Le ricerche che i membri dell'unità di ricerca stanno sviluppando nell'ambito del progetto si articolano nei seguenti punti (per i riferimenti bibliografici si veda l'elenco in calce al punto
2) Basi Scientifiche).
 

I) Cicli algebrici e strutture di Hodge.
A) Studio di famiglie di varietà abeliane 8-dimensionali di tipo Spin(7),
con particolare riguardo alle famiglie di dimensione massima. Si spera di
caratterizzare tali famiglie geometricamente, usando varietà di Prym o
varietà di Kuga-Satake di certe superfici K3.
B) Mukai ha studiato la congettura di Hodge per un ciclo di Hodge su un
prodotto di due superfici K3 che induce una isometria di Hodge. Si intende
studiare la congettura di Hodge nel caso in cui il ciclo di Hodge non dia
una isometria, generalizzando [GLo]. In certi casi si spera di poter
utilizzare la varietà di Kuga-Satake per verificare la congettura di Hodge.
C) Studio dei gruppi di Chow e Higher-Chow di Bloch per la jacobiana di una
curva utilizzando la teoria di Hodge del gruppo fondamentale [Co].
D) Studio del gruppo di Brauer, in particolare la due torsione, per
fibrazioni ellittiche e superficie K3. Studio di nuovi legami tra superficie
K3 e cubic fourfolds tramite il gruppo di Brauer.
Ricercatori interessati: B. van Geemen, E. Colombo, G. Bini, P. Stellari, A.
Verra*, E. Izadi*.

II) Spazi di moduli.
A) Studio delle strutture simplettiche e di Poisson su vari tipi di spazi di
moduli di fasci sulle varietà algebriche ed esame delle loro possibili
applicazioni allo studio dei sistemi dinamici completamente integrabili.
B) Generalizzazione al caso delle strutture pre-simplettiche di risultati
già ottenuti per le strutture simplettiche e per quelle di Poisson.
C) Si intende continuare lo studio delle proprietà geometriche dello spazio
dei moduli delle mappe stabili; in particolare di divisori, singolarità,
gruppo fondamentale, legami tra l'anello di Chow e la coomologia razionale
nel caso di spazi proiettivi e Grassmanniane, generalizzando le tecniche
esposte in [HRS],[K],[St].
D) Kondo ha mostrato che lo spazio dei moduli delle curve di genere piccolo,
di vari tipi di superfici K3 e di superficie di Enriques sono quozienti
della palla. Si intende studiare lo spazio di moduli di curve di genere tre
e quattro usando questi risultati, in particolare per lo studio di modelli
birazionali e per lo studio di sottovarietà di questi spazi. Usando la
teoria di Borcherds delle forme modulari Kondo ha anche descritto certe
sezioni di fibrati ampi su questi spazi di moduli. Si vorrebbe correlare
queste forme alle forme modulari di Siegel. Si intende studiare legami tra
le forme modulari e la teoria degli invarianti classica. Si spera di
stabilire una relazione tra lo spazio dei moduli delle superfici di Enriques
e quello delle varietà abeliane principalmente polarizzate di dimensione 5.
Ricercatori interessati: B. van Geemen, E. Colombo, G. Bini, F. Bottacin, M.
Artebani*, I. Dolgachev*, G. Heckman*, S. Kondo*.

III) Serie L e curve ellittiche.
A) Si intende studiare la costruzione di punti razionali su curve ellittiche
modulari, per mezzo di derivate di funzioni L p-adiche associate a famiglie
di Hida di forme modulari.
B) Si vuole dimostrare in alcuni casi una congettura di Darmon sulla
razionalita' dei punti di Stark-Heegner. I punti di Stark-Heegner sono punti
p-adici su curve elllittiche, costruiti per mezzo di integrali dei periodi
associati a forme modulari definite sul prodotto di un semipiano archimedeo
con un semipiano p-adico.
C) Si vuole determinare condizioni che spieghino la parità del rango di
famiglie di curve ellittiche; rendere pratico il metodo per calcolare il
rango su threefold; usare questi risultati per costruire sottofamiglie di
rango alto, in modo da determinare curve ellittiche razionali di rango alto.
Ricercatori interessati: Massimo Bertolini, O. Rizzo, H. Darmon*, R. Wazir*.

