Considerazioni generali:

Il gruppo di di ricerca di Milano ha recentemente acquisito F. Andreatta e L. Barbieri Viale da Padova. Quindi la collaborazione con il gruppo di Padova è intensa. Inoltre Lanteri collabora con Badescu, Beltrametti e Novelli (univ. di genova) Genova su vari progetti. I membri del gruppo collaborano anche con ricercatori che lavorano all'estero, per esempio M.Darmon (Canada), G. van der Geer (Olanda), J. L. Harer (USA), D. Huybrecht (Germania), B. Kahn (Francia), A. Sarti (Francia), M. Schuett (Danimarca) e A.J. Sommese (USA). L'anno scorso il gruppo ha organizzato una scuola sulle varietà simplettiche irriducibili e le categorie derivate a cui hanno partecipato circa trenta dottorandi e giovani ricercatori, la maggior parte provenienti dall'estero. Oltre al Seminario di Geometria Algebrica e al Seminario di Teoria dei Numeri, si è organizzata una conferenza "di Natale" con giovani ricercatori italiani (vedi http://www.mat.unimi.it/users/semga/seminari2001.html, http://www.mat.unimi.it/users/andreat/Seminario.html).

Le ricerche che i membri dell'unità di ricerca stanno sviluppando nell'ambito del progetto si articolano nei seguenti punti:

GEOMETRIA:
La teoria di Hodge è uno strumento estremamente utile per lo studio delle varietà abeliane e delle superfici K3. Ha anche importanti applicazioni alle varietà di Calabi-Yau di dimensione tre, ma sfortunatamente è molto difficile caratterizzare le strutture di Hodge sui gruppi di coomologia intermedia di queste ultime. Nonostante ciò Bini, Colombo, Garbagnati e van Geemen nel nostro gruppo intendono fare ricerca su tali varietà e sulle loro strutture di Hodge. Una ricca raccolta di esempi provenienti dalla fisica teorica ha già portato a interessanti risultati. Inoltre ci si aspetta che la geometria algebrica classica (anche con l'aiuto del computer) sarà molto utile per scoprire nuovi esempi e fenomeni. Si intende usare il calcolo dei punti su campi finiti, e quindi le serie L, per le varietà di Calabi-Yau per determinare i motivi di alcuni esempi chiave. Si useranno sicuramente le competenze di altri membri del gruppo sulle serie L e l'aritmetica. Il nostro gruppo continuerà anche la sua ricerca sugli spazi dei moduli delle curve, delle superfici K3 e delle varietà abeliane come pure sugli automofismi delle superfici K3.
Le categorie derivate di fasci coerenti sono all'avanguardia nella ricerca in geometria algebrica degli anni recenti. Sono anche di grande importanza nella teoria delle stringhe (e dei branes) in fisica teorica. Stellari ha già dato importanti contributi e intende continuare la sua ricerca, in particolare sugli spazi dei moduli degli oggetti stabili in una categoria derivata e sulle condizioni di stabilità per le ipersuperfici cubiche.
In geometria algebrica classica la ricerca di Lanteri, in collaborazione con Beltrametti e Sommese, per trovare nuovi invarianti delle varietà polarizzate usando una curva algebrica definita da un polinomio di Hilbert sembra particolarmente interessante. Il nostro gruppo sta anche lavorando su applicazioni della geometria algebrica alla Computer Vision.

Risultati ottenuti recentemente:

a) Teoria di Hodge
La struttura di Hodge sul secondo gruppo di coomologia singolare di una superfice K3 determina tale superfice (Teorema di Torelli) ed è facile caratterizzare tutte le strutture di Hodge che si ottengono in tale modo (suriettività della mappa dei periodi). Si usano questi risultati fondamentali per studiare gli automorfismi di una superficie K3 in [GS1] e [GS2], gli endomorfismi di strutture di Hodge in [vG2], il gruppo di Brauer in [vG1] e lo spazio dei moduli delle superfici K3 in [S]. Lo spazio dei moduli delle curve iperellittiche puntate è studiato in [B] e proprietà di curvatura dello spazio dei moduli delle curve in [CF1] e [CF2].
G. Faltings [Fa] ha dimostrato l'analogo p-adico del teorema di confronto fra la coomologia di sistemi locali su una varietà complessa liscia e la coomologia di de Rham del fibrato a connessione integrabile associato al sistema locale. Nel caso p-adico si considera una varietà X su di un dvr completo, di caratteristica mista p-0. I sistemi locali sono (limiti) di fasci localmente costanti di p-torsione sulla fibra generica di X e i fibrati a connessione integrabile associati sono isocristalli sulla fibra speciale di X. In [An], [AB] e [AI] si è ottenuto una generalizzazione della classica corrispondenza di Riemann-Hilbert.

