ATTIVITA' DI RICERCA

    L'attività scientifica del sottoscritto si è svolta nel campo della Geometria Algebrica complessa.

    Inizialmente l'interesse è stato rivolto allo studio del problema dell'esistenza di possibili immersioni di varietà in Grassmanniane, con particolare riguardo al caso delle varietà fibrate in spazi lineari e non lineari, in G(1,4); (lavori [1],[2],[3],[4]).

    In seguito sono state affrontate due ulteriori problematiche del tutto differenti fra loro:
- da un lato lo studio della razionalità o meno di alcune delle varietà tridimensionali classicamente note col nome di complessi cubici; (lavori [6], [7],[13],[21]).
- dall'altro l'analisi delle sottovarietà di piccola codimensione in P^n tendente a dimostrare, in ultima analisi, la celebre congettura di Hartshorne sulle intersezioni complete; (lavori [5],[9],[10],[11],[16],[18],[22],[27],[38],[41],[45],[49],[58]); di tale questione il sottoscritto continua ad occuparsi.

    L'attenzione è stata rivolta anche:
- allo studio delle corrispondenze simmetriche su una curva, (lavori [12], [23]), e in particolare al teorema di De Franchis sul massimo numero delle applicazioni olomorfe esistenti tra una curva fissata ed un'altra a piacere; (lavori [14],[15]);
- allo studio dell'equivalenza razionale di zero-cicli sui prodotti 3-simmetrici di varietà Abeliane, (lavoro [17]);
- allo studio di alcune questioni inerenti le forme olomorfe definite su una varietà (lavoro [20]);
- all'estensione dei classici teoremi di Severi-De Franchis alle varietà di dimensione maggiore od uguali a tre, già effettuata da altri nel caso delle superfici, (lavori [24],[26]).

    Parte del tempo è stato anche dedicato:
- allo studio della classificazione delle superfici polarizzate, (lavoro [8]);
- alla stesura di una riformulazione, nel linguaggio della Geometria Algebrica complessa, di una serie di risultati di J. Mather, concernenti singolarità di applicazioni olomorfe, utilizzati in lavori precedenti, (lavoro [19], più tardi esteso alle varietà singolari, lavoro [33]);
- alla compilazione di un survey concernente il teorema di Griffiths sui sistemi Hamiltoniani allo scopo di rendere tale teorema, enunciato nel linguaggio della Geometria Algebrica, più facilmente comprensibile ai fisici matematici, (lavoro [25]).

    Successivamente il sottoscritto si è occupato:
- della determinazione di alcuni criteri di molta ampiezza per divisori di fibrati proiettivi curve ellittiche (lavoro [29]) e più recentemente di fibrati di rango 2 su superfici rigate (lavoro [46]), che ha condotto anche alla soluzione di un problema di geometria proiettiva elementare relativo a configurazioni di rette e punti (lavoro [60]).
- dello studio della k-regolarità delle varietà algebriche lisce sia linearmente normali (lavori [28],[30],[31],[32]) che non linearmente normali (lavoro [34]);
 - del concetto di connessione per divisori di varietà con dimensione superiore a due (lavoro [36]).

    Ulteriori questioni affrontate sono state:
- l’analisi di alcuni sistemi subomaloidici in relazione alla classificazione delle varietà con un solo punto doppio apparente (lavori [35],[37]) ;
- lo studio di particolari contrazioni estremali e mappe razionali (lavori [39],[42],[59], [61]), che ha condotto anche ad una stima del grado degli schemi definiti da quadriche (lavoro [52]);
- la costruzione di superfici algebriche mediante tecniche di computer algebra (lavoro [43]);
- la classificazione delle superfici di Veronese riducibili e questioni di proiettabilità isomorfa per varietà riducibili di grado minimo (lavori [48],[54],[55],[56]).

    Recentemente si è occupato anche di rappresentazioni geometriche di spazi di moduli (lavori [51],[53]), in particolare dello spazio delle curve razionali con dato spezzamento del fibrato tangente e normale (lavori [63],[66],[67],[69]) e della caratterizzazione di fibrati di rango 2 su P^2 e su superfici rigate razionali di tipo speciale (lavori [65],[68]). Ultimamente ha lavorato anche sulla congettura relativa alla Weal Lefschetz Property (lavoro [70]).

    Dal 2002 sta collaborando con alcuni docenti di informatica nel settore della computer vision (lavori [40],[44],[47],[50],[57],[62],[64]).

    Sui temi citati il sottoscritto ha tenuto ogni anno dei seminari nell'ambito dei Seminari di Geometria dell'Università di Milano e delle conferenze in varie Università italiane.
 
 

DESCRIZIONE DEI LAVORI

Sottovarietà di Grassmanniane ([1],[2],[3],[4]).

[1] Sia G(d,n) la Grassmanniana dei d-spazi di P^n. In questo lavoro si esplicitano i legami che devono sussistere tra le classi di Chern ci[G(d,n)] della Grassmanniana e quelle di una sua sottovarietà liscia V di codimensione uno oppure di codimensione due e sottocanonica.
Il calcolo di Schubert permette di determinare le espressioni di ci[G(d,n)] nell'anello di coomologia H*[G(d,n)] della Grassmanniana quando i=1,2,3 e per ogni i quando d=1.Usando poi le relazioni esistenti fra H*[G(d,n)] e H*(V) si ricavano le classi di Chern di V in funzione di quelle della Grassmanniana. Se V ora è una varietà della quale sono note le classi di Chern è così possibile confrontare le espressioni delle ci(V) con quelle che esse dovrebbero avere se V fosse immersa in G(d,n). Si ottengono così delle condiioni, in H*(V), necessarie alla esistenza di una possibile immersione di V in G(d,n). Tale semplice ma fruttuosa idea è alla base anche dei tre successivi lavori.
In [1] si perviene ai seguenti risultati:
- se V è un'intersezione completa di ipersuperfici dello spazio proiettivo di immersione di G(d,n), allora V non può essere immersa in G(d,n) (a parte il caso banale d=1,n=3) a meno che d=1,n=4, ed in tal caso V è coomologa a G(1,3);
- se V ha tutte le classi di Chern nulle può essere immersa in G(d,n) solo se d=1, n=3 ed in tal caso V è una superficie abeliana di grado 14;
- se V = P^rxP^s non può essere immersa in G(d,n) con codimensione 1;
- se V = P^rxP^r può essere immersa in G(d,n) con codimensione 2 solo se d=1, n=3 ed in tal caso r=1.

[2] In tale lavoro si esaminano molto dettagliatamente tutti i 3-scroll (varietà liscie tridimensionali,fibrate in piani su una curva) immersi in una particolare Grassmanniana: la G(1,4), estendendo così precedenti risultati di N.Goldstein e A.Papantonopoulou che riguardavano la G(1,3).
Il risultato al quale si perviene è il seguente:
- in G(1,4) non esistono 3-scroll su una curva base (liscia ed irridu- cibile) di genere g >= 2;
- se g=0 (5 casi) o g=1 (1 caso) gli scroll esistenti si possono classificare e, per ciascuno di essi, esibirne una effettiva costruzione geometrica.

[3] L'analisi delle possibili immersioni di 3-varietà V in G(1,4) è proseguita con questo lavoro nel quale si esaminano i 18 tipi di 3-varietà di Fano classificate da Iskohvskih. Per 5 di essi si dimostra che non esistono immersioni in G(1,4). Per ciascuno degli altri si stabilisce la corrispondente virtuale espressione di V nell'anello di coomologia della Grassmanniana, espressione che quasi sempre è unica. Ulteriori considerazioni ad hoc permettono poi di stabilire per tutti i tipi di varietà di Fano considerate, eccetto 5,l'effettiva esistenza o meno di una immersione in G(1,4).

[4] Con questo lavoro si completa l'analisi sopra citata prendendo in esame le 3-varietà V del tipo P^2xC, C curva liscia, e del tipo P^1xS, S superficie liscia. Si dimostra che nel primo caso esistono solo due possibili immersioni di V in G(1,4), ed in entrambi i casi C è razionale. Nel secondo caso si esclude l'immersione in G(1,4) quando:
- S è una rigata geometrica razionale di invariante e > 0;
- S = P^1xP^1;
- S è una superficie di Del Pezzo (diversa da P^2) immersa mediante un multiplo del suo divisore canonico.
Infine, se S è una superficie minimale di dimensione di Kodaira nulla, sono possibili solo 3 immersioni di P^1xS in G(1,4) completamente classificabili.

Questioni di razionalità ([6],[7],[13],[21]).

[6] Tale lavoro, effettuato in collaborazione con M.Bertolini, si occupa di un problema di razionalità per varietà tridimensionali.
Sia Vn l'intersezione completa di una ipersuperficie quadrica Q e di una ipersuperficie cubica liscia X di P^5 contenente n piani, a due a due incidenti in un solo punto. Poichè Q è identificabile con la Grassmanniana delle rette di P^3, le Vn, sezioni della Grassmanniana con una ipersuperficie cubica di P^5, sono dei particolari complessi cubici secondo la definizione classica.
V1 non è razionale: ciò è stato dimostrato da Conte utilizzando la classica teoria di Beauville sui fibrati in coniche. E.Ambrogio e D.Romagnoli hanno dimostrato la non razionalità di V2 e di V3. Se n >= 4 Vn è razionale, ciò segue dall'esistenza di una applicazione birazionale fra G(1,4) e P^4 tale che, tramite essa, alcuni complessi cubici corrispondano a ipersuperfici cubiche di P^4, (tale costruzione risale a Fano).
In questo lavoro si studiano le strutture di fibrati in coniche su su- perfici razionali che nascono naturalmente da opportuni scoppiamenti delle Vn: ad esse non si può applicare la teoria di Beauville. Si prova la razionalità di Vn applicando alcuni recenti risultati di Sarkisov ed Iskohvskih sulla razionalità dei fibrati in coniche; ciò costituisce una conferma di una recente congettura di Iskohvskih in merito. Si prova inoltre che V7 contiene sempre un ulteriore piano univocamente determi- nato dai primi sette,in modo che gli 8 piani delle V8 non possono essere in posizione generica, e che n =< 8 (se n>=9 X si spezza necessariamente in Q e in un iperpiano).

[7] Il lavoro in questione, eseguito sempre in collaborazione con M.Bertolini, è la naturale prosecuzione del precedente. Vengono riprese in esame le Vn, ma questa volta non si pone alcuna limitazione sulla configurazione che gli n piani possono assumere; configurazione che è determinata in sostanza dalle mutue intersezioni dei vari piani.
Alcune considerazioni sulla dualità esistente fra i piani in G(1,3) provenienti dalle rette di un piano o da una stella di rette, unite al fatto che, come è prevedibile, se n è abbastanza alto Vn è razionale, consentono di stabilire per ogni intero n >= 1 e ogni possibile configurazione di n piani in Vn la razionalità o meno di tale varietà.
Strumenti chiave delle varie dimostrazioni sono ancora le già citate tecniche di Iskovskih e Sarkisov ed il passaggio, ove necessario, ad esaminare la razionalità di un'opportuna ipersuperficie cubica di P^4, birazionalmente equivalente alla Vn, modulo la già ricordata trasformazione di Fano.
I risultati ottenuti, che è impossibile qui riassumere brevemente, costituiscono un'ulteriore conferma della menzionata congettura di Iskovskih e forniscono anche la prova della non razionalità di alcune ipersuperfici quartiche singolari di P^4.

