L'unità di ricerca dell'Università di Milano ha una forte tradizione in vari aspetti della geometria delle varietà algebriche complesse sia dal punto di vista intrinseco (cicli, fibrati vettoriali) che da quello estrinseco (varietà immerse in uno spazio proiettivo). L'arrivo del Prof. Massimo Bertolini ha dato un ulteriore stimolo allo sviluppo della geometria aritmetica. Al nucleo si sono anche aggiunti ricercatori da altre sedi universitarie, tutti con esperienze ed interessi scientifici coerenti con il programma indicato. L'unità ha numerosi dottorandi in formazione.

 Le tematiche della ricerca dei membri dell'UdR si possono cosi' raggruppare.

 GEOMETRIA:
 a) Fibrati vettoriali ampi (varietà polarizzate generalizzate). Si sono ottenuti risultati di classificazione per fibrati vettoriali ampi aventi una sezione il cui luogo di zeri è una varietà proiettiva di tipo speciale, nel senso dell'aggiunzione [LM1], o in altro senso [LM2]. Ciò ha consentito di rivisitare nell'ambito dei fibrati vettoriali ampi diversi problemi di classificazione per varietà proiettive [LM3], [LSo], [GaL] [LM4],[LM5], [FL]. Si sono anche ottenuti risultati sulla struttura della mappa aggiunta per fibrati vettoriali molto ampi di corango 1 [LPS], che estendono risultati di Sommese e Van de Ven [SV].

 b) Sistemi lineari. Si sono ottenuti risultati di classificazione per varietà proiettive con una sezione iperpiana riducibile le cui componenti sono varietà speciali [LT1], [LT2], in particolare completando risultati di Chandler-Howard-Sommese [CHS] e di [BCS]. E` stato completato lo studio delle threefolds che tra le loro sezioni iperpiane ammettono una superficie la cui mappa bicanonica non è birazionale [BCLS]. Si sono classificate le superfici non rigate contenenti un divisore nef e big di genere 2 [BFL]. Si sono studiate le varietà dotate di sistemi lineari ampi e/o privi di punti base i cui luoghi discriminanti hanno dimensione piccola [LMu] estendendo diversi risultati classici sulle varietà duali (Ein, Zak). Sono anche stati indagati alcuni punti peculiari per un sistema lineare ampio e privo di punti base: in particolare, i punti che provocano la riducibilità di tutti gli elementi del sistema che li contengono semplicemente (bad points) o doppiamente (rude points) [BDRL]. Del primo caso si è anche ottenuta una completa caratterizzazione [dFL]. In [dFKL] si èottenuta una caratterizzazione di divisori ampi su varieta` proiettive complesse in termini del comportamento asintotico delle dimensioni coomologiche.

 c) Sottovarietà delle Grassmanniane di rette. In [ABT1] luoghi focali (punti, piani e iperpiani) per congruenze di rette di P^n sono stati definiti ed è stato effettuato uno studio locale della varietà delle rette (n-1)-tangenti a ipersuperfici in P^n e delle varietà delle (n-1)-secanti a una (n-2)-varietà in P^n, e uno studio globale (esistenza e lisciezza) delle congruenze di rette trisecanti a superfici di P^4, prive di rette quadrisecanti.

 d) Sottovarietà di P^n di codimensione piccola. In [dF] si dimostra la seguente congettura di Pukhlikov: per N > 3, ogni ipersuperficie proiettiva liscia di grado N in P^N è birazionalmente rigida, e in particolare irrazionale. In [BF] è stata determinata, oltre alla liscezza, la struttura geometrica, nel senso della teoria dell'aggiunzione, di nuove threefolds in P^6. In [AT2] si sono stabilite alcune proprietà combinatorie per gli ideali delle sottovarietà di codimensione 2.

 e) Altri temi di ricerca affrontati sono la k-regolarità delle varietà algebriche lisce [AR1]; lo studio della connessione dei divisori [AT1] e lo studio dei sistemi omaloidici, in relazione alle varietà con un punto doppio apparente [AR2] e alle contrazioni di Mori [AR3]; la costruzione esplicita di varietà speciali mediante strumenti di computer algebra [AT3].
 