IV) Fibrati vettoriali, classificazione, varietà speciali.
A) Classificazione di fibrati vettoriali ampi con una sezione il cui luogo
di zeri è una varietà proiettiva della dimensione attesa di tipo speciale,
in particolare: i) una curva di genere piccolo o iperellittica, ii) una
superficie con un sistema lineare molto ampio contenente o una curva
biellittica di grado piccolo o una curva trigonale.
B) Studio delle varietà proiettive contenenti una varietà speciale per
l'aggiunzione (ad es. scroll o fibrazione in quadriche su una curva liscia)
come sottovarietà con fibrato normale ampio, e soddisfacente condizioni
aggiuntive di tipo Lefschetz. Ci si attende di ottenere alcuni risultati di
struttura considerando opportune famiglie di curve razionali non spezzabili.
Ricercatori interessati: A. Lanteri, T. de Fernex, H. Maeda*, M.
Beltrametti*.

V) Classificazione, sistemi lineari e mappe aggiunte.
A) Classificazione di varietà proiettive tridimensionali una cui sezione
iperpiana è una superficie liscia con mappa bicanonica non birazionale. Per
ora, risultati della teoria dell'aggiunzione consentono di limitare
l'analisi ad un numero molto limitato di superficie la cui mappa bicanonica
è due a uno (studiate da Ciliberto-Francia- Mendes Lopes) e di eliminare il
cosiddetto caso standard (superfici con un fascio di curve di genere 2),
sotto moderate ipotesi.
B) Classificazione di varietà proiettive tridimensionali una cui sezione
iperpiana è un divisore a incroci normali le cui componenti sono superfici
liscie con genere sezionale (o con delta-genere) piccolo.
C) Studio delle varietà proiettive polarizzate da un fibrato lineare ampio e
globalmente generato il cui luogo discriminante ha dimensione piccola.
Risultati recenti sul caso in cui la componente principale ha difetto
elevato dovrebbero portare a risultati di classificazione in dimensione 3,
consentendo anche di provare una congettura di Lanteri, Palleschi e Sommese.
D) Studio dei "luoghi cattivi" di un sistema lineare senza punti base, i.e.
insiemi di punti che implicano la riducibilità di tutti gli elementi del
sistema lineare che li contengono. Ci si concentrerà sul caso dei luoghi
costituiti da schemi zero dimensionali di lunghezza 2 o maggiore, che
richiede di essere ancora studiato.
Ricercatori interessati: A. Lanteri, A.L. Tironi, M. Beltrametti*, C.
Ciliberto*, A.J. Sommese*, R. Munoz*, G.M. Besana*, S. Di Rocco*.

VI) Varietà speciali
A) Studio del comportamento osculatorio degli scroll n-dimensionali su una
curva liscia, immersi in opportuni spazi proiettivi. Ci si attende di
ottenere delle formule simili a quelle di Shifrin riguardanti le superficie
in P^5, che consentano almeno di caratterizzare gli scroll tridimensionali
di P^8 che sono perfettamente ipo-osculanti.
B) La dualità per gli scroll razionali normali è un fenomeno ben compreso
(Piene-Sacchiero). Lasciando cadere l'ipotesi di lineare normalità, appaiono
dei luoghi di flessi e la descrizione completa dei fenomeni osculatori
richiede di considerare luoghi discriminanti di ordine superiore. Si intende
studiare il luogo discriminante di ordine due per una famiglia di scroll
bidimensionali, detti "sghembi", la cui generazione proiettiva estende
quella classica degli scroll linearmente normali associati ad un fibrato
vettoriale decomponibile.
Ricercatori interessati: A. Lanteri, R. Mallavibarrena*, R. Piene*.