[13] Il presente lavoro, svolto in collaborazione con M.Bertolini è una naturale prosecuzione di [6] e [7], vi si risolve infatti un problema analogo a quello trattato in [7]: si studia il problema della razionalità della generica ipersuperficie quartica di P^4(C) contenente due rette doppie sghembe (se fossero incidenti essa sarebbe in ogni caso razionale) ed un qualunque numero di piani, secondo tutte le configurazioni possibili.
Conte e Murre avevano dimostrato, utilizzando la teoria dei fibrati in coniche, che una tale ipersuperficie, contenente una sola retta doppia, non è razionale. In questo lavoro si analizzano le varie strutture di fibrati in coniche che provengono da quella sopra citata, all'apparire, nella ipersuperficie, della seconda retta doppia e dei vari piani: caso per caso se ne determina poi la razionalità o meno. La maggior parte delle analisi fa uso della già ricordata trasformazione birazionale, risalente a Fano, fra P^4(C) e la quadrica di Klein; in tal modo le ipersuperfici in questione si trasformano in complessi cubici dello stesso tipo di quelli trattati in [7]. Sfruttando i precedenti risultati si riescono così a risolvere quasi tutti i casi, tranne alcuni; per questi ultimi si ricorre ad una procedura ad hoc.

[21] In questo lavoro, svolto in collaborazione con M.Bertolini, si esaminano dal punto di vista della razionalità, le 3-varietà di Fano con il secondo numero di Betti maggiore od uguale a due. Tali varietà sono state recentemente classificate da Mori e Mukai e quelle fra loro che non si ottengono tramite scoppiamento a partire da altre 3-varietà dello stesso tipo, sono fibrati in coniche su P^2 oppure su P^1xP^1. Esplicitando la struttura di fibrati in coniche di queste varietà, che è ottenuta tramite applicazione della teoria di Mori, ed applicando opportunamente una serie di noti criteri si riesce a determinare razionalità ed unirazionalità per ciascuna delle varietà considerate.

Superfici polarizzate ([8]).

[8] L'ottavo lavoro si occupa della classificazione delle superfici fortemente polarizzate (secondo Fujita); ossia delle coppie (X,L) ove X è una superficie algebrica proiettiva liscia e L è un suo divisore molto ampio.
Il genere g(L) di una generica curva irriducibile liscia appartenente al sistema lineare completo |L| si dice genere sezionale della coppia (X,L).
In una lunga serie di lavori E. L. Livorni ed A. Biancofiore hanno classificato tutte le coppie con genere sezionale basso; il metodo da loro usato si è basato sullo studio della mappa associata a |KX + L|, classicamente detta mappa di aggiunzione. I recenti risultati ottenuti in merito da Sommese e Van de Ven, (appoggiantisi al celebre criterio di molta ampiezza di Reider) hanno consentito loro di usare un procedimen- to, l'aggiunzione iterata, che consente di stabilire il seguente fatto: data una coppia di partenza (X0,L0), X0 con dimensione di Kodaira negativa,esiste un'altra coppia (X,L), ottenuta dalla prima mediante un numero finito di scoppiamenti descrivibili dettagliatamente, tale che:
(i) g(L) < g(L0) oppure
(ii) (X,L) appartiene ad un insieme di coppie ben definito.
E' chiaro come, in linea teorica, sia così possibile ottenere la clas- sificazione cercata; tuttavia il procedimento fornisce tutte le possibili coppie (X0,L0), per garantire che ognuna di esse esista occorre dimostrare che L0, pull-back di un divisore noto di X, sia molto ampio per X0. Inoltre molto spesso per ottenere (i) è necessario iterare il processo rimanendo sulla stessa superficie minimale.
In questo lavoro si stabiliscono delle condizioni sufficienti per ottenere (i) senza ricorrere all'espediente sopra citato; si dimostra la non esistenza di coppie (X0,L0) con X0 razionale ed L0 soddisfacente opportune condizioni; si determinano tutte le superfici per le quali l'aggiunione iterata lascia invariato il genere sezionale.
 

Piccola codimensione in P^n  ([5],[9],[10],[11],[16],[18],[22],[27],[38],[41].[45],[49],[58]).

[5] Questo lavoro,effettuato in collaborazione con G.Ottaviani, migliora alcuni recenti risultati di Peternell, Le Potier, Schneider concernenti le sottovarietà di codimensione 2 di P^n(C).
Sia X una varietà (liscia,non contenuta in alcun iperpiano di P^n) di dimensione d. Sia Pn il completamento formale di P^n lungo X, ossia lo schema formale di base X e avente fascio strutturale Inv lim(OP^n/I^m) ove I è il fascio di ideali che definisce X in P^n; sia t un intero,
t >= 1. L'idea chiave, che risale a Faltings, consiste nell'osservare che H^q(P^n,OP^n(t)) essendo isomorfo,per i risultati di Barth e Ogus, sotto opportune ipotesi, ad H^q(Pn,OPn(t)) è anche il colimite del seguente sistema inverso:
0 <- H^q(X,OX(t)) <- H^q(X,OP^n/I^2) <- H^q(X,OP^n/I^3) <- ...
Pertanto si ottengono notevoli informazioni su H^q(X,OX(t)) studiando quel sistema,ed in particolare H^(q+1)(X,I^m/I^(m+1)(t)) ossia H^(q+1)(X,Sm(N*)(t)), ove N è il fibrato normale di X in P^n.
Raffinando un lemma tecnico di Peternell, Le Potier, Schneider riguardante l'annullamento di gruppi di comoologia delle potenze simmetriche di un fibrato vettoriale, e seguendo l'idea sopra descritta, in questo lavoro si sono ottenuti i seguenti risultati:
- H^q(X,OX(1)) = 0 se 1 =< q =< 3d-2n e d-q-1 >= (n-d+q)!/(q+2)!(n-d-2)!
- se d=n-2 allora H^q(X,OX(2)) = 0 purchè q >= 1 e q + 5 + (q+4)!/6(q+1)! =< n.
- se d=n-2 e N(-2) è generato dalle sezioni globali allora X è 3-normale per n >= 10 e H^q(X,OX(3)) = 0 purchè q>=1
e q + 5 + (q+4)!/6(q+1)!=< n.

[9] In tale lavoro, svolto in collaborazione con G.Ottaviani, si migliorano i risultati sulla 3 e 4-normalità delle sottovarietà X di codimensione due in P^n, (il miglior risultato noto in precedenza era la disuguaglianza di Ran: X è k-normale se n >= 3k2+2k+2).
In particolare si dimostra:
- sia X una sottovarietà di P^n, n >= 6, liscia, non degenere, di codimensione due; allora X è 3-normale se n >= 16 e
H^q(X,OX(3)) = 0 se q >= 1 e n >= q + 7 + (q+6)!/(q+1)!5!
- nelle stesse ipotesi X è 4-normale se n >= 22 e
H^q(X,OX(4)) = 0 se q >= 1 e n >= q + 9 + (q+8)!/(q+1)!7!

L'idea su cui si basano le dimostrazioni è la seguente: si costruisce una catena di sottovarietà di P^n : P^n = X0 contenente
X1 = X contenente X2 ecc ... tali che dim(Xk) = n-2k per ogni k >= 0,procedendo così: si fissano un punto P ed un iperpiano H generici, le Xk con k>=2 sono definite come le sottovarietà di Thom-Boardman associate all'applicazio- ne tra varietà analitiche costituita dalla proiezione di X da P su H. Geometricamente X2 è il luogo dei punti di X1 il cui (n-2)-piano tangente ad X1 passa per P, analogamente per le altre. In base ad un risultato di Mather è possibile scegliere P ed H in modo che ogni Xk sia liscia della dimensione richiesta, e si abbia che ogni Xk, k >= 2, sia lo zero-locus di una sezione opportuna del fibrato normale (di rango due) di Xk-1 in Xk-2, tensorizzato con OP^n(-1).
A questo punto si utilizzano le idee del lavoro [5] ed i teoremi di vanishing ivi stabiliti, applicati in maniera opportuna a questa serie di fibrati normali di rango due.

[10] Gli esiti dei lavori [5] e [9] avevano condotto a pensare che, iterando la stessa tecnica, si potesse dimostrare che ogni sottovarietà liscia X, non degenere, di codimensione due in P^n, n >= 6, fosse k-normale per n >= 6k-2; la qual cosa sarebbe estremamente interessante ai fini della dimostrazione della congettura di Hartshorne.
Purtroppo tale tecnica consente di provare l'affermazione solo per
k = 2,3,4. In questo lavoro si esamina il caso k=5, si evidenziano i motivi per cui tale tecnica non dà l'esito sperato quando k >= 5, e si dimostra un risultato di 5-normalità che è comunque migliore di quello di Ran:
- sia X come sopra, X è 5-normale se n >= 63 e
H^q(X,OX(5)) = 0 se q >= 1 e n è maggiore del massimo tra:
8 + q + (q+11)!/(q+2)!9! e 7 + q + (q+12)!/(q+1)!11!.

[11] In tale lavoro,svolto in collaborazione con G.Ottaviani, si determina quella disequazione lineare, inerente la k-normalità delle sottovarietà liscie di codimensione 2 di P^n(C), n >= 6, che si era congetturata nei precedenti lavori. Anzi si prova che:
- sia X come sopra, X è k-normale se n >= 6k-2 (k >= 2) e
H^q(X,OX(k)) = 0 se q >= 1 e n >= 6k+q (k >= 1).
L'idea base della dimostrazione è ancora quella usata in [9], ma ora vi si aggiunge il contributo di un lavoro, apparso nel frattempo, di Ein, nel quale vengono forniti alcuni risultati di annullamento per la coomologia dei fibrati normali di sottovarietà di P^n(C) di piccola codimensione. Questi annullamenti sono ottenuti studiando i fibrati delle prime parti principali di tali varietà.
L'applicazione dei risultati di Ein alle sottovarietà della catena citata in [9] ed un ragionamento induttivo, danno abbastanza rapidamente la dimostrazione del nostro teorema.

[16] In tale lavoro, svolto in collaborazione con G.Ottaviani, si ottiene un raffinamento della disequazione dimostrata in [11]. La struttura della dimostrazione del risultato è analoga a quella di [11], tuttavia un opportuno artificio consente di evitare l'uso del celebre teorema di lineare normalità di Zak (che in precedenza era applicato alle Xk). Il risultato a cui si perviene si può riassumere così: sia X una sottovarietà liscia (non degenere) di P^n di codimensione 2 (n >= 6) e sia IX il fascio di ideali di X, allora: H^q(P^n,IX(t)) = 0 quando n >= q+4t+3 per ogni 1 =< q =< n-2.