 ARITMETICA:
 Sia E una curva ellittica definita sui razionali, di conduttore aritmetico N. Grazie ai lavori di Wiles e altri, E è modulare. Ciò significa che E è associata ad una forma modulare cuspidale per il gruppo Gamma_0(N) i cui coefficienti di Fourier a_p, per p un primo di buona riduzione per E, sono uguali a p+1-n_p, dove n_p è il numero dei punti di E (modulo p) sul campo finito con p elementi. La modularità di E implica che la funzione L complessa L(E,s) di E, a priori definita sul semipiano Re(s)>3/2, ammette un prolungamento analitico all'intero piano complesso; in particolare, L(E,s) puo' essere studiata in un intorno del punto critico s=1. La celebrata congettura di Birch e Swinnerton-Dyer lega il comportamento di L(E,s) in s=1 alle propriet*? aritmetiche di E, affermando tra l'altro che il rango del gruppo dei punti razionali di E è uguale all'ordine di annullamento di L(E,s) in s=1. Al momento, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è nota per le curve ellittiche E tali che L(E,s) si annulla in s=1 con ordine zero o uno, grazie ai risultati di Gross-Zagier e Kolyvagin. La dimostrazione di questi risultati *® basata in modo essenziale sulla teoria della moltiplicazione complessa, che permette la costruzione sistematica di una famiglia di punti di E definiti sulle estensioni anticiclotomiche di certi campi quadratici immaginari.

 Con un lavoro di Mazur-Tate-Teitelbaum, si è iniziata in 1986 la formulazione di varianti p-adiche della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, nelle quali la funzione L complessa L(E,s) è sostituita da una famiglia di funzioni L p-adiche L_p(E,s), al variare del primo razionale p. Lo studio di tali funzioni si inquadra nell'ambito della teoria di Iwasawa, legata allo studio delle curve ellittiche sulle estensioni del campo razionale Q, o di opportuni campi di numeri, aventi gruppo di Galois isomorfo al gruppo additivo Z_p degli interi p-adici. L'articolo [BD1] contiene la formulazione di congetture di Birch e Swinnerton-Dyer p-adiche per le funzioni L p-adiche associate alla Z_p-estensione anticiclotomica di un campo quadratico immaginario. Questo lavoro evidenzia l'esistenza di nuovi fenomeni rispetto agli studi precedenti, quali una connessione con la teoria dell'uniformizzazione p-adica di Cerednik e Drinfeld della curve di Shimura e la teoria dei gruppi delle componenti connesse dei modelli di Neron di jacobiane modulari. Questi fenomeni hanno ispirato molte ricerche da membri del gruppo. Citiamo tra tutti il lavoro [BD2], in cui si dimostra una versione della "Main Conjecture" della teoria di Iwasawa per la funzione L p-adica anticiclotomica di una curva ellittica su Q. Inoltre, in [Lo1] si ottengono risultati sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer per curve ellittiche su campi totalmente reali, e in [Lo2] si generalizza il lavoro di Bertolini-Darmon [BD2] alle estensioni anticiclotomiche di tipo Z_p^d di un campo totalmente reale.

 Recentemente, Bertolini e Darmon hanno iniziato uno studio sistematico della applicazioni della teoria delle famiglie analitiche p-adiche di forme modulari di peso variabile, sviluppata tra gli altri da Hida e Coleman-Mazur, alla costruzione di punti razionali sulle curve ellittiche per mezzo delle derivate di funzioni L p-adiche. Una descrizione piu' dettagliata di questi risultati è contenuta nella sezione "Programma di ricerca e compiti dell'Unita' di Ricerca". Ci limitiamo qui a citare i lavori [BD3] e [BD4].
 

 STRUTTURE DI HODGE:
 Moonen e Zarhin [MZ] hanno mostrato che la congettura di Hodge per varietà abeliane 4-dimensionali segue da quella per le variet*? abeliane 4-dimensionali di tipo Weil. Si è stabilito [vGV] che se la congettura (2,2) è verificata per certe varietà abeliane 8-dimensionali allora la congettura di Hodge è verificata anche per certe varietà 4-dimensionali di tipo Weil.

 Zarhin [Z] ha studiato il gruppo di Mumford-Tate di una superficie K3. Questo permette di studiare i cicli di Hodge su un prodotto di superficie K3. Mukai [M] ha mostrato la congettura di Hodge per il prodotto di due superfici K3 nel caso in cui il ciclo di Hodge è definito da una isometria di Hodge. In [GL] e [vGS] si è mostrato che usando involuzioni di Nikulin si possono generalizzare i risultati di Mukai.

 La sottostruttura di Hodge trascendente del secondo gruppo di coomologia di una varietà algebrica è strettamente legata al gruppo di Brauer della varietà. Questi gruppi sono stati studiati recentemente in particolare nel caso di fibrazioni ellittiche. Ci sono applicazioni sia all'aritmetica delle variet*? algebriche sia alla teoria delle stringhe [Ca],[DP],[vG]. Per una superficie K3, la struttura di Hodge trascendente è determinata dalla categoria derivata dei fasci coerenti ed elementi del gruppo di Brauer corrispondono a categorie derivate twistate [HS]. In [DGK] lo spazio dei periodi di certe superfici K3 è stato usato per descrivere lo spazio dei moduli di superfici cubiche marcate. I gruppi di Chow di questa varietà sono stati determinati in [CvG].

