GEOMETRIA III (aprile 2008)

1)	Si consideri la seguente curva algebrica C: 

                y2 + x2(x2 –1)3 = 0.

a) Si provi che C è irriducibile  e ridotta. 

b)	Si determinino e si studino i punti singolari di C.

c) Si studi C e se ne tracci un diagramma qualitativo. 

d)	Utilizzando la teoria del risultante, si determini la molteplicità  di
intersezione, nel punto di coordinate (-1,0), tra C e la curva di equazione: 
 
y2 – (x+1)3 = 0.

2)	Al variare del parametro reale h, si consideri la famiglia  di fogli semplici
Sh definiti dalle applicazioni  Ph: R2   R3,(u,v) (x,y,z), tali che: 

Ph(u,v) = (u, v, u2 + v2 + 2huv).

a)	Si stabilisca  la natura dei punti di ogni Sh. 

b)	Si determinino le curvature e le direzioni principali  in Ph(0,0) per
ogni Sh.

c)	Si consideri la curva h, tracciata su ogni Sh, di equazioni: u = t, v = t,
 tR. Si stabilisca  per quali fogli Sh la curva h è una linea asintotica, è una linea di curvatura, è una geodetica. 

d)	Per ogni Sh si determinino i punti Q di h tali che il piano tangente ad
Sh in Q passa per (0,0,-2-2h).

     3) Sia P = P(s) una curva fortemente regolare di E3 riferita ad un suo parametro naturale s[1,+), con c(s) = (s) = 1, s[1,+). Si consideri la curva Q(s)  = sn(s), dove n(s) è il versore normale principale per P. Si provi che Q(s) è una curva fortemente regolare.