[18] I precedenti lavori mirano ad ottenere risultati sulla k-normalità delle sottovarietà lisce X di P^r a prescindere dal loro grado. L'unico risultato noto, valido in generale, che tiene conto di questo altro dato, è un teorema dovuto a Bayer e Mumford che stabilisce che X è k-normale se k >= (n+1)(d-2) + 1, ove d è il grado di X ed n >= 1 la sua dimensione.
Per sottovarietà di dimensione piccola rispetto ad r, cioè quando
r >= 2n+1, la miglior disuguaglianza possibile sarebbe: X è k-normale se k >= d + n - r. Nel caso n = 1, tale risultato risale a Castelnuovo (ed è stato completato ed esteso al caso singolare da Gruson-Lazarsfeld- Peskine). Nei casi n = 2,3 la dimostrazione è molto più recente ed è dovuta rispettivamente a Lazarsfeld e Ran, (quando r >= 9).
La dimostrazione di Lazarsfeld fa perno su un'opportuna proiezione di X in P^(n+1) e sarebbe valida per ogni dimensione n se si potesse scegliere tale proiezione in modo che i punti di ogni fibra di essa soddisfacessero ad opportune condizioni di genericità. La dimostrazione di Ran prova appunto che tali condizioni sono verificate per n = 3.
In questo lavoro si applicano le idee di Lazarfeld al caso in cui X abbia codimensione 2, e sfruttando un altro risultato di Ran che limita la cardinalità della fibra di una tale proiezione, si prova il seguente teorema:
sia X una sottovarietà liscia, non degenere, di grado d e codimensione 2 in P^r(C),
(r >= 3);
X è k-normale se k >= d + 1 + (1/2)r(r-1) - 2r.
Nel caso r >= 6 i precedenti lavori consentono di migliorare la tecnica di Lazarsfeld e di ottenere la disuguaglianza:
k >= d + 1 + (1/2)r(r-1) - r[(r+4)/4]; (ove [x] indica la parte intera del numero reale x).
Detto IX il fascio di ideali di X, le stesse tecniche consentono di ottenere anche il seguente corollario:
IX è (k+1)-regolare se k >= d + 1 + (1/2)r(r-1) - 2r; e se r >= 6
IX è (k+1)-regolare se k >= d + 1 + (1/2)r(r-1) - r[(r+4)/4].

[22] La congettura di Hartshorne è motivata, fra l'altro, dal fatto che le sottovarietà di P^n(C) con piccola codimensione hanno molte proprietà in comune con le intersezioni complete. Ad esempio, usando la teoria di Hodge, si deduce dal teorema di Barth che, come accade per le interse- zioni complete, H^q(X,WX^p) = 0 per p >= q, p+q =< 2d-n (se p= 0, q > 0) dove X è una qualunque sottovarietà di P^n(C) liscia di dimensione d e WX è il fibrato delle sue 1-forme olomorfe. E' ragionevole presumere che analoghi risultati valgano anche per i gruppi H^q(X,WX^p(m)) m intero, e in questa direzione si muovono alcune recenti pubblicazioni di Schneider e Chang-Ran.
In questo lavoro si dimostrano alcuni teoremi di annullamento per H^q(X,WX^p(1)), per H^q(X,WX^p(m)) con m =< -1 e, nel caso X abbia codimensione 2 anche per H^q(X,WX^2(m)) e H^q(X,SkWX^1(m)). Tali risultati coincidono in parte con analoghi annullamenti stabiliti da Bruckmann nel caso X sia un'intersezione completa e saranno quindi del tutto superati quando (se) la congettura di Hartshorne sarà provata.
Le tecniche usate per le dimostrazioni sono standard, esse fanno perno sulle due successioni esatte: 0 -> N* -> E -> WX^1 -> 0 e 0 -> E -> VtensorOX(-1) -> OX -> 0 (dove E è il fibrato delle 1-forme olomorfe di P^n(C) ristretto ad X) e su quelle che da loro si ottengono tensorizzandole opportunamente e/o considerandone le potenze simmetriche ed esterne, uniti a molti teoremi di annullamento già noti. Nel caso di codimensione 2 sono stati ampiamenti usati tutti i precedenti risultati dedotti dallo studio della t-normalità, che come abbiamo visto, è legata all'annullarsi di H^q(X,N*(t)).

[27] E' noto che in P^5(C) vi è solo un numero finito di famiglie di 3-varietà non di tipo generale; è ragionevole quindi ritenere che sia possibile classificare tutte le 3-varietà razionali X di P^5(C). In questo lavoro si esaminano quelle che sono minimali secondo la teoria di Mori: i) varietà di Fano per cui Pic(X) è isomorfo al gruppo degli interi; ii) fibrazioni in superfici di Del Pezzo su curve razionali per cui Pic(X) è un gruppo abeliano libero a 2 generatori; iii) fibrati in coniche su superfici razionali B.
Nei casi i) ed ii) viene data una classificazione completa di tali varietà sfruttando le forti relazioni sussistenti fra i caratteri numerici di una siffatta X. Nel caso iii) si ottiene una classificazione completa nel caso in cui B sia minimale: tenendo conto dei risultati già presenti in letteratura è stato sufficiente mostrare che non esistono tali X la cui fibra generica è immersa con grado maggiore od uguale a 3; ciò è stato ottenuto mettendo a confronto le relazioni di cui abbiamo accennato con il criterio numerico di razionalità di Shokurov, (valido appunto quando B è minimale), ed utilizzando le proprietà dell'anello di coomologia di X.
Nel lavoro viene anche dimostrato, raffinando un risultato di Braun-Ottaviani-Schneider-Schreyer, (autori dei risultati prima citati), che un 3-fold razionale X di P^5(C) ha grado minore di 562 oppure è contenuto in una ipersuperficie di grado 8.

[38] Come si vedrà in alcuni lavori seguenti, spesso per determinare la proiettiva normalità di una sottovarietà X di P^n(C) è cruciale stabilirne la 2-normalità. A tal fine è indubbiamente utile sapere se tale varietà sia contenuta o meno in una iperquadrica. Nel caso X sia una superficie liscia di P^5 esiste una vasta letteratura al riguardo nell’ipotesi che l’iperquadrica sia liscia, ossia identificabile con la Grassmanniana delle rette di P^3. In questo lavoro, svolto in collaborazione con M. Bertolini e G. M. Besana, si considera il caso in cui l’iperquadrica sia singolare, quando X è uno scroll. Per affrontare il problema si scoppia l’iperquadrica lungo il suo vertice V in modo che la trasformata propria di X nello scoppiamento risulti una superficie in una 4-varietà e si possa così usare il confronto delle classi di Chern per ottenere limitazioni e relazioni fra i caratteri numerici di X. I casi rimasti sono poi studiati direttamente Particolare riguardo deve essere riservato nei casi in cui V interseca X.
Se il rango della quadrica è 5 si ottiene una classificazione completa: esistono solo 3 possibilità: i due scroll razionali di grado 4 e quelli ellittici di grado 6. Se il rango è 3 vi sono solo gli scroll razionali. Se è 4 vi sono infiniti scroll, per esempio tutti quelli per cui la curva base è iperellittica, quindi, dopo aver dimostrato alcuni risultati generali, questo caso viene studiato solo allo scopo di completare l’esame degli scroll ellittici sopra citati.

[41] All’ideale I di una varietà X in P^n(C) si può associare l’ideale monomiale generato dai monomi iniziali, rispetto ad un prefissato ordine, di tutti i polinomi di I. Al variare del sistema di riferimento tale ideale monomiale può mutare, in quanto può verificarsi una variazione nell’ordine dei monomi di un polinomio. Tuttavia, per una scelta generica, l’ideale è univocamente determinato da X ed indicato col simbolo gin(I). Informazioni sulla struttura combinatoria dei generatori di gin(I) si traducono così in informazioni su caratteri numerici di X.
Nel 1996 S. Cook ha stabilito una limitazione sui possibili esponenti dei generatori di gin (I) quando X è una curva in P^3, estendendo un precedente teorema di Gruson e Peskine valido per gruppi di punti in posizione generale in P^2. Purtroppo la dimostrazione della Cook è incompleta. Nel 2000 Decker e Schreyer ottengono la stessa limitazione nell’ipotesi che il minimo grado di un’ipersuperficie che contiene X rimanga costante per sezioni iperpiane generiche. Il risultato viene usato per ottenere una stima del massimo grado di una superficie in P^4, non di tipo generale, via sezioni iperpiane. Purtroppo essi si appoggiano ad un lemma della Cook la cui dimostrazione è dubbia.
In questo lavoro, svolto in collaborazione con A. Tortora, nelle stesse ipotesi di Decker e Schreyer, usando le idee di Amasaki, apparse nel frattempo, si prova che la suddetta limitazione vale per ogni sottovarietà di codimensione 2 in P^n. La dimostrazione segue da un risultato più generale, contenuto nel lavoro e valido in ogni codimensione.

[45] Ogni superficie algebrica S liscia in P^n(C),che sia fibrata su una curva in modo che la generica fibra sia una cubica razionale liscia, corrisponde ad una curva C contenuta in un opportuna compattificazione dello spazio X parametrizzante tutte le cubiche gobbe di P^n. In questo lavoro, svolto in collaborazione con A. Tortora, si studia il caso n=4 ed usando precedenti risultati di Ellingsrud, Piene e Stromme relativi al caso n=3 si ottiene una buona descrizione di A^1(X) a coefficienti razionali. Tale descrizione viene poi usata per risolvere tutte le questioni di esistenza per superfici razionali di P^4, rigate in cubiche, lasciate in sospeso da Ellia nel suo lavoro in cui compie una classificazione completa di tali superfici. La citata descrizione di A^1(X) consente infatti di ottenere una relazione che lega il numero ed il tipo delle fibre singolari di S.

[49] In questo lavoro si sistema brevemente un errore, presente nel lavoro [22] sopra citato, ricorrendo ad un risultato di Laytimi-Nagaraj. Due dei teoremi dimostrati in [22] sono recuperati in toto, degli altri due viene provata una versione leggermente peggiore.

[58] In questo lavoro si riprendono le idee contenute in [18] e le si applicano al caso delle sottovarietà di codimensione 3. Ciò ora si può fare grazie alla recente determinazione, data da Gruson e Peskine per ogni p*1, della dimensione del luogo dei punti di molteplicità p della proiezione generica di una varietà liscia, quasiproiettiva. Tale risultato consente di ottenere una stima per la lunghezza della fibra, quando si proietta una sottovarietà liscia X di codimensione 3 da una retta generica del suo spazio di immersione P^r(C). Questa stima può essere usata al posto del teorema di Ran sfruttato in [18]. Ovviamente però la disuguaglianza ottenuta è molto più debole: X risulta k-normale quando k - deg(X) è maggiore di un polinomio in r il cui coefficiente direttore è r^6/6.

Corrispondenze simmetriche tra curve ([14],[15]).