b) Categorie derivate
Le condizioni di stabilità su superfici K3 sono state studiate in [HMS1], [HMS2], in particolare una congettura di Szendroi, generalizzata da Bridgeland, sul gruppo delle autoequivalenze è stata dimostrata. Categorie derivate twistate sono state studiate in [HS1], [HS2],[CS]. In [MNS] problemi legati alle deformazioni di oggetti in una categoria derivata sono stati studiati.

c) Geometria algebrica classica
In [BdFL] si studiano problemi di estensione per fibrazioni in varietà razionalmente connesse da una sottovarietà alla varietà ambiente. Applicazioni riguardano estensioni di contrazioni di Mori e risultati di classificazione quando la sottovarietà è uno scroll o una fibrazione in quadriche.
Si sono ottenuti risultati di classificazione per fibrati vettoriali ampi in [LM1]. Ciò ha consentito di rivisitare vari problemi di classificazione per varietà proiettive [LM2],[LN].
Le relazioni tra le nozioni di scroll in senso classico e nel senso della teoria dell'aggiunzione sono state chiarite in [T].
I luoghi discriminanti di sistemi lineari sono stati studiati in [LMu1], [LMu2] e cio' ha permesso di estendere risultati classici sulle varietà duali di Ein e Zak.
I `bad point' di un sistema lineare sono stati studiati in [dFL] e [BDLR].
Sezioni iperpiane sono state studiate in [LMaP], [BCLS] e, nella linea suggerita da Chandler, Howard e Sommese, in [ST].
In [ABT] sono state studiate sottovarietà delle Grassmanniane.

d) Applicazioni
La teoria delle Stringhe ha stimolato molta ricerca recente in geometria algebrica. Una soluzione geometrica a un problema di variazioni di strutture di Hodge su certe famiglie di Calabi-Yau è data in [BGK]. Si congettura che le funzioni di partizione delle superstringhe g-loops siano forme modulari di Siegel, alcuni progressi in genere tre sono stati fatti in [CDG1].
Questioni di computer vision is traducono in problemi di Geometria Algebrica Proiettiva e in [AT2], [BBT] e [BT] vengono studiati alcuni di essi.

ARITMETICA:
Una congettura centrale nell'aritmetica delle curve ellittiche è la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer che lega l'ordine di annullamento delle serie L nel punto critico al rango del gruppo dei punti razionali su una curva ellittica definita sui numeri razionali. Il nostro gruppo ha già dato importanti contributi allo studio delle versioni p-adiche di questa congettura. Intendiamo continuare questa ricerca, anche sui campi di funzioni su un campo finito e su estensioni quadratiche dei razionali. Una nuova direzione di ricerca, che è intimamente collegata alla teoria di Hodge e allo spazio dei moduli delle varietà abeliane, è lo studio dei cicli di Heegner generalizzati sulle varietà di Kuga-Sato. Queste varietà sono essenzialmente prodotti della varietà abeliana universale sopra lo spazio dei moduli con se' stessa, dove uno fissa un tipo PEL. Usando le Jacobiane intermedie di queste varietà, Bertolini e i suoi collaboratori sperano di ottenere una nuova costruzione dei punti razionali sulle curve ellittiche.

Risultati ottenuti recentemente:
Sia E una curva ellittica definita sui razionali, di conduttore N. Grazie ai lavori di Wiles e altri, E è modulare. Cio' significa che E è associata ad una forma modulare cuspidale per il gruppo Gamma_0(N) i cui coefficienti di Fourier a_p, per p un primo di buona riduzione per E, sono uguali a p+1-n_p, dove n_p è il numero dei punti di E (modulo p) sul campo finito con p elementi. La modularità di E implica che la funzione L complessa L(E,s) di E, a priori definita sul semipiano Re(s)>3/2, ammette un prolungamento analitico all'intero piano complesso; in particolare, L(E,s) puo' essere studiata in un intorno del punto critico s=1. La celebre congettura di Birch e Swinnerton-Dyer lega il comportamento di L(E,s) in s=1 alle proprietà aritmetiche di E, affermando tra l'altro che il rango del gruppo dei punti razionali di E è uguale all'ordine di annullamento di L(E,s) in s=1. Al momento, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è nota per le curve ellittiche E tali che L(E,s) si annulla in s=1 con ordine zero o uno, grazie ai risultati di Gross-Zagier e Kolyvagin. La dimostrazione di questi risultati è basata sulla teoria della moltiplicazione complessa, che permette la costruzione sistematica di una famiglia di punti di E definiti sulle estensioni anticiclotomiche di certi campi quadratici immaginari.

