GEOMETRIA III (gennaio 2007)

1) Si consideri la curva algebrica C di equazione: 

y4 - 3y2 + 4xy - x2 = 0.

a)	Si provi che C è irriducibile  e ridotta.
 
b)	Si determinino e si studino i punti singolari di C. C è razionale ?

c) Si completi lo studio di C e se ne tracci un diagramma qualitativo.

d)	Al variare dei parametri reali h e k si determini la molteplicità  di intersezione in (0,0) tra C e la curva di equazione:
                                     y = hx + kx2 .

2) Si considerino le applicazioni  Pi:(0,+)(0,2π)   R3,(u,v) (x,y,z) e (u’,v’) (x,y,z),  i = 1,2, tali che: 
P1(u,v) = (ucos(v), usen(v), v)
P2(u’,v’) = (u’cos(v’), u’sen(v’), log(u’)),

e sia   :(0,+)(0,2π)   (0,+)(0,2π)   l’applicazione :   u’ = u, v’ = v.

a)	Si provi che ogni Pi definisce un foglio semplice di superficie Si e si
determini la natura dei punti di ogni Si.

	b) Si considerino le due curve, tracciate sui fogli, di equazioni, rispettiva-mente,  u = 1, v = t  e  u’ = 2, v’ = t, t(0,2π). Si determinino le loro curvature e si stabilisca  se un movimento rigido nello spazio può trasformare il supporto della prima in quello della seconda. 

c)	Si determinino le direzioni asintotiche uscenti dal punto (1,1) di S2 e si
stabilisca  se esse sono tali anche per il punto (1,1) = -1(1,1)  di S1.

d)	Si dimostri che la curvatura di Gauss di S1 in (u,v) e di S2 
in (u’,v’) = (u,v) = (u,v) è la stessa e si stabilisca  se è una isometria locale tra S1 ed S2.

e)	Tenendo conto che S2 è un foglio di rotazione, si determinino le sue
linee di curvatura e si stabilisca  se le curve di S1, che corrispondono a queste tramite ,sono ancora linee di curvatura per S1.