[14] Sia X una curva algebrica proiettiva liscia, definita sul campo complesso di genere g >= 2; sia Hol(X) l'insieme delle applicazioni olomorfe suriettive tra X e una qualsiasi altra curva con le stesse caratteristiche. Un classico teorema di De Franchis garantisce che Hol(X) è finito. Nel 1983 Howard e Sommese hanno dato un limite, non ottimale, all'ordine di Hol(X), che dipende solo da g.
Il presente lavoro contiene questi risultati:
- si ridimostra rapidamente il teorema di De Franchis nell'ipotesi in cui X è non iperellittica e g(X) >= 3
- si fornisce una limitazione sull'ordine di Hol(X) che è migliore della precedente, ma ancora non ottimale.
La tecnica usata nella dimostrazione del teorema è la seguente: si prova che ad ogni applicazione olomorfa tra X ed un'altra curva dello stesso tipo si può associare un insieme finito di divisori effettivi di C(2) i quali hanno tutti autointersezione negativa ed il cui genere (aritmetico) è limitato da una costante che dipende solo da g; poi si applica un recente teorema di Bogomolov che asserisce che, nelle nostre ipotesi, tali divisori sono in numero finito. La limitazione dell'ordine di Hol(X) si ottiene invece raffinando oppurtunamente la tecnica di Howard e Sommese.

[15] In questo lavoro, svolto in collaborazione con G.P.Pirola, si ottiene una limitazione superiore per l'ordine di Hol(X) che è migliore sia di quella di Howard e Sommese sia di quella di Kani, apparsa in
un lavoro del 1986. Tale limitazione esponenziale:
exp{(4/3)log(3)(g^2-1) + [log2(g)]log(84g) + log(12)} ,
(dove [x] indica la parte intera del numero reale x) è significativa in quanto Kani stesso dimostra che non esistono limitazioni polinomiali in g per Hol(X).
La tecnica da noi usata si basa su questa idea: considerare in primo luogo le mappe cosiddette primitive, cioè le applicazioni olomorfe tra X ed un altra curva (di genere maggiore od uguale a 2) che non siano isomorfismi e che non si fattorizzino. Per tali mappe si ottiene una buona limitazione (exp(g^2log(3))) applicando sia le idee di Howard e Sommese sia quelle di Kani a questo insieme di mappe. Infine si stima il numero totale delle applicazioni con un opportuno ragionamento di carattere combinatorio.

Problemi vari inerenti varietà Abeliane ([12],[17],[23]).

[12] Sia C una curva algebrica proiettiva liscia, non razionale, definita sul campo complesso; sia C(2) il prodotto simmetrico di C con sé stessa; sia J(C) la Jacobiana di C; sia A una sottovarietà Abeliana propria di
J(C). Il lavoro [12], svolto in collaborazione con G.P.Pirola, si propone di risolvere il seguente problema: per quali C ed A accade che la superficie C(2), pensata immersa in J(C),interseca la A in un luogo G almeno unidimensionale?
La risposta è che ciò accade quando e soltanto quando esiste una altra curva K che ammette un'involuzione non banale i ed un'applicazione non costante f:C -> K tali che, dette f* l'applicazione indotta da f tra le Jacobiane di C e K, e K' la curva quoziente di K modulo l'involuzione i, si ha che:
- l'applicazione indotta dalla f tra C(2) e K(2) mandi G suriettivamente sul grafico dell'involuzione i
- A contenga il sottogruppo generato dalla componente connessa del nucleo di f* e dal pull-back della Jacobiana di K'.
Nel caso in cui C non sia né iperellittica né trigonale, una curiosa applicazione della teoria dei grafi ad una opportuna configurazione di rette e punti in P^(g-1), spazio in cui C è immersa canonicamente,
consente di precisare ulteriormente la descrizione sopra citata fornendo alcune relazioni fra i gradi delle applicaioni coinvolte.
Dopo aver utilizzato un risultato di Ciliberto e Teixidor per mostrare rapidamente che, se esiste una curva di genere g in una varietà Abeliana di dimensione n (n > 4), allora 2g-2 > n(n+1)/2, si danno due
applicazioni del risultato principale:
- si dimostra che non esistono curve di genere 9 immerse in una generica varietà Abeliana di dimensione 5, (e quindi la disequazione dedotta dal lavoro di Ciliberto-Teixidor non è ottimale);
- si stabilisce un criterio di annullamento per H1(S,OS(-D)) ove S= C(2), g(C) > 2, e D è un divisore effettivo, connesso e ridotto di S.

[17] Sia A una varietà Abeliana di dimensione n >= 2; sia CH0(A) il gruppo degli 0-cicli di A, modulo l'equivalenza razionale; considerando uno 0-ciclo effettivo di grado k come un punto di Sk(A), (il prodotto k-simmetrico di A), e associandogli la relativa classe di equivalenza razionale, si ha un'applicazione g:Sk(A) -> CH0(A), le cui fibre sono dette g-orbite.
Per ogni n >= 2, in questo lavoro, svolto in collaborazione con G.P.Pirola, si determina la massima dimensione possibile per una g-orbita quando k = 2 o 3: essa è rispettivamente 1 e 2; si determina inoltre, in dipendenza da n e k, la massima dimensione possibile per le famiglie di g-orbite. Alcuni esempi mostrano come le stime ottenute siano ottimali.
Nel caso in cui la varietà Abeliana A sia generica tutti i bound vengono ulteriormente raffinati, in particolare si mostra che se dim(A) >= 4, S^3(A) non contiene alcuna g-orbita; ciò implica che, in queste
ipotesi, A non contiene alcuna curva trigonale.
La tecnica usata è la seguente: si considerano alcune famiglie particola- ri di varietà Abeliane {At} dove At = EtxB è isogena al prodotto di una varietà Abeliana fissa B e di una curva ellittica a moduli variabili Et. Si costruiscono, assai faticosamente, opportune proiezioni tra S^k(At) e S^k(B) che conservino la dimensione delle famiglie di g-orbite. Infine si opera induzione su n: per n = 2 la dimostrazione è basata sui lavori di Mumford e Roitman in merito.

[23] In questo lavoro, svolto in collaborazione con G.P.Pirola si osserva che le ipotesi del teorema fondamentale di [12] sono certamente soddisfatte quando C(2) contiene una curva H di genere g(H) < g(C) e con un'analisi sottile della situazione trattata in quel lavoro, unita a considerazioni sulla monodromia dei rivestimenti fra curve, si dimostra che se g(H)<[g(C)-1]/2, g(C) >= 3 allora C è un rivestimento doppio di H.
Applicando questo teorema quando g(H) = 1 si ritrovano molto rapidamente alcuni risultati di Silverman, Abramovich-Harris concernenti la proprietà S(2,h,g), legata a questione di aritmetica:
diciamo che C è di tipo (2,h) se ammette un morfismo di grado =< 2 verso una curva di genere =< h; sia f:C' -> D un morfismo di grado 2 fra curve con g(D) =< h, diciamo che la proprietà S(2,h,g) vale se per ogni morfismo F:C' -> C con g = g(C), C è di tipo (2,h). In [23] si dimostra che S(2,2,g) vale se h =< (g-1)/2, eccetto al più un caso in cui g = 3; infatti, nella situazione sopra descritta, F*f*[J(D)] è una sottovarietà abeliana di J(C) contenente una curva G proveniente dall'immagine in C^(2) del grafico di f in C'^(2), e quindi si possono usare i risultati di [12].
Un'altra applicazione del pricipale teorema del lavoro mostra che, se C non è iperellitica né biellittica, g(C) >= 3, allora, per ogni curva D con g(D) =< g, esiste solo un numero finito di curve G in DxC tali che
G(pxC) = 2 e G(Dxq) = m, p in D, q in C, per ogni intero positivo m.
Infine si mostra anche che, se C è generica, g(C) = 3, allora esistono solo 4 famiglie di curve irriducibili di genere 3 in C^(2), completamente descrivibili.

Il teorema di Mather ([19],[33]).

[19] Questo lavoro, svolto in collaborazione con G.Ottaviani, non contiene risultati matematici originali: si tratta di una lunga, dettagliata, esposizione della dimostrazione del teorema di Mather sulle
proiezioni generiche, un cui corollario stabilisce l'esistenza di quella filtrazione di sottovarietà proiettive di P^n(C) utilizzata nei lavori [9],[11],[16]. La nostra sensazione è che essa possa avere ulteriori applicazioni in Geometria Algebrica.
La versione cosiderata del teorema di Mather è la seguente: sia X una sottovarietà liscia in P^n(C); sia L un sottospazio lineare di P^n(C), di dimensione t, che non intersechi X; per ogni i1 =< t+1 sia
Xi1 = {x in X| dim(Tx(X)intersL = i1-1}; allora esiste un aperto di Zarisky U nella Grassmanniana dei t-spazi di P^n(C), tale che se L è in U : Xi1 è liscia, Xi1,i2 = {x in Xi1|dim(Tx(Xi1)intersL=i2-1} è liscia
(i2 =< i1), Xi1,i2,i3 definita analogamente (i3 =< i2) è liscia, e così via. Il teorema stabilisce anche la codimensione di ogni Xi1,i2..is.. e mostra che, se ogni is = t+1, esse sono tutte sottovarietà lisce di P^n(C).
La dimostrazione del teorema è la conseguenza di una serie di lavori, concernenti la stabilità delle applicazioni di classe C-infinito, che risalgono agli anni '70. Essa si può riassumere così: si fissa un (n-t-1)-spazio L' in P^n(C), ad ogni proiezione fL:X -> L' corrisponde una sezione JkfL:X -> Jk(X,L') nello spazio dei k-getti fra X ed L'; per ogni scelta di indici I = (i1,...ik) esiste la sottovarietà di Thom-
Boardman S^I in Jk(X,L'), e (JkfL)^(-1)(S^I) = XI. Si tratta dunque di risolvere un problema di trasversalità nello spazio dei k-getti, esso è reso difficile dal fatto che non si possono usare tutte le applicazioni da X ad L' ma solo quelle che provengono dalle proiezioni. Tuttavia Mather dimostra che è possibile limitarsi ad esse poichè le SI, soddi- sfano ad una opportuna condizione tecnica, da lui chiamata "modularità", che garantisce, in ultima analisi, l'esistenza dell'aperto di Zarisky richiesto.
Gli articoli originali di Mather risultano di difficile lettura ai non esperti del settore, (quali sono gli autori di questo lavoro), in quanto trattano i problemi nalla massima generalità e quasi esclusivamente
nel caso C-infinito, benchè Mather stesso affermi che le sue dimostra- zioni sono valide anche per applicazioni olomorfe.
In questa nota si è cercato da un lato di ridurre al minimo le citazioni di risultati precedenti, dall'altro di utilizzare, per quanto possibile, il linguaggio della Geometria Algebrica (complessa) in modo da rendere pienamente accessibile la complicata dimostrazione del teorema.

[33] In questo lavoro, svolto in collaborazione con E.Ballico e G.Ottaviani, si prova che la versione del teorema di Mather considerata in [19] è valida anche per l'aperto liscio di una varietà algebrica singolare. In effetti la dimostrazione precedente si può adattare salvo che in un punto cruciale in cui si fa usa del fatto che X è compatta. Tale dimostrazione si può però modificare in modo che la compattezza di X non sia più necessaria, da ciò la tesi. Nel lavoro si considerano anche particolari tipi di coni per i quali la dimostrazione si può fare ancor più semplicemente.