Con un lavoro di Mazur-Tate-Teitelbaum, si è iniziata nel 1986 la formulazione di varianti p-adiche della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, nelle quali la funzione L complessa L(E,s) è sostituita da una famiglia di funzioni L p-adiche L_p(E,s), al variare del primo razionale p. Lo studio di tali funzioni si inquadra nell'ambito della teoria di Iwasawa, legata allo studio delle curve ellittiche sulle estensioni del campo razionale, o di opportuni campi di numeri, aventi gruppo di Galois isomorfo al gruppo additivo Z_p degli interi p-adici. L'articolo [BD1] contiene la formulazione di congetture di Birch e Swinnerton-Dyer p-adiche per le funzioni L p-adiche associate alla Z_p-estensione anticiclotomica di un campo quadratico immaginario. Questo lavoro evidenzia l'esistenza di nuovi fenomeni rispetto agli studi precedenti, quali una connessione con la teoria dell'uniformizzazione p-adica di Cerednik e Drinfeld della curve di Shimura e la teoria dei gruppi delle componenti connesse dei modelli di Neron di jacobiane modulari. Questi fenomeni hanno ispirato molte ricerche di membri del gruppo.

Una teoria congetturale di Darmon [D] fornisce una costruzione p-adica di punti su E, detti di Stark-Heegner, definiti sulle estensioni anticiclotomiche di un campo quadratico reale F, nel caso in cui E abbia riduzione moltiplicativa in p e p sia inerte in F.

In [BD2] si dimostra una versione della "Main Conjecture" della teoria di Iwasawa per la funzione L p-adica anticiclotomica di una curva ellittica su Q. In [Lo1] si ottengono risultati sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer per curve ellittiche su campi totalmente reali. In [Lo2] si generalizza il lavoro [BD2] a certe estensioni anticiclotomiche di un campo totalmente reale.
L'articolo [BD4] dimostra la razionalità dei punti di Stark-Heegner per certe curve ellittiche. Questo risultato è basato su [BD4], in cui si ottiene una formula per la derivata seconda di una funzione L p-adica ciclotomica.
In [V] sono studiate le curve ellittiche con rango grande su campi di funzioni.
La congettura dello zero eccezionale lega la derivata prima della funzione L p-adica di certe curve ellittiche alla sua funzione L complessa. La congettura di Teitelbaum su questa relazione per campi di funzione e' dimostrata in [HL] (a meno di radici dell'unità).

MOTIVI:
I Motivi costituiscono il legame tra Geometria e Aritmetica e sono anche studiati da Pedrini a Genova. Nel nostro gruppo Barbieri Viale sta studiando gli 1-motivi e le loro varie realizzazioni. Nuovi sviluppi sono dati dalle strutture di Hodge (formali) e dalla congetturata struttura "sharp" sulla coomologia singolare delle varietà algebriche.

Risultati ottenuti recentemente:
In [BV] vengono introdotte le strutture di Hodge (miste) formali di livello almeno uno in modo che la realizzazione di Hodge degli 1-motivi di Deligne si estenda a una realizzazione dagli 1-motivi dei Laumon alle strutture di Hodge formali ottenendo un'equivalenza di categorie. In [BVK1], [BVK2] viene dato un embedding pienamente fedele di una categoria derivata di 1-motivi di Deligne su un campo perfetto k di caratteristica esponenziale p in una versione etale della categoria triangolata di Voevodsky di motivi geometrici. Questo embedding pieno si dimostra avere un "quasi" aggiunto sinistro. Applicandolo al motivo di una varietà si ottiene cosi' un complesso limitato di 1-motivi, che è calcolato completamente per le varietà lisce e parzialmente per le varietà singolari. Come applicazione vengono date delle dimostrazioni motiviche di teoremi tipo Roitman (in caratteristica 0).
In [ABV] questi funtori sono estesi e usati per definire gruppi di Neron Severi superiori e fasci di Albanese superiori.
 
 

[AB] F. Andreatta, O. Brinon,
Surconvergence des repre'sentations p-adiques : le cas relatif,
preprint.

[ABT] E. Arrondo, M. Bertolini, C. Turrini,
Focal loci in G(1,n), Asian J. Math. 9 (2005) 449-472.

[ABV] J. Ayoub, L. Barbieri-Viale,
1-motivic sheaves and the Albanese functor,
preprint.

[AT1] A. Alzati, F. Tonoli,
An Explicit construction of ruled surfaces,
J. of Pure and Applied Algebra 213 (2009) 329-348.

