeri reali. Operazioni ed ordinamento in R. Insiemi di numeri reali limitati od illimitati.
Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Intervalli. Distanza.
d) Funzioni reali di variabile reale, grafico, dominio, immagine. Composizione di funzioni. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremi superiori e inferiori di funzioni. Segno e zeri di una funzione. Operazioni sui diagrammi: traslazioni, simmetrie.

Riferimenti: Arg.1 di Matematica Assistita. Cap. 1, 2 di [1] (e cap. 18 di [1], §3, §4 per il calcolo combinatorio).  Cap. 1 di [5].
 

2. Funzioni elementari.
a) Modulo. Potenze ad esponente naturale, intero, razionale e reale. Le funzioni potenza x^a e le funzioni esponenziali a^x. Le funzioni logaritmiche. Le funzioni trigonometriche.
b) Disequazioni algebriche di II grado, razionali fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche.
Sistemi di disequazioni.

Riferimenti: Arg.2 di Matematica Assistita. Cap. 3, 4 di [1].  Cap. 2, 3 di [5].
 

3. Limiti e funzioni continue.
a) Distanza ed intorni, intorni destri ed intorni sinistri. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Limiti elementari. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Teorema del confronto. Alcune forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.
b) Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass.

Riferimenti: Arg. 3, 4, 5 di Matematica Assistita. Cap. 5, 6 di [1].   Cap. 4 di [5].
 

4. Derivate ed applicazioni.
a) Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Retta tangente al grafico. Funzione derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto,
quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivabilità e continuità. Punti di massimo e minimo relativi. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni derivabili con derivata nulla, funzioni derivabili con uguale derivata, segno della derivata prima ed intervalli di monotonia della funzione. Ricerca di punti di massimo o minimo relativo attraverso il segno della derivata. Derivata seconda, suo segno e convessità.
b) Studio qualitativo del grafico di una funzione.
c) Derivate successive. Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teoremi di  de  l'Hospital, Polinomio di Taylor e Teorema di Taylor. Uso del teorema per la determinazione dei limiti.

Riferimenti: Arg. 6, 7 di Matematica Assistita. Cap. 7, 8 di [1].   Cap. 5, 6 di [5].
 

5. Integrali.
a) Funzioni primitive (integrali indefiniti). Integrali elementari. Definizione di integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
b) Calcolo di aree mediante l'uso di integrali.
c) Cenni agli integrali impropri su intervalli illimitati.

Riferimenti: Arg. 8, 9, 10 di Matematica Assistita. Cap. 8, 9 di [1].
 

6. Algebra lineare.
a) Vettori geometrici. Vettori in R^n . Matrici a coefficienti reali. Prodotto tra matrici e sue
proprietà. Sistemi lineari in forma matriciale Ax = b. Risoluzione sistemi con il metodo Gauss.
b) Rango (o caratteristica di A). Determinante di matrici quadrate.  Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer. Inversa di una matrice quadrata.
c) Il prodotto scalare e sue proprietà. Norma (o modulo) di un vettore. Vettori ortogonali. Cenni di geometria analitica. Prodotto vettoriale in R^3.

Riferimenti: Arg. 11A (fino a pag 15), Arg.12 (pag. 1-6, 11, 12) ,
Arg. 13 (pag.1-5) di Matematica Assistita. Note docente. Cap 14,15 di [1].
 

7. Equazioni differenziali.
Definizioni di equazione differenziale (in forma normale e non) e di ordine di un'equazione differenziale. Soluzione e soluzione generale di un'equazione differenziale.

Esempi di equazioni differenziali. Problema di Cauchy.

Riferimenti: note docente. Cap. 12 di [1].

Riferimenti Bibliografici
In rete: Progetto Matematica Assistita.
[1] A. Guerraggio:  Matematica per le Scienze, ed. Pearson, 2014. Seconda edizione 2018, con contenuti digitali scsricabili dalla rete.
[2] D. Benedetto - M. Degli Esposti - C. Maffei:  Matematica per le Scienze della vita, ed. Ambrosiana; II ed. 2012; III ed. 2015.
[3] M. Abate: Matematica e Statistica, ed. McGraw Hill; III ed. 2017.
[4] C. Sbordone - F. Sbordone: Matematica per le Scienze della Vita, ed. EdiSES, 2014.
[5] S. Annaratone: Matematica sul campo, ed. Pearson, 2017.
[6] D. Benedetto - M. Degli Esposti - C. Maffei:  Dalle funzioni ai modelli,
ed. Ambrosiana; I ed. 2014.
[7] A. M. Bigatti - L. Robbiano: Matematica di base ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana); II ed. 2021.
[8] V. Villani - G. Gentili:  Matematica  ed. McGraw Hill; VI ed. 2022  (+ eserciziario con 400 esercizi svolti).