Forme olomorfe su varietà ([20]).

In tale lavoro, svolto in collaborazione con G.P.Pirola, si introduce in primo luogo il concetto di lunghezza olomorfa, hl(X) di una varietà liscia proiettiva complessa X di dimensione n: si tratta del massimo numero di elementi omogenei della C-algebra data da:
H^(1,0)(X) + H^(2,0)(X) + H^(3,0)(X) + .......... +H^(n,0)(X)
tali che il loro prodotto è non nullo.
Tale definizione è un opportuna generalizzazione del noto concetto di lunghezza per una varietà topologica.
In questo lavoro si dimostra che se f:M -> N è un'applicazione raziona- le, genericamente di grado finito, (per esempio un rivestimento dirama- to) tra due varietà, allora deg(f)[hl(N)+1] >= hl(M)+1. Come corollario della disequazione si ha che se M è una varietà Abeliana n-dimensionale e N = P^n(C) allora deg(f) >= n+1. Tali risultati ne generalizzano di analoghi dovuti a Bernstein, Edmonds e Sommese concernenti lunghezze topologiche e rivestimenti diramati.
Negli ultimi paragrafi si danno alcune applicazioni del concetto di lunghezza olomorfa, in particolare si dimostra una stima superiore per la dimensione di alcune g-orbite nei k-prodotti simmetrici di varietà Abeliane.

Applicazioni tra varietà ([24],[26]).

[24] In tale lavoro, svolto in collaborazione con M.Bertolini, si dimostra in modo più elementare un risultato di Maehara secondo cui fissata una varietà algebrica complessa liscia di tipo generale X di
dimensione n >= 3, tale da avere il divisore canonico numericamente effettivo, esistono, a meno di equivalenza birazionale, solo un numero finito di varietà Y dello stesso tipo, (ossia di tipo generale con KY numericamente effettivo), di dimensione m con 2 =< m =< n, tali da essere dominate da X mediante un morfismo.
Tale risultato estende il noto teorema di Severi, valido se dim(Y) = 1 ed un analogo teorema di M.Deschamps-L.Menegaux, valido se dim(Y) = 2, senza nessuna restrizione su X ed Y.
La dimostrazione sfrutta le tecniche di Deschamps-Menegaux, adattandole e modificandole opportunamente per le dimensioni superiori. Si tratta di associare iniettivamente ad ogni morfismo un'opportuno schema in uno spazio proiettivo, tali schemi risultano tutti della stessa dimensione e di grado limitato dai caratteri numerici di X e quindi appartengono ad un numero finito di componenti delle schema di Hilbert dei sottoschemi di quello spazio proiettivo. L'ultimo passo consiste nel mostrare che ciascuno schema è privo di deformazioni all'interno della componente dello schema di Hilbert cui appartiene, essi costituiscono pertanto un insieme discreto e perciò finito.

[26] In questo lavoro, svolto in collaborazione con M.Bertolini, si cerca una dimostrazione elementare di un teorema di Maehara analogo al precedente, nelle stesse ipotesi, per applicazioni razionali. In questo caso però siamo costretti a supporre che dim(X) = 3, che KX immerga X birazionalmente e che su ogni Y esistano almeno due 2-forme olomorfe linearmente indipendenti; il nostro risultato estende al caso dim(X) = 3 un analogo teorema di M.Deschamps-L.Menegaux valido per superfici senza
però ipotesi sui divisori canonici. La traccia della dimostrazione è questa: si procede per assurdo mostrando che la negazione della tesi conduce all'esistenza di una famiglia olomorfa di Y; dalla variazione delle strutture di Hodge coinvolte si deduce l'esistenza di un'applicazione razionale u, definita da X ad una varietà singolare Z, che si fattorizza attraverso tutte le Y; infine, ragionando sulla fibra generica di u e usando il teorema di M.Deschamps-L.Menegaux si perviene ad una contraddizione.

Il teorema di Griffiths ([25]).

[25] Questo survey, scritto in collaborazione con B.Cordani, vuole gettare un ponte tra due filoni della Matematica, la Geometria Algebrica e la Fisica Matematica, che storicamente sono venuti ad avvicinarsi solo sporadicamente. Uno dei punti di contatto è costituito dal teorema di Griffiths che dà una condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema Hamiltoniano, posto sotto forma di equazione differenziale di Lax, sia algebricamente completamente integrabile, ovvero sia tale che il flusso generato dal campo vettoriale Hamiltoniano in questione sia lineare sulla parte reale della Jacobiana di un'opportuna curva algebrica.
La prima parte del lavoro consiste in una originale presentazione del problema nell'ambito della Fisica Matematica e nell'inquadramento del criterio di Griffiths nella logica dei metodi di risoluzione "classici". Nella seconda parte vengono introdotti quegli elementi di Geometria Algebrica indispensabili alla comprensione della dimostrazione del teorema che viene poi svolta molto in dettaglio.

Criteri di molta ampiezza ([29],[46]).

[29] Sia E un fibrato vettoriale di rango r >= 2 su una curva ellittica C e sia X = P(E). In questo lavoro, svolto in collaborazione con M.Bertolini e G.M.Besana, si determinano criteri numerici di molta ampiezza per divisori D di X; poichè ogni D è numericamente del tipo aT + bF, dove T è il tautologico di X ed F ne è la fibra, ciò significa trovare criteri che dipendano da a e b.
Il noto criterio di ampiezza di Miyaoka ed un'opportuna applicazione di un recente risultato di Butler consentono di stabilire che D è ampio se a > 0 e b+am-(E) > 0 ed è molto ampio se b+am-(E) > 2; m-(E) è la minima fra le pendenze dei fibrati quozienti di E.
Negli altri casi usiamo la seguente tecnica classica: scegliamo un opportuno divisore A di X tale che, per ogni coppia di punti di X, in |A| esista un elemento liscio S passante per essi, l'applicazione
naturale H^0(X,D) -> H^0(S,D|S) sia suriettiva, ogni S sia del tipo P(E') con E' quoziente di E. Si può così procedere per induzione sul rango di E, anche se occorre molta cautela perchè, per esempio, se E
è indecomponibile non è detto che anche E' lo sia.
In questo modo per r = 2 ritroviamo i criteri di Beltrametti-Sommese e per a = 1, r >= 3, ritroviamo i criteri di Gushel, con un'ambito di validità leggermente più vasto.
Per r = 3, E indecomponibile, mostriamo che:
se deg(E)=0 (mod3) D è molto ampio se e solo se b+am-(E) >= 3,
se deg(E)=1 (mod3) D è molto ampio se e solo se b+am-(E) > 1,
se deg(E)=2 (mod3) D è molto ampio se b+am-(E) > 4/3.
Per r = 3, E decomponibile, mostriamo che D è molto ampio se e solo se b+am-(E) >= 3, eccetto un caso ben descritto in cui la condizione è solo sufficiente.
Per r >= 4, E ampio, 4 =< deg(E) < r mostriamo che D è molto ampio se b+(a-1)m-(E) > 0 e b+a/(deg(E)-1) > 2, con un raffinamento nel caso in cui E sia indecomponibile e deg(E) = r-1.
Infine abbiamo dei criteri molto articolati, che sarebbe troppo lungo citare qui, per
r >= 4 e 1 =< deg(E) =< 3.

[46] Sia E un fibrato vettoriale di rango 2 su una superficie liscia Y e sia X = P(E). In questo lavoro, svolto in collaborazione con G.M.besana, si determinano criteri di molta ampiezza per divisori D di X del tipo T + p*A, dove T è il tautologico di X, p:X -> Y e A è un divisore di Y.
Il problema della determinazione della molta ampiezza di D è affrontato da due direzioni diverse.
In primo luogo si usa la variante di un'idea classica: volendo separare due punti P,Q di X (o un punto ed una direzione) si può cercare una superficie liscia S passante per P e per Q, mostrare che la restrizione di |D| ad S è molto ampia e che le mappa indotta da |D| alla sua restrizione ad S è suriettiva. Nel nostro lavoro questo programma viene sviluppato usando superfici S riducibili in una componente "orizzontale", cioe' che taglia la fibra generica di p in un solo punto, e una "verticale" cioè che del tipo P(E|C) dove C e' un'opportuna curva di Y ed E|C indica la restrizione di E alla curva C. In questo modo si ottiene un criterio generale e due criteri puramente numerici, che discendono da esso, quando Y è rigata su una curva razionale o ellittica.
La difficoltà maggiore, in questo approccio, consiste nel garantire opportuni "incollamenti" tra sezioni definite su ciascuna componente in modo da garantire l'esistenza di sezioni definite su S. Vengono poi indicate alcune applicazioni del criterio.
In secondo luogo, per una sola superficie rigata Y, lo scoppiamento del piano in un suo punto, viene dimostrato un criterio di molta ampiezza, per una particolare classe di fibrati di rango 2, che dipende dalla genericità della posizione su Y dei punti che costituiscono lo zero-locus di una sezione generica del fibrato. Costruendo i fibrati mediante opportune estensioni (metodo di Griffiths-Harris) tale genericità può essere garantita. In questo modo, fra l'altro, si possono costruire esplicitamente alcuni 3-folds di grado10 ed11 la cui esistenza era stata lasciata come problema aperto nei lavori (Besana, Biancofiore, Fania, Livorni) sulla classificazione delle varietà di questi gradi. in alcuni casi le considerazione svolte nel lavoro sono servite anche a provare la non esistenza di alcuni 3-folds di grado basso.

k-regolarità ([28],[30],[31],[32],[34]).

[28] Andreatta, e poi Ein e Lazarsfeld, hanno posto il problema di classificare le coppie polarizzate (X,L), dim(X)=n, L molto ampio, per cui il sistema lineare |K + (n-1)L| dia un'immersione che non sia
proiettivamente normale (p.n.). Sono noti esempi di Andreatta e Ballico con n = 2 e deg(X) = 10.
In questo lavoro, svolto in collaborazione con M.Bertolini e G.M.Besana, abbiamo considerato tutte le varietà X tali che 6 =< deg(X) =< 8, (per deg(X) =< 5 il problema era già stato risolto da Ohbuchi) e ne abbiamo stabilito la p.n. o meno mostrando che, nonostante quanto si congetturasse, nessuna di esse è del tipo citato sopra.
Abbiamo anche provato, usando recenti risultati di Butler, che ogni scroll su curva ellittica è p.n. indipendentemente dal grado.
Gli strumenti utilizzati sono stati di natura assai varia: dal semplice esame della nota risoluzione dell'ideale di tali varietà, all'applicazione dei risultati di Fujita sulle varietà polarizzate, dall'uso di lemmi da noi provati che mettono in relazione la p.n. di X con quella della sua sezione iperpiana alla ricerca di eventuali quadriche, anche singolari, che contenessero X, dalla determinazione dell'anello di coomologia delle desingolarizzazioni di coni quadrici all'uso di tecniche di teoria dei fibrati su curve.

