Le ricerche che i membri dell'unità di ricerca stanno sviluppando nell'ambito del progetto si articolano nei seguenti punti
(per i riferimenti bibliografici si veda l'elenco in calce al punto 2) Basi Scientifiche).
 I ricercatori indicati con un asterisco sono esterni all'unità di ricerca.

GEOMETRIA:
 I) Fibrati vettoriali, classificazione, aggiunzione, varietà speciali.
 A) Classificazione di fibrati vettoriali ampi con una sezione il cui luogo di zeri è una varietà proiettiva della dimensione attesa di tipo speciale, in particolare: i) una curva di genere piccolo o iperellittica, ii) una superficie con un sistema lineare molto ampio contenente o una curva biellittica di grado piccolo o una curva trigonale, iii) una varietà di delta genere piccolo.
 B) Studio delle varietà proiettive contenenti una varietà speciale per l'aggiunzione (ad es. scroll o fibrazione in quadriche su una curva liscia) come sottovarietà con fibrato normale ampio, e soddisfacente condizioni aggiuntive di tipo Lefschetz. Ci si attende di ottenere alcuni risultati di struttura considerando opportune famiglie di curve razionali non spezzabili.
 Ricercatori interessati: A. Lanteri, T. de Fernex, H. Maeda*, M. Beltrametti*, A.J. Sommese*.
 
 II) Sistemi lineari, varietà duali, classificazione.
 A) Studio delle varietà proiettive polarizzate da un fibrato lineare ampio e globalmente generato il cui luogo discriminante ha dimensione piccola o grado piccolo. Risultati recenti sul caso in cui la componente principale ha difetto elevato dovrebbero portare a risultati di classificazione in dimensione 3, consentendo anche di provare una congettura di Lanteri, Palleschi e Sommese.
 B) Studio dei "luoghi cattivi" di un sistema lineare senza punti base, i.e. insiemi di punti che implicano la riducibilità di tutti gli elementi del sistema lineare che li contengono. Ci si concentrerà sul caso dei luoghi costituiti da schemi zero dimensionali di lunghezza 2 o maggiore, che richiede di essere ancora studiato.
 C) Studio del comportamento osculatorio degli scroll n-dimensionali su una curva liscia, immersi in opportuni spazi proiettivi. Ci si attende di ottenere delle formule simili a quelle di Shifrin riguardanti le superficie in P^5, che consentano almeno di caratterizzare gli scroll tridimensionali di P^8 che sono perfettamente ipo-osculanti.
 D) La dualità per gli scroll razionali normali è un fenomeno ben compreso (Piene-Sacchiero). Lasciando cadere l'ipotesi di lineare normalità, appaiono dei luoghi di flessi e la descrizione completa dei fenomeni osculatori richiede di considerare luoghi discriminanti di ordine superiore. Si intende studiare il luogo discriminante di ordine due per una famiglia di scroll bidimensionali, detti "sghembi", la cui generazione proiettiva estende quella classica degli scroll linearmente normali associati ad un fibrato vettoriale decomponibile.
 E) Si intende estendendere le tecniche introdotte in [dF] per generalizzare il risultato al caso di ipersuperfici singolari.
 Ricercatori interessati: A. Lanteri, T. de Fernex, R. Munoz*, G.M. Besana*, D. Di Rocco*, R. Mallavibarrena*, R. Piene*.
 
 III) Sottovarietà delle Grassmaniane di rette e delle varietà Pfaffiane.
 A) I luoghi focali di una sottovarietà della grassmanniana sono strettamente legati alla geometria del fibrato normale della sottovarietà in questione. In quest'ottica si intende utilizzare lo studio dei luoghi focali per affrontare il problema dell'ampiezza del fibrato normale delle sottovarietà di rette di G(1,n), problema che si colloca all'interno di un progetto più ampio ([A1]) di studio sistematico del fibrato normale di sottovarietà delle grassmanniane e di altre varietà ai fini di determinare le condizioni sotto le quali tale fibrato è ampio oppure, ad esempio, sotto le quali si spezza.
 B) L'avere ottenuto una descrizione schematica del luogo focale ha portato in modo naturale ad un altro punto di vista per quanto riguarda i lavori di classificazione di sottovarietà in Grassmanniane. In quest'ottica si intende effettuare lo studio e la classificazione delle congruenze di rette di G(1,3) con grado della superficie focale piccolo.
 C) Generalizzando alcuni esempi determinati nel lavoro [BF], si intende studiare la struttura di varietà legate dentro varietà pfaffiane [A2], cercando (come primo passo) di descrivere come si trasformano le varietà pfaffiane in seguito a scoppiamenti dello spazio ambiente lungo una delle due sottovarietà legate.
 Ricercatori interessati: Marina Bertolini, C. Turrini, E. Arrondo*, L.Fania*.
 