 In [FvdG] viene studiata la coomologia dei sistemi locali sullo spazio dei moduli delle curve di genere due e viene messa in relazione con forme modulari di Siegel di genere due. In [BvdG] si cerca di generalizzare tale lavoro al caso di curve iperellittiche di genere tre.

 In [dFLNU] si introduce una nuova teoria di classi di Chern per certe varietà algebriche singolari che generalizza il numero di Eulero stringato definito da Batyrev.
 

 APPLICAZIONI:
 La Computer Vision è sorta come disciplina autonoma negli ultimi anni del '900, con forti connessioni con Matematica ed Informatica, allo scopo di analizzare la ricostruzione virtuale di ambienti tridimensionali e di ottenere il riconoscimento di oggetti in tali ambienti. La Computer Vision studia essenzialmente le proprietà dei vari modelli matematici di telecamere adottabili, e delle correlazioni esistenti fra esse e lo spazio ambiente. Si traducono i problemi in analoghe questioni di Geometria Proiettiva e si trattano questi ultimi con i metodi propri della Geometria Algebrica, l'ambito di ricerca primaria dei ricercatori coinvolti [ABC], [BT2].
 

2.4.a Riferimenti bibliografici
[A1] E. Arrondo, Subcanonicity of codimension two subvarieties, Rev. Mat. Complut. 18 (2005) 69-86.
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 [AR3] A. Alzati, F. Russo, Some extremal contractions between smooth varieties arising from projective geometry, Proc. London Math. Soc. 89 (2004) 25-53.
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 [AT3] A. Alzati, F. Tonoli, Explicit construction of ruled surfaces, preprint, 2006.
 [B1] F. Bottacin, Closed Differential Forms on Moduli Spaces of Sheaves, preprint 2005.
 [B2] F. Bottacin, Differential Forms on Moduli Spaces of Parabolic Bundles, preprint 2005.
 [BCS] M. Beltrametti, K. Chandler, A.J. Sommese, Reducible hyperplane sections II, Kodai Math. J. 25 (2002), 139-150.
 [BD1] M. Bertolini, H. Darmon, Heegner points on Mumford-Tate curves, Invent. Math. 126 (1996) 413-456.
 [BD2] M. Bertolini, H. Darmon, Iwasawa's Main Conjecture for elliptic curves over anticyclotomic Z_p-extensions, Ann. of Math. 162 (2005) 1-64.
 [BD3] M. Bertolini, H. Darmon, Rationality of Stark-Heegner points over genus fields of real quadratic fields, to appear in Ann. of Math.
 [BD4] M. Bertolini, H. Darmon, Hida families and rational points on elliptic curves, preprint.
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 [BFL] A. Biancofiore, M.L. Fania, A. Lanteri, Semipolarized nonruled surfaces with sectional genus 2, to appear in Beitr. Alg. Geom.
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 [BF1] G. Bini, C. Fontanari, Calculating cohomology groups of M_{0,n}(P^r,d), Ann. Mat. Pura ed Appl. 182 (2003) 337-344.
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 [BvdG] G. Bini, G. van der Geer, The Euler characteristic of local systems on the moduli of genus 3 hyperelliptic curves, Math. Ann. 332 (2005) 367-379.
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 [BT1] M. Bertolini, C. Turrini, Surfaces in P^4 with no quadrisecant lines, Beitrage zur Algebra und Geometrie 39 (1998) 31-36.
 [BT2] M. Bertolini, C. Turrini, Critical configurations for 1-view in projections from P^k to P^2, preprint 2005.
 [Ca] A. Caldararu, Derived categories of twisted sheaves on elliptic threefolds, J. Reine Angew. Math. 544 (2002) 161-179.
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 [FvdG] C. Faber, G. van der Geer, Sur la cohomologie des syst*®mes locaux sur les espaces des modules des courbes de genre 2 et des surfaces ab*©liennes I, II. C.R. Acad. Sci. Paris, S*©r. I, 338 (2004) p. 381-384, 467-470.
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 [vGS] B. van Geemen, A. Sarti, Nikulin involutions on K3 surfaces, eprint math.AG/0602015.
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 [LM1] A. Lanteri, H. Maeda, Special varieties in adjunction theory and ample vector bundles, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 130 (2001) 61-75.
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 [Lo1] M. Longo, On the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for modular elliptic curves over totally real fields, to appear in Annales de l'Institut Fourier.
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 [LMu] A. Lanteri, R. Munoz, Varieties with small discriminant variety, to apear in Trans. Amer. Math. Soc.
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 [LT2] A. Lanteri, A.L. Tironi, Reducible hyperplane sections of threefolds: two components of sectional genus zero, Kodai Math. J. (2004), 299-320.
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 [MZ] B.J.J. Moonen, Yu.G. Zarhin, Hodge classes on abelian varieties of low dimension, Math. Ann. 315 (1999) 711-733.
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 [Z] Yu.G. Zarhin, Hodge groups of K3 surfaces, J. Reine Angew. Math. 341 (1983) 193-220.
 