[30] Una sottovarietà liscia X di P^r(C) si dice k-regolare secondo Castelnuovo-Mumford se, detto IX il suo fascio di ideali, si ha:
H^i(P^r,IX(k-i)) = 0 per i > 0.
Una celebre congettura di regolarità, nota anche col nome di Eisenbud-Goto, prevede che ogni sottovarietà X di dimensione n e grado d sia k-regolare per k >= d+n-r. Tale congettura è stata dimostrata per n=1 da Gruson, Lazarsfeld e Peskine, per n=2 da Lazarsfeld e per n=3 da Ran (nell'ipotesi che r >= 9); recentemente vi sono stati contributi parziali di Kwak per n =< 14. La veridicità o meno di tale congettura è molto importante ai fini della costruzione esplicita delle varietà proiettive mediante il calcolo simbolico.
In questo lavoro, , svolto in collaborazione con G.M.Besana, dopo aver osservato che d+n-r non è altro che D+2, dove D è il D-genere di Fujita, si prova che la congettura è vera per tutte le varietà con D =< 5, già tutte classificate in letteratura. Si
prova anche che la congettura è vera per due particolari classi di 3-folds: scroll su curve di genere 2 e fibrati in coniche su curve di genere 1. Per la prima parte del lavoro gli strumenti usati sono stati simili a quelli già presenti in [28]; per la parte centrale ci siamo appoggiati a recenti risultati di Butler sui fibrati vettoriali su curve; in quella finale abbiamo raffinato un metodo già introdotto da Homma.

[31] In questo lavoro, svolto in collaborazione con G.M.Besana, vengono presi in considerazione i gruppi di coomologia di Koszul di una varietà algebrica liscia X in P^N non necessariamente p.n., un caso assai poco trattato in letteratura in quanto, in questa ipotesi, non si hanno informazioni sulle risoluzioni libere del fascio di ideali di X.
I gruppi di Koszul danno però comunque informazioni sui gradi dei generatori dell'anello R(X) ottenuto dalla somma diretta di H^0(X,tL), al variare di t >= 0, dove L è il divisore molto ampio di X che la immerge in P^N. Per esempio si prova che il grado non supera 3 se X è una superficie regolare ed esiste una curva liscia in |L-KX|.
Per alcune varietà speciali, ad esempio scrolls su curve lisce, si prova che tali informazioni sono sufficienti per concludere che se è soddisfatta una certa condizione numerica allora X è p.n. se e solo se è 2-normale. Tale condizione è molto più debole ad es. di quella usata da Butler, citata in [29] ed è sempre verificata se il genere della curva base è 2. Vengono provate anche una generalizzazione del precedente risultato ad alcuni tipi di varietà fibrate su curve lisce ed un criterio di p.n. per scrolls su superfici.

[32] Questo lavoro, svolto in collaborazione con G.M.Besana, è la naturale prosecuzione di [28]. La p.n. delle superfici di grado 9 era stata studiata in un precedente lavoro di Besana-Di Rocco. Qui si esaminano brevemente tutte le varietà di dimensione  n >= 3 e si conclude, usando essenzialmente gli stessi strumenti di [28] più qualche considerazione ad hoc, che sono tutte p.n.

[34] Tradizionalmente la k-normalità è stata studiata solo per varietà linearmente normali, tuttavia in pratica la questione si pone anche in generale. In questo lavoro, svolto in collaborazione con F.Russo, si determina una condizione necessaria e sufficiente affinchè venga conservata la k-normalità da parte di una sottovarietà X di P^r che venga proiettata isomorficamente da un punto P esterno ad essa. Deve
essere soddisfatta un'ovvia condizione numerica che riguarda la dimensione dello spazio delle ipersuperfici di grado k che contengono X, e P non deve appartenere ad una ben determinata varietà Zk(X).
Nel caso k = 2 si prova che se h^0(IX(2)) >= r+1 Sec(X) è contenuto in Z2(X), ciò consente di controllare la 2-normalità delle proiezioni di X con metodi di algebra computazionale. In seguito si considerano varietà schematicamente definite da iperquadriche e si prova che se X soddisfa la proprietà N2 di Green la sua proiezione liscia generica in P^(r-1), se esiste, è k-normale per k >= 2, tale risultato comprende quasi tutti gli analoghi risultati presenti in letteratura, per esempio quelli di Birkenhake e Meadows.
Infine viene dimostrato un teorema di non annullamento per certi gruppi di coomologia di Koszul che consente la costruzione di controesempi ad alcune affermazioni, presenti in letteratura, riguardanti proiezioni di varietà di Veronese. Lo studio di tali proiezioni, alla luce di quanto provato in precedenza, conduce inoltre alla costruzione di ideali primi di codimensione arbitraria aventi risoluzione 3-lineare, rispondendo così ad una questione posta da Eisenbud.

Sistemi omaloidici ([35],[37]).

[35] Questo lavoro, svolto in collaborazione con F. Russo, mette in luce una stretta relazione fra l'esistenza di sistemi (sub)omaloidici speciali di iperquadriche e l'esistenza di varietà con un punto doppio apparente, tali cioè che, proiettate da un punto generico, danno luogo a varietà con un solo punto doppio. Questa relazione consente di provare l'esistenza di una certa classe di varietà con un punto doppio apparente, rispondendo così ad una questione posta da Zak. Nella seconda parte del lavoro si classificano tutte le n-varietà con un punto doppio apparente in P^(2n+1) di grado minore od uguale a 2n+1, una questione aperta da lungo tempo. Si prova inoltre che ogni n-varietà in P^(2n+1) di grado d =< 2n+1 ha un punto doppio apparente, e quindi è completamente classificata, purchè Sec(X) = P^(2n+1).

[37] In questo lavoro, svolto in collaborazione con F. Russo e molto legato al precedente, in primo luogo si dimostra che per una n-varietà X di P^r, liscia, linearmente normale, di grado d, tale che n>=2 e d =<2(n-r)-1, le ipersuperfici quadriche che la contengono danno luogo ad un sistema sottomaloidico il cui luogo base è X. Se inoltre Sec(X) = P^r allora il sistema è omaloidico. Ciò si può dedurre da alcuni risultati sofisticati di Vermeire, come è segnalato nel precedente lavoro, ma qui se ne fornisce una dimostrazione geometrica diretta basata sull'idea di Castelnuovo che 2s+1 punti in posizione generica in P^s impongono condizioni indipendenti alle iperquadriche che li contengono. In secondo luogo si studia la fibra della mappa razionale indotta dal sistema delle iperquadriche e si da' una condizione sufficiente affinchè X abbia un punto doppio apparente. l'applicazione di questo criterio permette di ritrovare parecchi degli esempi di [35].

Connessione dei divisori ([36]).

[36] In collaborazione con A. Tortora si è considerato il noto risultato di Bombieri secondo cui, su una superficie algebrica liscia, un divisore D, numericamente connesso, con D^2 > 0, è tale che h^1(-D) = 0. In questo lavoro si prova che la stessa tesi vale su una n-varità algebrica liscia per divisori numericamente connessi con D^n > 0 e
h^0(D) >= 3.
Nello stesso lavoro in cui dimostrava il citato teorema, Bombieri introduceva anche la nozione di k-conessione per divisori di una superficie e, qualche anno dopo, Van de Ven dimostrava che i divisori molto ampi sono 2-connessi, salvo poche eccezioni classificabili. Noi abbiamo opportunamente esteso la definizione di k-connessione per divisori di n-varietà e provato che i divisori molto ampi delle 3-varietà sono 3-connessi, salvo alcune eccezioni classificabili.

Contrazioni estremali  e mappe razionali ([39],[42].[52].[59],[61]).

[39] In questo lavoro, svolto in collaborazione con F. Russo, si forniscono alcuni metodi per la costruzione di esempi di contrazioni di Fano-Mori, sia di tipo birazionale che di tipo fibrato, fra varietà di dimensioni maggiore od uguale a 4 aventi fibre eccezionali di dimensione inattesa. L’idea è quella di considerare sistemi omaloidici e subomaloidici di ipersuperfici di P^r aventi luogo base X liscio, scoppiare P^r lungo X e considerare i morfismi indotti dalle applicazioni razionali definite dai suddetti sistemi lineari. Recenti risultati di Ein e Shepherd-Barron consentono di inquadrare molti esempi classici di trasformazioni Cremoniane, studiati da Todd e Semple e Tyrrel, sotto questo punto di vista e l’analisi delle fibre delle applicazioni razionali coinvolte consente di descrivere le fibre delle contrazioni così ottenute. In questo modo si riottengono alcuni esempi già noti di Andreatta e Wisniewski, ma seguendo un approccio più elementare. In molti casi sia X che l’immagine dei morfismi sono varietà determinantali e ciò permette di descrivere molto bene le fibre eccezionali. In altri le fibre possono essere descritte grazie alla costruzione delle trasformazioni Cremoniane coinvolte da parte degli autori classici sopra citati. In futuro si pensa di fornire anche esempi che prescindano dal legame con trasformazioni Cremoniane già note.

[42] Sia X una sottovarietà liscia di P^r(C) il cui ideale IX sia generato da forme dello stesso grado. Questo lavoro intende mostrare come l'esistenza di sizigie lineari per IX abbia forti conseguenze sulle fibre della mappa razionale associata al sistema lineare dato dalle ipersuperfici che generano IX, anche quando tali fibre non siano spazi lineari. Dopo aver dimostrato alcuni risultati generali e aver applicato tali risultati a numerosi esempi concreti, ci si concentra sul caso delle forme di grado 2. Sfruttando vecchi risultati di Degoli e un più recente lavoro di Landsberg, in questo caso, si possono ottenere informazioni più precise sulle fibre. Tali informazioni si usano poi per dare una dimostrazione immediata del classico risultato sulla linearità delle fibre della mappa di Perazzo associata ad ipersuperfici cubiche (non coni) con Hessiano identicamente nullo.

[52] In collaborazione con J.C.Sierra, si è svolto studio delle mappe razionali associate a sistemi lineari di iperquadriche di dimensione elevata, in un P^r(C), aventi un luogo base X di dimensione n, quando:
- l'insieme delle rette di P^r per cui la restrizione della mappa è un rivestimento (2:1) ha dimensione < 2n,
- l'intersezione di X con un generico sottospazio lineare di codimensione n è ridotta, conduce ad una limitazione del grado di X, in dipendenza solo dalla sua codimensione c. Il limite può essere raggiunto e viene data una classificazione degli esempi al bordo. L'idea chiave per la dimostrazione è che, nelle ipotesi sopra citate, è possibile calcolare, in due modi diversi, il numero dei punti doppi assunti dall'immagine, tramite la mappa, di una iperquadrica generica Y di P^N, disgiunta da X:  da un lato esso è il numero delle rette di P^N secanti comuni ad X ed Y, dall'altro è il numero di punti doppi di una opportuna proiezione dell'immersione di Veronese di Y. La disuguaglianza cercata segue da tale doppio calcolo e da considerazioni elementari.
Si prova inoltre che le due ipotesi sono soddisfatte molto spesso, per esempio quando X è ridotta e gode della proprietà K_2.