Le lezioni saranno corredate da numerose ore di esercitazioni svolte dagli stessi docenti.

Prerequisiti
E' richiesta una conoscenza della Matematica a livello della scuola media superiore;
per una valutazione della propria preparazione lo studente può utilizzare il progetto MiniMat https://www.elearning.unimi.it

RICEVIMENTO STUDENTI
Per appuntamento, tramite E-mail,

presso l'ufficio del prof. Alzati, via C. Saldini 50, stanza 2103, se possibile, altrimenti via Skype.

 

MATERIALE DIDATTICO DI SUPPORTO

Tale materiale è estratto dal progetto "Matematica Assistita" preparato da calcuni colleghi del Dipartimento di Matematica negli scorsi anni.

Tutto il materiale dell'intero progetto si trova sul portale Ariel dei corsi on-line dell'Università di Milano
(a cura del CTU) dove si trovano anche le indicazioni circa il copyright di tale produzione.
Per collegarsi al portale effettuare una ricerca in rete delle parole chiave:

"progetto matematica assistita unimi"

Il materiale proposto può essere scaricato e stampato, ma è stato pensato per essere usato sul proprio computer: infatti una volta ridotto in formato cartaceo si perdono tutti i link (tra i vari argomenti e tra esercizi, teoria e soluzioni) che dovrebbero aiutare lo studente ad orientarsi più velocemente nella soluzione degli esercizi e nel trovare i convenienti richiami teorici.
Tutti i file di testo sono in versione pdf.
Per poterli leggere è necessario usare  Acrobat Reader     (versione 5.0 o superiore).

Una copia dei files .pdf del progetto è disponibile e scaricabile anche alle pagine personali del prof. Alzati (il link è qui sopra).

Acquistando una copia del testo [1] è possibile collegarsi ad un sito dove sono presenti numerosi esercizi che si possono svolgere come test di autovalutazione.
Per avere un'idea degli esercizi effettivamente presenti nei temi d'esame è opportuno prendere visione:
- dei temi d'esame relativi agli scorsi a.a. (si veda sotto);
- dei temi d'esame del vecchi moduli da 3 cfu: Fond. Mat. (si veda sotto) e App. Mat. (si vedano le pagine personali della prof. Colombo).

Novità: alla pagina web

https://www.youtube.com/watch?v=qvJnYZq1AiE&list=PLdZlDTUp8tFj-WqN89wt4XWbAEWQpa_DK

si trovano alcune brevi videoclip didattiche di Matematica preparate da alcuni studenti del CDL in Matematica.
Quelle che interessano gli argomenti del corso e che possono essere utilmente consultate sono:
- disequazioni 1
- disequazioni 2
- grafici da grafici
- derivate
- teorema di Lagrange (solo in parte).


ATTIVITA' DI TUTORATO
Nell'a.a. 2022-2023 è stata organizzata un'attività di tutorato, unica per entrambe le linee, rivolta a tutti gli studenti del corso, che si svolgerà

ogni giovedì dalle ore 13.30 alle ore 15.30 in aula 110 (via Celoria 18)

a partire da giovedì 13 ottobre. Durante tali incontri, verrà effettuato un ripasso degli argomenti di Matematica abitualmente svolti nelle scuole superiori, verranno svolti esercizi e gli studenti potranno chidere spiegazioni inerenti al programma del corso.
Non è stato possibile individuare un giorno/orario che eviti tutte le attività di laboratorio, ma, poichè queste si svolgono per gruppi di studenti, confidiamo che tutti, se lo ritengono opportuno, abbiano la possiibilità di partecipare al tutoraggio.

 

Dall'a.a. 20/21 agli studenti che ottengono un basso punteggio in relazione al test di ingresso sono conferiti alcuni OFA (Obblighi formativi aggiuntivi). Le informazioni al riguardo sono presenti sul sito del corso di laurea.


INFORMAZIONI SUGLI ESAMI (aggiornate al 5-12-22)

Generalità.
L'esame del corso di Matematica è solo scritto.
Durante la prova non è consentito consultare appunti, libri o altro, nè far uso di apparecchiature elettroniche (calcolatrici, cellulari, ecc.),
eccetto che per studenti con DSA (oppure in caso di prove telematiche).