 

L'unità di ricerca dell'Università di Milano ha una forte tradizione in vari aspetti della geometria delle varietà algebriche complesse sia dal punto di vista intrinseco (cicli, fibrati vettoriali) che da quello estrinseco (varietà immerse in uno spazio proiettivo). L'arrivo del Prof. Massimo Bertolini ha dato un ulteriore stimolo allo sviluppo della geometria aritmetica. Al nucleo si sono anche aggiunti ricercatori da altre sedi universitarie, tutti con esperienze ed interessi scientifici coerenti con il programma indicato. Nell'ultimo decennio diversi membri dell'unità di ricerca hanno accresciuto le loro attività sviluppando varie collaborazioni internazionali e contribuendo alla formazione di giovani matematici, alcuni dei quali ora ricoprono posizioni stabili in Italia o all'estero. L'unità ha numerosi dottorandi in formazione, alcuni dei quali hanno un relatore all'estero.

Le tematiche della ricerca dei membri dell'UdR si possono cosi' raggruppare.

I) Cicli algebrici e strutture di Hodge. La congettura di Hodge per varietà abeliane e prodotti di superficie K3 ha un interesse particolare per la nostra UdR. Moonen e Zarhin [MZ] hanno mostrato che la congettura di Hodge per varietà abeliane 4-dimensionali segue da quella per le varietà abeliane 4-dimensionali di tipo Weil: si è stabilito [vGV] che se la congettura (2,2) è verificata per certe varietà abeliane 8-dimensionali allora la congettura di Hodge è verificata anche per certe varietà 4-dimensionali di tipo Weil. Inoltre, Zarhin [Z] ha studiato il gruppo di Mumford-Tate di una superficie K3. Questo permette di studiare i cicli di Hodge su un prodotto di superficie K3.
In più, la sottostruttura di Hodge trascendente del secondo gruppo di coomologia di una varietà algebrica è strettamente legata al gruppo di Brauer della varietà. Questi gruppi sono stati studiati recentemente in particolare nel caso di fibrazioni ellittiche, e ci sono applicazioni sia all'aritmetica delle varietà algebriche sia alla teoria di stringhe [Ca],[DP],[W].

II) Spazi di moduli. Mukai ha dimostrato che lo spazio dei moduli dei fasci su una superficie abeliana o K3 possiede una struttura simplettica naturale. Questo risultato è stato esteso a diversi spazi di moduli di fasci con una struttura aggiuntiva e al caso delle strutture di Poisson [B1]-[B4]. Ciò ha anche permesso di costruire una vasta classe di sistemi hamiltoniani integrabili e di fornire applicazioni a vari spazi di moduli di certi fibrati vettoriali "framed" o parabolici, su superfici.
Lo studio delle proprietà geometriche dello spazio dei moduli delle mappe stabili si è sviluppato recentemente. In particolare, la nostra UdR si interessa al caso di spazi proiettivi e Grassmanniane [BF1], [BF2], [BF3]. Le tecniche esposte in [HRS],[K],[St] sono di grande interesse per ulteriori studi.
Kondo [K1], [K2], ha stabilito che gli spazi dei moduli di curve di genere tre e quattro sono birazionali agli spazi dei moduli di certe superfici K3.