[59] Sempre in collaborazione con J.C.Sierra è stato affrontato il problema della classificazione delle trasformazioni birazionali speciali, cioè con luogo base X liscio ed irriducibile, tra uno spazio proiettivo complesso di dimensione r ed una qualunque varietà liscia Z con gruppo di Picard ad un solo generatore. Il punto di partenza è stata la generalizzazione a questo caso di alcune proprietà, dimostrate da Ein e Shepherd-Barron per le trasformazioni Cremoniane speciali. Tali proprietà, unite ad altre relazioni numeriche già considerate da Crauder e Katz, sempre concernenti le trasformazioni Cremoniane, consentono di determinare un buon numero di condizioni numeriche necessarie.
Sia n la dimensione di X. Per valori bassi di n, le precedenti condizioni conducono a stilare una lista massimale di casi possibili. Per n=1, n=2 oppure n=3 con r<6 è stato possibile stabilire, per ciascuno dei casi possibili, se esso esiste davvero oppure no, ottenendo così una classificazione completa ed effettiva, dal momento che si sono anche costruiti esempi per ogni trasformazione esistente. Si è ottenuta una classificazione completa ed effettiva anche per n=r-2 e quando il luogo base della trasformazione inversa ha dimensione 0,1 o 2.
Una delle trasformazioni studiate ha condotto alla determinazione di una varietà di Fano Z di cui non era nota l'esistenza, almeno agli autori.

[61] Ancora in collaborazione con J.C.Sierra si è affrontato lo stesso problema del lavoro [59] nell'ipotesi di mappe birazionali di tipo (2,2), senza restrizioni su n, quando Z è una varietà LQEL (localmente ad entry locus quadratico). Come conseguenza dei risultati ottenuti in questo caso è stata completata la classificazione di tali mappe quando Z è una sezione lineare generica di una varietà omogenea; di tale classificazione erano già noti alcuni casi, per es. quando Z è P^r o Z è la sezione di una iperquadrica o di una Grassmanniana (lavori di Ein, Sheperd-Barron, Staglianò, Russo, ecc.).
Il principale strumento qui usato è stata l'analisi del comportamento della varietà, introdotta da Hwang e Mok, che parametrizza le rette di X passanti per un suo punto generico, seguendo le idee al riguardo usate da Russo e Ionescu in contesti simili.
 

Computer vision ([40],[44],[47],[50],[57],[62]).

[40] La determinazione dei parametri interni di una camera è uno dei probemi fondamentali in questo settore di ricerca. Solitamente l’operazione viene svolta tramite l’uso di numerose immagini e richiede parecchio tempo. In questo lavoro (svolto in collaborazione con F. M. Colombo e N. A. Borghese) viene proposto un nuovo metodo che consente di operare con un limitato numero di immagini e quindi più in fretta. Il metodo si basa su proprietà elementari delle prospettività piane e fa perno sulla possibilità di modificare la distanza focale della camera durante il procedimento. Nel lavoro viene anche mostrato, con una serie di esperimenti, che il metodo proposto consente di evitare errori di approssimazioni che sono invece comuni quando si adottano modelli di camera meno sofisticati. I coautori hanno curato la parte informatica e numerica del lavoro.

[44] Il tensore trifocale è lo strumento matematico che pone in relazione 3 differenti, generiche, rappresentazioni piane di un oggetto spaziale. Dal punto di vista della Geometria Algebrica, tali tensori costituiscono un aperto di Zariski di una varietà T di P^26. Non è noto alcun sistema di generatori per l'ideale di T. In questo lavoro, svolto in collaborazione con A. Tortora, si prova che T è la chiusura dell'orbita dell'azione di un opportuno gruppo sull'insieme dei tensori 3x3x3 e, grazie a tale descrizione, si ottiene un sistema di generatori per l'ideale di T. Poichè nelle applicazioni pratiche tale sistema può risultare poco maneggevole, se ne fornisce anche un altro, dedotto dalla presentazione di T dovuta ad Hartley e Zisserman. Si prova che da questo è possibile estrarre, in vari modi, 8 generatori che definiscano T unito ad altre sottovarietà di P^26, completamente descritte. Tali generatori (variabili) sono sufficienti per tutte le applicazioni pratiche.

[47] Questo lavoro è un semplice survey dell'articolo [44]. E' stato scritto, su richiesta degli editori, per il volume "Tensors in Image Processing and Computer Vision" (ed. Springer) che intende raccogliere i più recenti sviluppi della teoria in questo settore.

[50] In questo lavoro, svolto in collaborazione con M.Bertolini, A.Borghese, C.Turrini, si propone un nuovo metodo per determinare l'orientazione nello spazio di un dato corpo rigido, grazie alla determinazione della posizione di una conica tracciata sull'oggetto stesso. Il metodo si basa sul confronto delle equazioni piane di alcune proiezioni della conica e conduce ad un semplice sistema di equazioni lineari. Gli esperimenti (virtuali) effettuati mostrano che il metodo è efficiente e robusto. La tecnica illustrata può essere concretamente applicata al problema del tracciamento di strumenti chirurgici all'interno di una sala operatoria.

[57] Questo lavoro è la versione "applicativa" del lavoro [50]: al posto di esperimenti virtuali qui si considerano esperimenti reali svolti in un laboratorio. Oltre a coniche lisce (ellissi) si prendono in considerazione anche coniche spezzate in due rette e in relazione a ciascun tipo di conica viene data una misura della bontà del metodo, mettendo anche in luce le configurazioni critiche sia dal punto di vista geometrico che da quello numerico. Inoltre vengono valutati, ai fini di ottimizzazione del metodo, due diversi modi di rilevamento delle coniche proiettate, a partire dalle loro fotografie. I risultati ottenuti sono paragonabili a quelli ottenibili con le tecniche già in uso, col notevole vantaggio però di utilizzare solo equazioni lineari.

[62] In questo lavoro si descrive un metodo per calcolare i parametri interni di una camera (distanza focale e coordinate del punto principale) di cui sono note posizione ed orientazione nello spazio. Il metodo è basato sull'osservazione di almeno 3 coniche poste su un piano noto, in uno scenario reale ciò accade, per es., in presenza di un pavimento piastrellato, e richiede la presenza di almeno un'altra camera calibrata. A differenza degli altri metodi noti non è necessaria alcuna conoscenza delle coniche usate. I risultati sperimentali mostrano che l'accuratezza del metodo è comparabile con quella ottenuta tramite i metodi tradizionali, che però sono più lenti. Il metodo può essere impiegato nei sistemi di camere PZT, che sono largamente usati a scopo di sorveglianza e che richiedono frequenti ri-calibrazioni.

[64] Questo lavoro è una versione più raffinata del lavoro [62]: si aggiungono alcuni esperimenti in condizioni reali, i cui esiti vengono studiati con metodi statistici standard, e si determina una spiegazione teorica del motivo per cui il metodo fallisce con meno di 3 coniche, non è ottimale con solo 3 coniche, migliora con l'uso di 4 coniche e migliora progressivamente al crescere del numero di coniche usate. Per rendere il metodo di pratico utilizzo vengono usate solo coniche spezzate in coppie di rette.

Costruzioni esplicite al computer ([43]).

[43]  In questo lavoro, svolto in collaborazione con F.Tonoli, si fornisce un algoritmo che consente di determinare un sistema di generatori per l’ideale IX di ogni superficie rigata liscia X della quale si sappia che è immersa da un suo noto divisore molto ampio in un dato spazio proiettivo.
Inizialmente viene esaminato il caso degli scroll, considerati cone proiettivizzati di fibrati vettoriali E di rango 2, su curve C, immersi dal tautologico di un fibrato del tipo EtensorB dove B è un divisore di C. Sia S l’anello delle coordinate di una qualunque immersione della curva C. La successione esatta 0 -> OC  -> E -> L  -> 0 che definisce il fibrato E su C, viene tensorizzata per un opportuno divisore D, in modo che lo S-modulo H^0*(C,EtensorD), dove l’asterisco indica la somma diretta delle sezioni di EtensorD(t) per t>=0, sia estensione di due altri S-moduli, duali degli ideali di due divisori effettivi su C: D ed L+D. In questa situazione un qualunque sistema di computer algebra, per esempio Macaulay2, è in grado di fornire una presentazione di H^0*(C,EtensorD). La tensorizzazione di H^0*(C,EtensorD) mediante l’ideale di D-B  consente di ottenere una presentazione di H^0*(C,EtensorB) dalla quale si può ricavare il sistema di generatori per IX. Vengono forniti vari esempi sia di applicazioni di questa tecnica sia di applicazioni della conoscenza di IX per lo studio di X.
Nella seconda parte del lavoro ci si occupa delle rigate X su curve C le cui fibre sono immerse come curve razionali di grado k>=2. Con la precedente tecnica vengono costruiti opportuni scroll su C, immersi in uno spazio P^n, in modo da risultarvi k-normali. Un sistema di generatori per IX si può ottenere a partire da un opportuno sottosistema di ipersuperfici di grado k di P^n. Anche in questo caso vengono forniti esempi di applicazioni per k = 2 e k = 3. L’algoritmo funziona molto bene quando il grado di kD-B è sufficientemente basso.

Superfici di Veronese riducibili e questioni di proiettabilità isomorfa ([48],[54],[55],[56]).

[48]  Per ogni intero n >=1 chiamiamo superficie di Veronese riducibile ogni superficie X in P^(n+4)(C) tale che:
1) X sia non degenere, ridotta, riducibile, di dimensione pura 2
2) il grado di X sia n+3, la sua codimensione sia n+2
3) la dimensione di Sec(X) sia al piu' 4
4) X sia connessa in codimensione 1
5) X sia localmente di Cohen-Macaulay.
La condizione 2) implica che X sia di grado minimo. L'ipotesi 3) implica che X si possa proiettare isomorficamente (cioè senza acquistare nuove singolarità) in P^4. L'ipotesi 5) significa che togliendo da X un qualunque numero finito di punti si ottiene uno spazio topologico connesso. In forza di un risultato di Hartshorne si ha che 5) implica 4), ma è più conveniente tenere separate le due ipotesi.
In questo lavoro, svolto in collaborazione con E.Ballico, si fornisce la classificazione completa delle superfici X: per ogni n ne esiste una che è unione opportuna di n+3 piani e poi ne esistono altre due che sono opportune unioni di una quadrica liscia e di due piani.

[54] Data una varietà V in P^n(C) ed un sottospazio lineare W di dimensione w, diciamo che V si proietta isomorficamente verso W se esiste una proiezione lineare f, da un opportuno sottospazio lineare L, di dimensione n-w-1>=0, disgiunto da W, tale che f(V) sia isomorfa a V. Diciamo (definizione di K.W.Johnson) che la restrizione f' di f a V è una J-immersione se f' è iniettiva ed il suo differenziale è una mappa di grado finito.
In questo lavoro, svolto in collaborazione con E.Ballico, si classificano le superfici riducibili di P^n che ammettono una J-immersione, equivalentemente, la cui varietà delle secanti ha dimensione al più 4.
La classificazione è completa per superfici con 2 componenti. Per quelle con più componenti si fornisce una classificazione di massima. La classificazione completa, alquanto lunga e ricca di casi e sottocasi, sarà comunque contenuta in una versione molto più estesa del lavoro.