 IV) Varietà proiettive.
 A) Si intende costruire altri esempi espliciti di varietà mediante metodi di computer algebra, ad es. di superfici di P^4.
 B) Si intende proseguire lo studio dei sistemi lineari sottomaloidici, in particolare di iperquadriche.
 C) Si intende proseguire la ricerca di criteri numerici di molta ampiezza.
 D) Si intende proseguire la classificazione delle varietà di codimensione piccola, in particolare superfici in P^4.
 E) Lo studio dei fibrati lineari ampi su superficie lisce in relazione al grado m della seconda classe di Chern del primo jet bundle generalizza risultati classici. Si intende studiare la differenza m-L^2, generalizzando risultati di Marchionna, Gallarati e Lanteri, con particolare riguardo alle superfici di tipo generale.
 F) Si intende proseguire lo studio di ideali Gorenstein [BDNS].
 G) Si intende proseguire la ricerca di divisori nef usando la costruzione di Biran [BH].
 Ricercatori interessati: M. Palleschi, A. Alzati, A. Tortora, C. Bocci, M. Antei, F. Tonoli*, F. Russo*, G.M. Besana*.
 
 E` in fase di organizzazione una Scuola di Dottorato sulla Geometria delle Varietà Proiettive, di una settimana, presso Palazzo Feltrinelli di Gargnano (Bs) nella primavera del 2007, con corsi di Ionescu, Mella e Ottaviani.
 
 
 ARITMETICA:
 Massimo Bertolini, in collaborazione con Henri Darmon, si propone di investigare la possibilità di ampliare i metodi noti per la costruzione di punti razionali su curve ellittiche (o piu' generalmente, su varietà abeliane modulari) basati sulla teoria della moltiplicazione complessa. Come è noto, la possibilità di una tale costruzione rappresenta una base di partenza per lo studio della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer per la funzione L complessa L(E,s) di E. Una teoria congetturale, contenuta nell'articolo di Darmon [D], fornisce una costruzione p-adica di punti su E, detti di Stark-Heegner, definiti sulle estensioni anticiclotomiche di un campo quadratico reale F, nel caso in cui E abbia riduzione moltiplicativa in p e p sia inerte in F. L'articolo [BD3] dimostra la razionalità dei punti di Stark-Heegner definiti sul campo quadratico reale F, sotto le ipotesi aggiuntive seguenti: E ammette almeno due primi di riduzione moltiplicativa; l'elemento non banale del gruppo di Galois locale in p di F/Q agisce su P_F come moltiplicazione per +1, risp. -1 se E ha riduzione moltiplicativa spezzata, risp. non spezzata, in p. Questo risultato di razionalità è basato in modo essenziale sui risultati contenuti in [BD4], in cui si ottiene una formula per la derivata seconda della funzione L p-adica ciclotomica di E, nel caso in cui p sia un primo di riduzione moltiplicativa spezzata per E e L(E,s) si annulli in s=1. L'eliminazione delle ipotesi aggiuntive descritte sopra appare come un primo, significativo passo, in direzione dell'estensione dei metodi presenti per la costruzione di punti razionali. L'uso di opportuni cambiamenti di base da Q ad un campo totalmente reale, ed il conseguente passaggio alle forme modulari di Hilbert associate ad E, sembra essere una strada promettente.
 
 Ottavio Rizzo intende determinare condizioni che spieghino la parità del rango di famiglie di curve ellittiche ([R]); rendere pratico il metodo per calcolare il rango su threefold; usare questi risultati per costruire sottofamiglie di rango alto, in modo da determinare curve ellittiche razionali di rango alto.
 
 Matteo Longo, prossimo ricercatore a Milano, si è occupato negli anni scorsi dello studio aritmetico delle curve ellittiche definite su campi totalmente reali e associate a forme modulari di Hilbert. I risultati ottenuti, citati nella sezione "Base di partenza scientifica", sono basati sulla teoria delle congruenze tra forme modulari di Hilbert e sulla teoria dell'uniformizzazione non-archimedea delle curve di Shimura associate ad algebre di quaternioni su campi totalmente reali. Longo intende applicare sistematicamente la teoria delle famiglie analitiche di forme modulari di Hilbert allo studio dell'aritmetica - in particolare, alla costruzione di punti razionali - delle curve ellittiche su campi totalmente reali.
 