III) Serie L e curve ellittiche. I risultati principali su cui si basa la ricerca dell'UdR in questo campo sono:
1. La dimostrazione di formule per gli zeri eccezionali di funzioni L p-adiche anticiclotomiche. Questi risultati, in particolare, permettono una costruzione p-adica di punti razionali su curve ellittiche in termini di derivate di funzioni L p-adiche, [BD1], [BD2], [BD3], [BDI].
2. La dimostrazione di una versione della Congettura Principale della teoria di Iwasawa per funzioni L p-adiche anticiclotomiche [BD4].
3. Lo sviluppo, dovuto a M. Bertolini, H. Darmon e S. Dasgupta, di una teoria congetturale dei Sistemi di Eulero per le curve ellittiche modulari e le estensioni anticiclotomiche di campi quadratici reali. Questa teoria collega certi punti di Stark-Heegner a valori speciali di funzioni L complesse.
4. La relazione tra il rango di una curva ellittica su una curva e la media dei ranghi delle fibre dovuto a J. Silverman [Si], questi risultati sono stati estesi a threefolds da R. Wazir [Wa]. In [R1], [R2] si è mostrato che la media delle parità del rango è non zero in casi eccezionali.

IV) Nello studio dei fibrati vettoriali ampi (varietà polarizzate generalizzate) sono stati ottenuti risultati di classificazione per fibrati vettoriali ampi aventi una sezione il cui luogo di zeri è una varietà proiettiva di tipo speciale, nel senso dell'aggiunzione [LM1], o in altro senso [LM2]. Ciò ha consentito di rivisitare nell'ambito dei fibrati vettoriali ampi diversi problemi di classificazione per varietà proiettive [LM3], [LSo], [GaL]. Si sono anche ottenuti risultati sulla struttura della mappa aggiunta per fibrati vettoriali molto ampi di corango 1 [LPS], che estendono risultati di Sommese e Van de Ven.

V) Nello studio dei sistemi lineari si sono ottenuti risultati di classificazione per varietà proiettive con una sezione iperpiana riducibile le cui componenti sono varietà speciali [LTi], completando risultati di Chandler-Howard-Sommese. Sono state studiate le varietà dotate di sistemi lineari ampi e privi di punti base i cui luoghi discriminanti hanno dimensione piccola [LMu], estendendo diversi risultati classici sulle varietà duali (Ein, Zak). Sono anche stati indagati alcuni punti peculiari per un sistema lineare ampio e privo di punti base: in particolare, i punti che provocano la riducibilità di tutti gli elementi del sistema che li contengono semplicemente (bad points) o doppiamente (rude points) [BDRL]. Del primo caso si è anche ottenuta recentemente una completa caratterizzazione [dFL].

VI) Nell'ambito proiettivo differenziale sono state studiate le varietà duali di ordine superiore di alcune varietà speciali (ad es. superficie di Del Pezzo) inquadrando lo studio dei fenomeni osculatori in quello dei luoghi discriminanti di ordine superiore [LMa]. Nel caso degli scroll bidimensionali questo ha anche portato a fornire controesempi ad una congettura di Piene-Tai sugli scroll razionali normali bilanciati (caso pari) e ad una stima dal basso per la dimensione degli spazi osculatori [L].

VII) Sottovarietà delle Grassmanniane di rette. L'applicazione delle tecniche di geometria differenziale sviluppate da McCrory, Shifrin e Varley [McCS], [McCSV] allo studio delle sottovarietà delle Grassmanniane ha portato alla descrizione, come schema, delle superfici focali delle congruenze di rette di P^3 e alla formulazione di alcune congetture relative alle congruenze la cui superficie focale non è irriducibile e ridotta [ABT3].
In [ABT4] luoghi focali (punti, piani e iperpiani) per congruenze di rette di P^n sono stati definiti e è stato effettuato uno studio locale della varietà delle rette (n-1)-tangenti a ipersuperfici in P^n e delle varietà delle (n-1)-secanti a una (n-2)-varietà in P^n, e uno studio globale (esistenza e lisciezza) delle congruenze di rette trisecanti a superfici di P^4, prive di rette quadrisecanti.

VIII) Sottovarietà di P^n di codimensione piccola. La classificazione di varietà di grado piccolo è nota fino a grado 11 per codimensione qualsiasi, mentre è nota fino a grado 12 per threefolds con codimensione due (grazie a risultati di Beltrametti e Sommese). Come naturale proseguimento di questi risultati, in [B] viene effettuata la classificazione dei threefolds di P^6 di grado 12. La costruzione di tali varietà viene effettuata utilizzando i luoghi di degenerazione di morfismi tra fibrati su P^6, oppure sottovarietà pfaffiane, o tecniche di liaison in intersezioni complete e di liaison generalizzata, cioè dentro luoghi di degenerazione o dentro varietà pfaffiane.
Con le stesse tecniche è stato possibile costruire varietà lisce di grado piccolo in P^6 di cui si conoscono gli invarianti e la risoluzione minimale del fascio di ideali. Nel lavoro [BF] è stata determinata, oltre alla liscezza, la struttura geometrica, nel senso della teoria dell'aggiunzione, di tali nuove varietà, utilizzando e generalizzando alcune tecniche, dovute a Biancofiore e Fania.