PER SOSTENERE OGNI ESAME O PARTE DI ESSO O PROVA DI ESONERO
E' NECESSARIO PRESENTARE UN DOCUMENTO D'IDENTITA' VALIDO

A partire dal primo giugno 2022, salvo ulteriori e diverse disposizioni del Rettore o della Facoltà di Scienze, sono state modificate le modalità degli esami SCRITTI, che ora si svolgono in presenza.

La mascherina FFP2 sul volto non è più obbligatoria, benchè consigliabile.

Per gli esami scritti del corso si seguirà questa procedura:

- i docenti entreranno in aula in anticipo e sistemeranno i fogli a quadretti solo nei posti che dovranno essere occupati
- gli studenti attenderanno fuori dall'aula: saranno chiamati ed invitati ad entrare tramite appello nominale, lasceranno gli effetti personali lungo le pareti del locale e si siederanno dove indicato dai docenti

- potranno avere con sè solo cancelleria e viveri (salvo casi particolari)
-
se possibile, le porte resteranno sempre aperte per garantire il ricambio di aria
- dopo che tutti si saranno sistemati verranno
comunicate alcune informazioni e poi distribuiti i testi delle prove scritte
- terminate queste operazioni si darà inizio alla prova (durata: 2h)
- il controllo dei documenti
con foto riconoscibile avverrà in seguito, mantenendo le distanze, con restituzione degli stessi e contestuale firma sull'elenco degli iscritti.


Calendario.


Nel 2023 gli esami seguiranno il seguente calendario di massima. Appena possibile le date saranno confermate, verrà comunicato l'orario e la modalità di svolgimento dell'esame (telematica o in presenza, in tal caso sarà indicata l'aula in cui si svolgerà la prova).

25 gennaio, ore 9.30 aula 405 (la linea 1 sarà in aula 200)

15 febbraio, ore 9.30 aula 404 (la linea 1 sarà in aula 200)


Le seguenti date non sono ancora state confermate:

26 aprile

21 giugno

12 luglio

6 settembre

una data di novembre non ancora determinata.


Iscrizioni agli appelli.
Ogni studente che intende sostenere l'esame del corso di Matematica DEVE iscriversi ad uno degli appelli, tramite il sistema SIFA (o sistema equivalente). Per ulteriori informazioni rivolgersi alla segr. studenti. Le iscrizioni di norma si chiudono 3/4 giorni prima della data degli appelli.

L'iscrizione ad un appello, per via elettronica tramite il sistema SIFA, usando uno dei terminali messi a disposizione dall'Ateneo, è NECESSARIA per poter sostenere l'esame in quell'appello e non è valida per gli appelli successivi.

Verbalizzazioni.
Dopo lo svolgimento della prova scritta dell'esame e la correzione dei compiti gli esiti saranno verbalizzati e comunicati automaticamente ai singoli studenti tramite un messaggio di posta elettronica. In caso di esito positivo, entro un periodo di tempo che verrà comunicato, ogni studente potrà accettare o rifiutare il voto. In tal caso dovrà ripresentarsi ad uno dei successivi appelli.

PROVA D'ESONERO (a.a. 22/23)

Al termine della prima parte del corso, si è svolta un'unica prova scritta d'esonero.

LA PROVA E' RISERVATA ALLE MATRICOLE DELL'A.A. 22/23. E' necessario iscriversi, via SIFA (la prova d'esonero è chiamata "prova in itinere")

La prova d'esonero si è svolta mercoledì 23 novembre  in aula G21 alle ore 9


Gli esiti saranno comunicati alcuni giorni dopo lo svolgimento della prova: ciascuno riceverà un comunicato via E-mail. Sarà esposto anche un elenco alle pagine personali del prof. Alzati.

Per ragioni di privacy l'elenco degli esonerati sarà poi tolto dalle pagine personali del prof. Alzati.

Agli studenti che avranno superato la prova sarà assegnato un voto da 18 a 30.

Salvo precedente rinuncia, comunicata per E-mail al prof. Alzati, dopo il 9-1-23 il voto assegnato si riterrà accettato dall'interessato e non sarà più possibile cambiare parere.


Per sostenere l'esame, gli studenti esonerati dovranno iscriversi regolarmente ad uno degli appelli in calendario, come spiegato sopra, ma saranno esonerati da circa la metà degli esercizi di un normale tema d'esame. Il loro voto finale sarà la media (non aritmetica) dei voti riportati avendo svolto la prova d'esonero e svolgendo la restante parte del tema d'esame da loro affrontato.
Nel caso non superassero complessivamente la prova d'esame affrontata, potranno ripresentarsi ad uno degli appelli successivi, conservando l'esonero.
L'esonero sarà valido solo per gli appelli di gennaio, febbraio ed aprile 2023.

