GEOMETRIA III (febbraio 2008)

1)	Si consideri la seguente famiglia di curve algebriche Ck dipendenti dal 
parametro reale k: 

        (k–2)y3 – kx2 + 2(k–1)y2 = 0.

a) Si determinino le curve riducibili  e le curve non ridotte della famiglia. 

b)	Per tutti i valori di k per cui Ck è ridotta ed irriducibile  si determinino 
e si studino gli eventuali punti singolari di Ck.

c) Si studi C3 e se ne tracci un diagramma qualitativo. 

d)	Si determinino tutti i punti di intersezione, con la relativa molteplicità,
fra C1 e la curva di equazione:  x2 – y3 – 2y2 = 0.

2)	Si consideri l’applicazione  P: R2   R3,(u,v) (x,y,z), tale che: 

P(u,v) = (vsen(u), u + vcos(u), u3).

a)	Si determini il minimo valore u0 di u per cui la restrizione di P 
all’insieme  A={(u,v)R2| u > u0} definisce un foglio semplice di superficie S. 
Si determini poi la natura dei punti di S. 

b)	Si consideri la curva , tracciata su S, di equazioni u = t, v = sen(t),
con t R, t > 0. Per ogni punto di  corrispondente al valore t del parametro, si indichi con K(t) la curvatura di Gauss di S in quel punto. Si calcoli il minimo tra K(π/2) e K(π).

c) Si stabilisca  se  è una linea asintotica e se è una linea di curvatura. Si determinino i punti H di  tali che il piano tangente ad S in H passa per (0,1,1).

d)	Si calcoli il limite di K(t) per t

     3) Sia P = P(s) una curva fortemente regolare di E3 riferita ad un suo parametro naturale s[1,+). Si consideri la curva Q(s)  = P(s) + s2n(s), dove n(s) è il versore normale principale per P. Si provi che Q(s) è una curva regolare.