IX) Curve nello spazio proiettivo. Tra le possibili componenti degli schemi di Hilbert delle curve localmente Cohen-Macaulay dello spazio c'è quella delle curve cosiddette estremali a cui varie classi di curve possono essere connesse mediante generalizzazioni e specializzazioni. Questo fatto porta alla naturale questione, ancora aperta, se gli schemi di Hilbert di curve localmente Cohen-Macaulay siano sempre connessi.
Lo strumento principale, nello studio delle curve localmente Cohen-Macaulay nello spazio proiettivo, è la teoria della liaison. Negli ultimi anni numerosi lavori sono stati dedicati all'estensione dei risultati noti in codimensione due al caso di codimensione maggiore. La teoria della liaison, basata sulle intersezioni complete, deve essere sostituita in questo caso dalla nozione di Gorenstein liaison che sembra essere più naturale in questo ambito.

X) Altri temi di ricerca sono la k-regolarità delle varietà algebriche lisce sia linearmente normali [AB] che non linearmente normali [AR1]; lo studio della connessione dei divisori [AT] e lo studio dei sistemi omaloidici, in relazione alle varietà con un punto doppio apparente [AR1] e le contrazioni di Mori [AR3].

Riferimenti Bibliografici

[A1] E.Arrondo, Subcanonicity of codimension two subvarieties, preprint
(2003).
[A2] E.Arrondo, Pfaffian linkage in codimension three and applications to
congruences, Comm. Algebra, 26 (1998) 3267-3274.
[AB] A. Alzati, G.M. Besana, Koszul cohomology and k-normality of a
projective variety, Contr. to Alg. and Geom. 41 (2000) 279-290.
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Il nucleo locale della UdR ha operato fin dall'inizio nell'ambito
del PRIN MURST 40% "Geometria algebrica" (coord. A. Conte, poi C.
Pedrini), successivamente ha partecipato ai PRIN "Geometria
algebrica, Algebra Commutativa e Aspetti Computazionali" (MURST
cofin 1997, coord. C. Pedrini) e "Geometria sulle varietà
algebriche" (MURST cofin 2000, coord. A. Verra). Ha operato anche
nell'ambito di EuroProj, Eager, e con azioni integrate
Italia-Spagna (Progetti 100B, HI1997-0123, IT200). Nell'ultimo
decennio vari membri dell'UdR hanno accresciuto la loro attività
sviluppando molte collaborazioni internazionali e contribuendo
alla formazione di giovani ricercatori, alcuni dei quali
ricoprono ora posizioni stabili in Italia o all'estero. Le
tematiche studiate recentemente dai membri dell'UdR riguardano
vari aspetti della geometria delle varietà proiettive che si
possono cosi` raggruppare.
I) Nell'ambito dei sistemi lineari sono state studiate le varietà
proiettive con una sezione iperpiana riducibile, nella scia di
[CHS], ottenendo vari risultati di classificazione [LT],
[T],[BCS]. Nella teoria dell'aggiunzione per fibrati vettoriali
si sono ottenuti risultati di struttura per fibrati molto ampi di
corango 1 quando la mappa di aggiunzione ha immagine di
dimensione non massima [LPS3]. I progressi nello studio delle
mappe aggiunte per fibrati vettoriali ampi ha consentito di
trasferire la tematica delle varietà speciali contenute in una
varietà come divisori ampi al contesto dei fibrati vettoriali
ampi e nuovi risultati [LMa] permettono di rivisitare con
successo in questo ambito temi classici di geometria proiettiva
[LS]. Si è studiata la connessione numerica dei divisori su
varietà di dimensione >2, mostrando che ogni divisore molto ampio
di una 3-fold è 3-connesso salvo che in un numero finito di casi
completamente descritti [AT]. E` stato studiato il problema della
dimensione effettiva dei sistemi lineari su una superficie con
punti base assegnati: con tecniche di degenerazione alla
Ciliberto-Miranda [CM] è stata dimostrata la congettura di
Hirschowitz per sistemi lineari piani con r-1 punti di
molteplicità 5 e uno di molteplicità arbitraria [LU] ed un
analogo di questa congettura per i sistemi omogenei di
molteplicità 2 o 3 sulle rigate razionali [La]. In geometria
birazionale, sono stati classificati gli automorfismi di ordine
primo di superfici con dimensione di Kodaira negativa [dF1].
Inoltre si sono stabilite formule che mettono in relazione
caratteri di un ideale arbitrario con il suo threshold log
canonico [dF2], risultati che permettono di mostrare la rigidità
birazionale di certe classi di varietà.
II) Moonen e Zarhin [MZ] hanno mostrato che la congettura di
Hodge per varietà abeliane 4-dimensionali segue da quella per le
varietà abeliane 4-dimensionali di tipo Weil: si è stabilito
[vGV] che se la congettura (2,2) è verificata per certe varietà
abeliane 8-dimensionali allora la congettura di Hodge è
verificata anche per certe varietà 4-dimensionali di tipo Weil.
III) Sono stati studiati i gruppi di Chow e Higher-Chow di Bloch
per la jacobiana di una curva liscia proiettiva C, approfondendo