PRECISAZIONE: nel caso uno studente in possesso dell'esonero superi una prova d'esame, ma rifiuti il voto finale, potrà ripresentarsi ad uno degli appelli successivi conservando l'esonero, fino allo scadere della validità dell'esonero stesso.
Per ovvi motivi, gli studenti che intendono utilizzare questa possibilità sono vivamente consigliati di rifiutare ufficialmente il voto PRIMA di presentarsi all'appello successivo.

ARCHIVIO TEMI D'ESAME

prova d'esonero 2014
gennaio 2015
febbraio 2015-I
febbraio 2015-II
giugno 2015
luglio 2015
settembre 2015
novembre 2015
prova d'esonero 2015
gennaio 2016
febbraio 2016-I
febbraio 2016-II
giugno 2016
luglio 2016
settembre 2016
novembre 2016
prova d'esonero 2016
gennaio 2017
febbraio 2017
aprile 2017
giugno 2017
luglio 2017
settembre 2017
novembre 2017
prova d'esonero 2017
gennaio 2018
febbraio 2018
aprile 2018
giugno 2018
luglio 2018
settembre 2018
novembre 2018
prova d'esonero 2018
gennaio 2019
febbraio 2019
aprile 2019
giugno 2019
luglio 2019
settembre 2019
novembre 2019
prova d'esonero 2019
gennaio 2020
febbraio 2020
aprile 2020
giugno 2020
luglio 2020
settembre 2020
novembre 2020
prova d'esonero 2020
gennaio 2021
febbraio 2021
aprile 2021
giugno 2021
luglio 2021
settembre 2021
novembre 2021
prova d'esonero 2021
gennaio 2022
febbraio 2022
aprile 2022
giugno 2022
luglio 2022
settembre 2022
novembre 2022
prova d'esonero 2022




TEMI D'ESAME DEL VECCHIO MODULO DI FONDAMENTI MAT.

Per comodità degli studenti si riportano qui di seguito le copie di alcuni recenti temi d'esame:

prova d'esonero 2011
gennaio 2012
febbraio I 2012
febbraio II 2012
giugno 2012
luglio 2012
settembre 2012
prova d'esonero 2012
gennaio 2013
febbraio I 2013
febbraio II 2013
giugno 2013
luglio 2013
settembre 2013
novembre 2013
prova d'esonero 2013
gennaio 2014
febbraio I 2014
febbraio II 2014
giugno 2014
luglio 2014
settembre 2014
gennaio 2015
febbraio I 2015
febbraio II 2015
giugno 2015
luglio 2015
settembre 2015
novembre 2015
gennaio 2016
febbraio I 2016
febbraio II 2016
giugno 2016
luglio 2016
settembre 2016 (ultimo)

Altri temi d'esame si possono reperire a questo indirizzo.

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QUESTE ISTRUZIONI RIGUARDANO LE PROVE TELEMATICHE

Quelle del 16-2-22 sono conservate in attesa di eventuali usi futuri


ISTRUZIONI GENERALI PER LA PROVA D'ESAME TELEMATICA DEL 16-2-22
(solo per gli studenti che ne abbiano fatto motivata richiesta, per tempo - si vedano le regole precedenti)


1) Gli studenti dovranno essere regolarmente iscritti, via SIFA, alla prova d'esame del 16-2-22.

2) Gli studenti iscritti, per sostenere la prova per via telematica, devono avere a disposizione quanto richiesto ai punti successivi. Gli indirizzi di E-mail, recuperati grazie all'iscrizione, consentiranno di predisporre una mailing list per eventuali avvisi.
In particolare saranno usati per inviare le informazioni per partecipare alla piattaforma Zoom.

3) Per sostenere la prova per via telematica ognuno dovrà avere a disposizione un locale adatto per almeno 2h.30, ossia un locale in cui non dovrà accedere nessun altro, dotato di scrivania, di cancelleria e di un buon numero di fogli bianchi, di qualunque tipo, su cui scrivere.

4) Per sostenere la prova per via telematica ciascuno dovrà disporre di
- un apparecchio in grado di fare foto e di inviarle per posta elettronica
E INOLTRE DI
- un computer/tablet/smartphone, dotato di telecamera e microfono, in grado di utilizzare il programma Zoom
(scaricabile gratuitamente dalla rete).

5) Il collegamento Zoom (si vedano le seguenti istruzioni dettagliate) sarà aperto verso le ore 9.
La prova inizierà alle ore 9.30 (anche prima se tutti gli iscritti saranno già presenti), dopo il controllo delle identità, e durerà due ore, come al solito.