VII) Sottovarietà delle Grassmaniane di rette e delle varietà Pfaffiane.
A) I luoghi focali di una sottovarietà della grassmanniana sono strettamente
legati alla geometria del fibrato normale della sottovarietà in questione.
In quest'ottica si intende utilizzare lo studio dei luoghi focali per
affrontare il problema dell'ampiezza del fibrato normale delle sottovarietà
di rette di G(1,n), problema che si colloca all'interno di un progetto più
ampio ([A1]) di studio sistematico del fibrato normale di sottovarietà delle
grassmanniane e di altre varietà ai fini di determinare le condizioni sotto
le quali tale fibrato è ampio oppure, ad esempio, sotto le quali si spezza.
B) L'aver fornito in precedenza una descrizione schematica del luogo focale
ha portato in modo naturale ad un altro punto di vista per quanto riguarda i
lavori di classificazione di sottovarietà in Grassmanniane. In quest'ottica
si intende effettuare lo studio e la classificazione delle congruenze di
rette di G(1,3) con grado della superficie focale piccolo.
C) Generalizzando alcuni esempi determinati nel lavoro [BF], si intende
studiare la struttura di varietà legate dentro varietà pfaffiane [A2],
cercando (come primo passo) di descrivere come si trasformano le varietà
pfaffiane in seguito a scoppiamenti dello spazio ambiente lungo una delle
due sottovarietà legate.
Ricercatori interessati: Marina Bertolini, C. Turrini, E. Arrondo*,
L.Fania*.

VIII) Varietà proiettive.
A) Si intende proseguire lo studio della funzione di Hilbert delle superfici
di P^4 di cui si cercherà di costruire nuovi esempi.
B) Si intende proseguire lo studio dei sistemi lineari sottomaloidici, in
particolare di iperquadriche.
C) Si intende proseguire la ricerca di criteri numerici di molta ampiezza
nonche' lo studio delle sottovarietà di piccola codimensione.
D) Lo studio dei fibrati lineari ampi su superficie lisce in relazione al
grado m della seconda classe di Chern del primo jet bundle generalizza
risultati classici. Si intende studiare la differenza m-L^2, generalizzando
risultati di Marchionna, Gallarati e Lanteri, con particolare riguardo alle
superfici di tipo generale.
Ricercatori interessati: M. Palleschi, A. Alzati, A. Tortora, M. Antei, F.
Tonoli*, F. Russo*, G.M. Besana*.

IX) Curve nello spazio proiettivo.
Come è noto, le curve estremali hanno la funzione di Rao più grande
possibile. Curve non estremali hanno funzione di Rao che soddisfa
un'ulteriore limitazione e quelle curve che soddisfano tale limitazione sono
dette sottoestremali, si veda [N]. Nell'articolo [CGN] vengono introdotte le
curve cosiddette di tipo sottoestremale: tra queste curve ci sono le
sottoestremali e altri tipi di curve, che risultano interessanti in quanto
hanno modulo non monogeno. Ci proponiamo lo studio di queste famiglie di
curve.
Per quanto riguarda lo studio dei sottoschemi aritmeticamente Cohen Macaulay
di codimensione 3 nello spazio proiettivo n-dimensionale, ci proponiamo di
cominciare dai sottoschemi 0-dimensionali nello spazio proiettivo per
cercare di descrivere le componenti dello schema di Hilbert, almeno per
valori piccoli del grado.
In seguito, ci proponiamo di studiare invarianti di curve nello spazio
4-dimensionale: l'idea è quella di cercare una stratificazione degli schemi
di Hilbert mediante sottoschemi irriducibili, almeno nel caso
aritmeticamente Cohen Macaulay. A questo scopo sarà necessario capire quali
sono gli invarianti di una curva che consentono di individuare componenti
irriducibili.
Ricercatori interessati: I. Sabadini, E. Schlesinger*, M.L. Spreafico*, R.
Notari*.

IX) Applicazioni: Codici, computer vision e algoritmi.
A) Studio di codici correttori di errori a partire da varietà algebriche su
campi finiti, in particolare superfici K3 [DK] e varietà toriche.
B) Studiare la complessità di algoritmi per l'esponenziazione veloce e
trovarne delle varianti migliori. Applicare questi algoritmi a varietà su
campi finiti.
C) L'ulteriore sviluppo della collaborazione con alcuni studiosi di Computer
Vision, anche tramite seminari.
Ricercatori interessati: G. Bini, C. Bocci, A. Alzati, A. Tortora, O. Rizzo,
R. M. Avanzi*.