il legame con la teoria di Hodge del gruppo fondamentale di C
[Pu] (via la teoria degli integrali iterati) [Ha], specialmente
per curve iperellittiche [Co], [C]. Per lo studio del problema di
Shottky si sono rivelati molto utili gli spazi di moduli dei
fibrati vettoriali di rango 2 su curve [vGP] e recentemente si
sono avuti significativi sviluppi [Pa], [OR].
IV) Nella classificazione delle curve algebriche in P^3 la teoria
di liaison ha giocato un ruolo fondamentale sin dall'inizio.
Tuttavia, solo recentemente è risultato chiaro che le curve
localmente Cohen-Macaulay costituiscono l'ambiente corretto per
la teoria, anche volendosi limitare alle curve lisce connesse
[MP1]. Recentemente la comprensione delle curve spaziali di
Cohen-Macaulay è molto progredita. Si ha una descrizione dei loro
schemi di Hilbert fino al grado 4 [N], [NS], si conoscono i
valori possibili del grado e del genere aritmetico [H1], si sa
che esiste una componente "estremale" dei loro schemi di Hilbert
costituita da curve con gruppi di coomologia i più grandi
possibile [MP2], e si ha una limitazione (congetturalmente
ottimale) per il genere aritmetico di una curva di grado d non
giacente su una superficie di grado s [Be], [S]. Si ha anche una
descrizione teorica delle loro deformazioni [HMP], ma il problema
di descrivere le ostruzioni alla esistenza di specializzazioni
tra le curve di P^3 rimane molto difficile [AP], [H2], [MP3].
Rimane un importante problema aperto quello di sapere se gli
schemi di Hilbert delle curve di P^3 localmente Cohen-Macualay
siano sempre connessi [P], [HS], [Sa]. La conoscenza delle curve
negli spazi proiettivi di dimensione superiore è molto più
scarsa. Tuttavia, per curve in P^4, il punto di vista di [K..P] e
[Mi] suggerisce che in codimensione 3 la liaison di Gorenstein
possa funzionare similmente alla liaison classica in codimensione
2.
V) Mukai ha dimostrato che lo spazio di moduli dei fasci su una
superficie abeliana o K3 possiede una struttura simplettica
naturale. Questo risultato è stato esteso a diversi spazi di
moduli di fasci con una struttura aggiuntiva e al caso delle
strutture di Poisson [B1]-[B4]. Ciò ha anche permesso di
costruire una vasta classe di sistemi hamiltoniani integrabili e
di fornire applicazioni a vari spazi di moduli di certi fibrati
vettoriali "framed" o parabolici, su superfici.
VI) Note proprietà e teoremi di classificazione sulle varietà con
difetto duale elevato sono stati estesi al luogo discriminante di
un fibrato lineare ampio e globalmente generato [LPS1], [LPS2].
Lo studio delle varietà duali di ordine superiore delle superfici
proiettive (genericamente) k-jet spanned, ha prodotto risultati
generali [LM1], [LM2], descrizioni esplicite delle componenti
aggiuntive dei luoghi discriminanti per alcune superfici speciali
[LM3], e risultati sugli spazi osculatori degli scroll [L]. E`
stata dimostrata la congettura di Castelnuovo-Mumford sulla
k-regolarità per varietà proiettive con delta-genere < 6 [AB1],
si è stabilita la proiettiva normalità delle varietà di grado 9 e
dimensione > 2 [AB3], e sono stati ottenuti criteri di proiettiva
normalità e k-regolarità per scroll su curve, fibrazioni in
quadriche e altre varietà speciali [AB2], come pure per varietà
non linearmente normali [AR1]. Sulle varietà di piccola
codimensione, si è esteso a varietà singolari un teorema tipo
Mather sulle proiezioni generiche [ABO] e si sono ottenuti vari
risultati di classificazione [ABB]. Si è conseguita la
classificazione delle varietà proiettive n-dimensionali con un
punto doppio apparente, aventi grado < 2n+5 [AR2]. Nella
geometria delle sottovarietà delle Grassmanniane di rette di P^n
l'applicazione di tecniche di geometria differenziale sviluppate
da McCrory, Shifrin e Varley ha portato alla descrizione, come
schema, delle superfici focali delle congruenze di rette di P^3 e
alla formulazione di alcune congetture sulle congruenze la cui
superficie focale non è irriducibile e ridotta [ABT]. E` stata
studiata la proiettabilità delle sottovarietà della G(1,n) nella
direzione suggerita da Arrondo [A], ottenendo la
caratterizzazione delle varietà n-dimensionali di G(1,N) (N >
n+2) proiettabili isomorficamente sino alla G(1,n+1) [U1], nonché
la classificazione delle 4-fold proiettabili isomorficamente
dalla G(1,5) alla G(1,4) [U2].
VII) Lo studio del rango di famiglie di curve ellittiche su Q ha
interessato numerosi ricercatori in ambito internazionale [Hal],
[Ro], [Si]. Recentemente [R1], [R2] sono state migliorate le
tabelle di Halberstadt per il calcolo dei numeri di radice locali
sui primi 2 e 3, ed è stata ottenuta una serie di esempi che
illustrano dei comportamenti inattesi della distribuzione della
parità del rango, contraddicendo una congettura di Silverman.