ISTRUZIONI DETTAGLIATE PER LA PROVA D'ESAME DEL 16-2-22

CORSO DI MATEMATICA PER BIOTECNOLOGIA

linea 2: proff. A. Alzati – E. Colombo
Istruzioni per lo svolgimento della prova d'esame del  16 febbraio 2022
solo per gli seventuali studenti che ne abbiano fatto motivata richiesta
si vedano le regole precedenti

- La prova si svolgerà nel locale prescelto dal candidato, in cui sarà presente solo lui, mediante la piattaforma Zoom. Le coordinate per accedere (numero di ID e password) verranno comunicate in precedenza ai singoli candidati via E-mail.

All'ora prevista
verrà aperto il meeting e potrà iniziare la registrazione che terminerà entro l'ora stabilita per l'inizio della prova. Come spiegato nelle istruzioni precedenti, ogni candidato dovrà disporre di due strumenti informatici: il principale (I), collegato ai docenti tramite Zoom, ed il secondario (II), che servirà solo per l'invio degli elaborati.


- La registrazione consiste nell'identificazione dei candidati che dovrà avvenire mediante il controllo di un documento di identità idoneo (non il tesserino universitario in quanto i dati riportati risultano praticamente invisibili alla telecamera) utilizzando la webcam di (I). Il candidato dovrà avere già predisposto un foglio intestato con cognome, nome e numero di matricola .

- Dopo la registrazione il candidato, che si sarà munito di penna scura e di un adeguato numero di fogli bianchi, dovrà inquadrare tramite (I), permanentemente, la zona di lavoro, da almeno un metro di distanza, e mantenere attivo l'audio in uscita e in entrata. A eventuale richiesta dei commissari potrà dover modificare l'inquadratura, eventualmente ampliandola. La zona di lavoro dovrà includere solo materiale di cancelleria e viveri, come al solito, e lo strumento (II).

- Il testo della prova verrà dettato. (o inviato per E-mail). La prova avrà quindi inizio. La richiesta di eventuali chiarimenti, unicamente sull'interpretazione del testo, dovrà essere limitata all'essenziale ed usare solo il canale audio di (I).

- In caso di caduta della connessione per qualche candidato e successivo ripristino, la prova potrà essere considerata valida solo a discrezione della commissione, che deciderà in merito anche in base alla durata dell'interruzione, che non dovrà comunque superare pochi minuti.

- In caso di ritiro, il candidato dovrà segnalarne l'intenzione e dichiararla per iscrittto sul foglio con l'intestazione, che andrà firmato e comunque inviato secondo la modalità che segue con la dicitura “Al termine della prova”.

- Al termine della prova, o comunque al termine delle due ore, il candidato, sempre inquadrato da (I), dovrà, tramite (II), immediatamente fotografare i fogli su cui ha svolto la prova (escludendo, a sua discrezione, eventuali brutte copie), fogli che avrà numerato partendo da quello con l'intestazione, e raccogliere le foto in un unico file pdf (oppure in un'unica cartella, possibilmente compressa),
indicato con il proprio nome e cognome.
A tal fine si suggerisce di valutare ( e precedentemente sperimentare )  l'uso dell'applicazione che si trova all'indirizzo indicato

Camscanner          https://www.camscanner.com/
 
[
Per far diventare il cellulare uno scanner e produrre .pdf di un qualunque foglio scritto a mano o documenti, etc. ]

Dovrà quindi inviare il file/cartella nel più breve tempo possibile (non più di qualche minuto) per E-mail, tramite (II),
al docente con il quale ha sostenuto la prova e di cui verrà fornito l'indirizzo.

Il candidato riceverà risposta a voce o tramite E-mail dal docente di riferimento, con la conferma della ricezione dell'elaborato. Il mancato invio o l'invio oltre un tempo ragionevole comportano l'esclusione dalla prova. Farà fede l'orario che apparirà nel messaggio di invio. Si consiglia di tenere attivo il collegamento, tramite (I), fino ad avvenuta conferma di ricezione da parte del docente di riferimento.
Nei fogli su cui viene riportato lo svolgimento non è necessario che compaia il testo dei singoli quesiti, ma è sufficiente il numero d'ordine, inizialmente assegnato dalla commissione, che li identifica.


- Si ribadisce che la prova è strettamente individuale. Ogni eventuale comportamento illecito è penalmente perseguibile. La commissione potrà a suo insindacabile giudizio procedere all'annullamento di elaborati che dovesse ritenere compilati in modo non regolamentare.