 Stefano Vigni (assegnista) intende approfondire lo studio delle formule degli zeri eccezionali per curve ellittiche ottenute nella sua tesi di dottorato, anche in connessione con la teoria di Hida delle famiglie di forme modulari.
 
 Infine, segnaliamo la linea di ricerca di Ignazio Longhi (assegnista) e Nicola Marigonda (dottorando), relativa allo studio delle proprietà delle curve ellittiche sui campi di funzioni. Longhi sta lavorando sulla teoria di Iwasawa per questa classe di curve ellittiche, ed in particolare sulla costruzione di funzioni L p-adiche associate a tali curve, anche in vista della dimostrazione di una "Main Conjecture" in quest'ambito. Si sta inoltre occupando dell'estensione del concetto di punto di Stark-Heegner e dei suoi collegamenti con la teoria delle funzioni L. Marigonda sta studiando la teoria degli zeri eccezionali per le funzioni L p-adiche associate a curve ellittiche su campi di funzioni, in vista di un'estensione dei risultati di Greenberg-Stevens [GrSt] a quest'ambito.
 
 
 STRUTTURE DI HODGE:
 B. van Geemen intende studiare le famiglie di varietà abeliane di tipo Spin(7), con particolare riguardo alle famiglie di dimensione massima. Si spera di trovare un legame con varietà di Kuga-Satake di certe superfici K3. Intende inoltre fare uno studio sistematico delle varietà di Kuga-Satake di dimensione bassa, delle 'moltipliazione reale' su superfici K3 e dei cicli di Hodge in questo contesto.
 
 In colloborazione con E. Looijenga*, E. Colombo e B. van Geemen intendono studiare gli spazi dei moduli di superfici del Pezzo. In particolare, si intende dare un approccio intrinseco alle immersioni proiettive di tali spazi dei moduli e studiare il legame con vari sistemi di radici [CvG2].
 
 P. Stellari (dottorando) intende continuare i suoi studi delle categorie derivate (twistate) [HS], parzialmente in collaborazione con D. Huybrechts* e A. Canonaco*.
 
 A. Garbagnati (dottoranda) intende continuare lo studio degli automorfismi simplettici di ordine finito di superfici K3 in collaborazione con A. Sarti*, e studiare applicazioni alla congettura di Hodge, generalizzando [GLo].
 
 In [BvdG] viene studiata la caratteristica di Eulero di sistemi locali sullo spazio dei moduli delle curve iperellitiche di genere tre. Inoltre, viene data una formula congetturale per la caratteristica di Eulero motivica. G. Bini propone di utilizzare tecniche analoghe per studiare proprietà topologiche e motiviche (caratteristica di Eulero, coomologia) dello spazio dei moduli delle curve spin con puntature, in particolare di genere basso. Intende inoltre di continuare le sue ricerche su spazi dei moduli e stacks [B] e, in collaborazione con C. Fontanari, su proprietà geometriche dello spazio dei moduli delle mappe stabili [BF1], [BF2].
 
 T. de Fernex propone di estendere i risultati di [dFLNU] a stacks (di Deligne-Mumford), e inoltre di investigare la possibilit*Ý di dare una costruzione via l'integrale motivico del genere ellittico.
 
 E' ben noto che le proprietà geometriche degli spazi di moduli dei fasci su una varietà X sono in gran parte determinate dalle proprietà della varietà di base X. Uno degli esempi più importanti è il fatto che, se X è una superficie, l'esistenza di una struttura simplettica su X determina l'esistenza di una struttura simplettica sugli spazi di moduli dei fasci stabili su X [M]. Tuttavia, nel caso di varietà X di dimensione maggiore di 2 e di forme differenziali di grado r qualsiasi, non c'è attualmente nessun risultato analogo a quello dimostrato da Mukai. F. Bottacin propone di studiare il problema dell'esistenza di forme differenziali chiuse definite in modo naturale sugli spazi di moduli dei fasci stabili su una varietà algebrica di dimensione qualunque, basato su [B1], [B2]. L'esistenza di tali forme differenziali e la loro eventuale estensione a una compattificazione di tali spazi di moduli avrebbe conseguenze importanti nello studio della struttura geometrica degli stessi spazi di moduli.
 
 
 APPLICAZIONI:
 Si intende studiare configurazioni critiche nel caso di una vista o piu' viste per scene statiche e dinamiche e di continuare le ricerche iniziate in [ABC] e [BT2].
 Ricercatori interessati: A. Alzati, Marina Bertolini, A. Tortora, C. Turrini.