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and genus $\binom{d-3}{2}-1$. Preprint, 2001.
[S] E.Schlesinger, A new proof of a theorem of Beorchia on the
genus of space curves, Math. Nachr. 194 (1998), 197-203.
[Si] J. H. Silverman, The average rank of an algebraic family of
elliptic curves, J. reine angew. Math. 504(1998), 227-236.
[T] A.L. Tironi, High dimensional reducible hyperplane sections
with multigenera <2. Preprint. 2002.
[U1] L. Ugaglia, Subvarieties of the Grassmannian G(1,N) with
small secant variety, Comm. Algebra, in stampa.
[U2] L. Ugaglia, Projecting 4-folds from G(1,5) to G(1,4).
Preprint, 2001.
[vGP] B. van Geemen, E. Previato, Prym varieties and the Verlinde
formula., Math. Ann. 294 (1992), 741-754.
[vGV] B. van Geemen, A. Verra, Quaternionic Pryms and Hodge
classes. math.AG/0103111, Topology, in stampa.
 
 

Il nucleo locale dell'unità di ricerca ha operato fin dall'inizio
nell'ambito del progetto di ricerca di interesse nazionale MURST
ex 40% "Geometria Algebrica" (coordinato prima da A. Conte e poi
da C. Pedrini), e successivamente ha partecipato al progetto
"Geometria algebrica, Algebra Commutativa e Aspetti Computazionali" (MURST cofin 1997, coordinato da C. Pedrini).
In ambito europeo ha operato come nodo di EuroProj e con azioni integrate Italia-Spagna (Progetti 100B e HI1997-0123).

Al nucleo si sono aggiunti ricercatori da altre sedi universitarie,
tutti con esperienze ed interessi scientifici coerenti con il
programma indicato, e numerosi giovani in formazione.
Nell'ultimo decennio diversi membri dell'unità di ricerca hanno accresciuto la loro attività sviluppando varie collaborazioni internazionali e contribuendo alla formazione di giovani
ricercatori, alcuni dei quali ora ricoprono posizioni stabili
in Italia o all'estero.

Le tematiche studiate recentemente dai membri dell'unità di
ricerca riguardano vari aspetti della geometria delle varietà
algebriche complesse sia dal punto di vista estrinseco
(varietà immerse in uno spazio proiettivo) che da quello
intrinseco (cicli, fibrati vettoriali). Più specificatamente
i temi trattati (che si prevede di sviluppare e approfondire ulteriormente nell'ambito del progetto) possono essere
raggruppati come segue.

i) Sistemi lineari e teoria della aggiunzione (Beltrametti,
Bertolini, Laface, Lanteri, Palleschi, Ronconi, Stagnaro,
Turrini).

ii) Geometria proiettiva e classificazione (Alzati,
Beltrametti, Bertolini).

iii) Sottovarietà delle grassmanniane con particolare riferimento
alle congruenze di rette (Bertolini, Turrini).

iv) Classificazione delle curve nello spazio proiettivo (Bolondi,
Schlesinger).

v) Cicli algebrici, spazi di moduli, geometria simplettica
(Bottacin, Colombo, Tortora).

Su tutti questi temi i membri dell'unità di ricerca hanno già
conseguito diversi risultati pubblicati (o in corso di
pubblicazione) su riviste internazionali.