[55] Per ogni coppia di interi positivi m >= x >= 2, diciamo che una varietà algebrica X di P^N(C), N >= m+x+1, è x-proiettabile se:
1) X è non degenere, ridotta, riducibile, di dimensione pura m >= 3
2) la differenza tra il grado di X e la sua codimensione sia 1
3) X è proiettabile isomorficamente (vedi definizione in [54]) verso un sottospazio lineare di dimensione m+x
4) X è connessa in codimensione 1
5) X è localmente di Cohen-Macaulay.
Si noti che tale definizione generalizza opportunamente la definizione di superficie di Veronese riducibile data in [48].
In questo lavoro, svolto in collaborazione con E.Ballico: si fornisce una classificazione completa delle varietà 3-proiettabili, si dimostra che non ne esistono 2-proiettabili, si descrivono le varietà x-proiettabili aventi solo componenti lineari.

[56] In questo breve lavoro, svolto in collaborazione con E.Ballico, si corregge un errore presente in [48]: la condizione 3), benchè necessaria, non è in realtà sufficiente a garantire che X si possa proiettare isomorficamente, occorre anche imporre che l'unione di tutti gli spazi tangenti nei punti di X non riempia P^(n+4)(C). Tenendo conto di questo fatto e usando tutto quanto già dimostrato correttamente in [48], si ottiene rapidamente la classificazione corretta: l'insieme infinito di superfici già considerate, l'unione opportuna di una quadrica liscia e di due piani, l'unione opportuna di uno scroll cubico liscio di P^4 e di un piano.

Spazi di moduli e curve razionali ([51],[53],[63],[66],[67],[69]).

[51]  Nel 2005 Iliev e Ranestad in un loro lavoro, tra le altre cose, considerano due particolari tipi di superfici K-3: S', generica sezione della Grassmanniana Lagrangiana di P^9(C) tramite un sottospazio di codimensione 4, e la sua duale simplettica S, superficie quartica liscia di P^3(C). Le due superfici risultano legate dal fatto che S è isomorfa ad un opportuno spazio di moduli di fibrati di rango 2 su S'. In questo lavoro si fornisce una costruzione esplicita di S ed S', cioè si fornisce un sistema di generatori per i loro ideali, e si prova che entrambe sono dominate da una stessa 3-varieà liscia Z tramite due mappe anch'esse esplicitamete descritte. Z risulta un rivestimento doppio diramato di un fibrato in coniche X, immergibile in P^5(C), di grado 12, studiato in precedenza da vari autori.
La tecnica usata si basa sulla costruzione preliminare di un sistema di generatori per l'ideale di X in P^5, (a questo scopo si usano diverse descrizioni di X presenti in letteratura) e poi sulla descrizione esplicita, a partire da X, di alcune relazioni di incidenza introdotte da Iliev e Ranestad nel loro lavoro. La conclusione relativa a Z è resa possibile dai risultati del lavoro [39] applicati allo scoppiamento di P^5 lungo X.
Viene poi dimostrata una relazione fra S ed un altro spazio di moduli di fibrati di rango 2 su S', analoga alla precedente.

[53] Sia SU_C(2) lo spazio dei moduli dei fibrati semistabili E di rango 2, aventi determinante banale, su una curva liscia complessa C, di genere g >1, non iperellittica se g >2. In questo lavoro, svolto in collaborazione con M.Bolognesi, si prova un teorema di struttura birazionale per SU_C(2) che generalizza quello dimostrato da Bolognesi in un suo precedente lavoro, relativo al caso g=2. SU_C(2) risulta una fibrazione verso P^g le cui fibre sono la compattificazione G.I.T. dello spazio dei moduli M_0,2g delle curve razionali 2g-puntate. La tecnica usata si basa su una descrizione precisa (applicazione tra l'altro del lavoro [42]) delle fibre delle mappe razionali classificanti studiate da Bertram in relazione alle estensioni 0 -> -L -> E -> L -> 0, dove L è un opportuno divisore effettivo su C. Quando g=3, SU_C(2) è birazionale ad una fibrazione in cubiche di Segre che, in tal caso, sono le fibre generiche della mappa di Bertram considerata. Fino a g=4 le fibre possono essere costruite esplicitamente da un qualunque sistema di computer algebra.

[63] Ogni immersione chiusa di P^1 in P^s conduce ad una naturale succesione esatta:
0 -> T_P^1 -> T_P^s|C -> N -> 0, dove C è l'immagine dell'immersione e T ed N sono fibrati tangenti e normali, come indicato. Poichè C  isomorfa a P^1, il fibrato T_P^s|C ha un ben preciso tipo di spezzamento. In questo lavoro si classificano tutti i possibili tipi di spezzamento di tale fibrato e si parametrizzano tutte le immersioni con un fissato tipo di spezzamento. Poichè ogni immersione chiusa di questo tipo corrisponde alla proiezione di una curva razionale normale di grado d in P^s da un opportuno sottospazio P(T) in P^d = P[S^d(U)], dove U è uno spazio vettoriale di dimensione 2, il metodo usato è quello di classificare tali spazi T in base all'azione su di essi esercitata dal fascio di operatori differenziali generato da una opportuna base di U*.

[66] Nelle stesse ipotesi e notazioni del lavoro [63], è possibile anche considerare lo spezzamento del fibrato N, normale di C in P^s. In questo lavoro si fornisce un metodo per il calcolo di tale spezzamento a partire dalla citata caratterizzazione del sottospazio P(T).  Tale metodo è usato sia per ottenere un controesempio alla congettura secondo cui gli spazi parametrizzanti le curve con dato spezzamento di N sarebbero irriducibili, sia per caratterizzare le curve C che, in queste ipotesi, sono contenute in scroll razionali normali.

[67] In questo lavoro si considerano solo curve razionali monomiali (si veda il lavoro [66]) e si dimostra che la determinazione del tipo di spezzamento di N si può ricondurre ad un problema combinatorio, che viene risolto.

[69] In questa nota, usando il formalismo e le idee introdotte in  [63]  e sviluppate in [64], si fornisce una nuova veloce dimostrazione del classico teorema di Sacchiero che stabilisce il tipo di spezzamento del fibrato normale di una generica curva razionale liscia di grado d > s in P^s (s >=3). Si discutono anche possibili definizioni di "genericità" per curve razionali monomiali e si stabilisce quando una curva monomiale liscia ha tipo di spezzamento generico nel senso di Sacchiero.

Un problema sulle configurazioni di rette negli iperspazi ([60]).

[60] Sia {L_1,...,L_r} un insieme di r rette disgiunte in P^N(C), r =< N. Sia {P_1,...,P_r} un insieme di r punti, P_i appartenennte ad L_i, per ogni i=1,...,r. Sotto quali condizioni esiste un iperpiano di P^N che taglia ogni retta esattamente soltanto nel punto P_i ? In questo lavoro si dimostra che se la dimensione del sottospazio lineare generato da k rette, scelte fra le precedenti, dipende solo da k, per ogni k, e non dalle rette scelte, allora esistono opportuni aperti di Zariski in L_1x...xL_r ed in P^N* tali che, scegliendo r punti ed un iperpiano nella citata coppia di aperti, si ha che l'iperpiano taglia le rette solo negli r punti. Si provano anche alcuni raffinamenti del risultato se r < N. L'ipotesi utilizzata è verificata quando le r rette sono fibre di una superficie che sia uno scroll razionale, da ciò segue un legame tra il problema e la possibilità di costruire divisori molto ampi per 3-folds del tipo P(E), dove E è un fibrato vettoriale di rango 2 su una superficie liscia.

Fibrati speciali di rango 2 su P^2  e su superfici rigate razionali ([65],[68]).
[65] In questo lavoro si considerano fibrati di rango 2 su P^2 tali che le loro sezioni genriche abbiano luogo degli zeri costituito da un insieme di punti distinti in posizione generica. Dopo aver dato una definizione molto precisa dei fibrati in questione, chiamati ZGP fibrati, il problema viene affrontato da due direzioni diverse. Da un lato si individuano alcune condizioni numeriche necessarie all'esistenza degli ZGP fibrati e si mostra che, salvo poche eccezioni completamente descritte, il generico elemento dello spazio dei moduli dei fibrati i cui caratteri numerici sodidafano alle suddette condizioni è in effetti uno ZGP fibrato. Dall'altro si considerano fibrati E come estensioni del tipo 0 --> O(a) --> E --> I_Z(b) --> 0, (dove O(a) è il fibrato lineare dato dalle curve piane di grado a e I_Z(b) è il fascio dato dalle curva piane di grado b passati per lo schema 0-dimensionale Z) e si determinano condizioni numeriche su a e b e condizioni su Z affinchè E sia uno ZGP fibrato. Questo approccio consente di provare l'esistenza di alcuni 3-folds del tipo P(E).

[68] In questo lavoro si tenta di replicare l'analisi svolta in [65] al caso in cui la superficie base sia una rigata razionale S. In questo caso non esiste una definizione univoca di "punti in posizione generica"; nel lavoro si è scelta quella per cui  n punti in posizione generica impongono n condizioni lineari alle sezioni di S passanti per essi. In conseguenza di ciò si sono esaminati i fibrati E che sono estensioni di due fibrati lineari L ed M le cui sezioni siano anche sezioni di S. Anche in questo semplice caso, gli E le cui sezioni generiche hanno luoghi degli zeri in posizione generica sono molto pochi e si dimostra facilmente che sono quasi tutti molto ampi. Per alcuni di essi, tuttavia, non è facile stabilire se siano molto ampi o se almeno lo sia il fibrato generico estensione di L ed M. Nel lavoro questo esame viene svolto in modo da risolvere completamente il problema. La conclusione che si trae è che la questione dirimente è il numero degli zeri di una sezione generica di E appartenenti alla sezione fondamentale di S.
 

Weak Lefschetz Property ([70]).
[70] In questo lavoro si dimostra la congettura relativa alla Weak Lefschetz Property (WLP) in alcuni casi particolari. Consideriamo un anello quoziente del tipo A = C[x_0,....x_m]/I dove I è un ideale omogeneo, generato da forme di grado d≥2, che definisca una intersezione completa in P^m (m≥3).  Ogni fissata forma lineare L in P^m definisce una moltiplicazione m_L tra ogni parte omogenea di grado k di A e ogni sua parte omogenea di grado k+1. La congettura WLP, (che di per sè é ancor più generale di quanto spiegato qui) prevede che, se L è generica, ogni m_L sia di rango massimo. La WLP è stata dimostrata soltanto per pochi casi, anche nel contesto più restrittivo qui considerato. Il lavoro dimostra che m_L è sempre iniettiva quando k = d-1. Usando questo lemma si può dimostrare molto più facilemente che la WLP è vera quando d=2 ed m=3, cosa già nota, e che la WLP è vera anche per d=2 ed m=4, risultato nuovo. Il metodo usato per le dimostrazioni è innovativo e si spera possa essere utilizzato anche in altri casi.