[AT2] A. Alzati, A. Tortora,
Constraints for the Trifocal Tensor,
preprint.

[AI] F. Andreatta, A. Iovita,
Global applications of relative (phi,gamma)-modules I,
preprint.

[An] F. Andreatta,
Generalized ring of norms and generalized $(phi,Gamma)$-modules.
Ann. Sci. *âcole Norm. Sup. 39 (2006) 599-647.

[B] G. Bini,
The Euler characteristics of H_{g,n},
Topology Appl. 155 (2007) 121-126.

[BGK] G.Bini, B. van Geemen, T.L. Kelly,
Mirror Quintics, discrete symmetries and Shioda Maps,
arXiv:0809.1791

[BV] L. Barbieri-Viale,
Formal Hodge theory,
Math. Res. Lett. 14 (2007) 385-394.

[BVK1] L. Barbieri-Viale, B. Kahn,
A note on relative duality for Voevodsky motives,
Tohoku Math. J. 60 (2008) 349-356.

[BVK2] L. Barbieri-Viale, B. Kahn,
On the derived category of 1-motives, I
preprint IH*âS.

[BBT] M. Bertolini, G. M. Besana, C.Turrini,
Instability of projective reconstruction from 1-view near critical configurations in higher dimensions,
Contemp. Math. 448, (2007) 1-12.

[BCLS] M.C. Beltrametti, C. Ciliberto, A. Lanteri, A.J. Sommese,
On the birationality of the bicanonical map of a surface section of a threefold,
Comm. Algebra 35 (2007) 1627-1650.

[BD1] M. Bertolini, H. Darmon,
Heegner points on Mumford-Tate curves,
Invent. Math. 126 (1996) 413-456.

[BD2] M. Bertolini, H. Darmon,
Iwasawa's main conjecture for elliptic curves over anticyclotomic Zp-extensions,
Ann. of Math. 162 (2005) 1-64.

[BD3] M. Bertolini, H. Darmon,
Hida families and rational points on elliptic curves,
Invent. Math. 168 (2007) 371-431.

[BD4] M. Bertolini, H. Darmon,
Rationality of Stark-Heegner points of genus fields of real quadratic fields,
to appear in Ann. of Math.

[BDD] M. Bertolini, H. Darmon, S. Dasgupta,
Stark-Heegner points and special values of L-series,
in "L-functions and Galois representations", Cambridge University Press, 2007, 1-23.

[BDRL] G. M. Besana, S. Di Rocco, A. Lanteri,
Higher order bad loci,
J. Pure Appl. Algebra 211 (2007) 414-427.

[BDP] M. Bertolini, H. Darmon, K. Prasanna,
Generalised Heegner cycles and p-adic Rankin L-series,
preprint.

[BdFL] M. C. Beltrametti, T. de Fernex, A. Lanteri,
Ample subvarieties and rationally connected fibrations,
Math. Ann. 341 (2008) 897-926.

[BT] M. Bertolini, C. Turrini,
Critical configurations for 1-view in projections from P_k to P_2,
J. Math. Imaging Vision 27 (2007) 227-287.

[CDG] S. L. Cacciatori, F. Dalla Piazza, B. van Geemen,
Modular Forms and Three Loop Superstring Amplitudes,
Nuclear Physics B. 800 (2008) 565-590.

[CF1] E. Colombo, P. Frediani,
Siegel metric and curvature of the moduli space of curves,
eprint arXiv:0805.3425.

[CF2] E. Colombo, P. Frediani,
Second gaussian map and curvature of the moduli space of curves,
eprint arXiv:0805.3422.

[CS] A. Canonaco, P. Stellari,
Twisted Fourier-Mukai functors,
Adv. Math. 212 (2007) 484-503.

[Fa] G. Faltings,
Almost *©tale extensions,
Ast*©risque 279 (2002) 185-270.

[dFL] T. de Fernex, A. Lanteri,
Bad loci of free linear systems,
Adv. Geom. 6 (2005) 93-107.

[dFM] T. de Fernex, M. Mustata,
Limits of log canonical thresholds,
arXiv:0710.4978.

[GS1] A. Garbagnati, A. Sarti,
Symplectic automorphisms of prime order on K3 surfaces,
J. of Algebra 318 (2007) 323-350.

[GS2] A. Garbagnati, A. Sarti,
Projective models of K3 surfaces with an even set,
Adv. Geom. 8 (2008) 413-440.

[vG1] B. van Geemen,
Some remarks on Brauer groups of K3 surfaces.
Adv. Math. 197 (2005) 222-247.

[vG2] B. van Geemen,
Real multiplication on K3 surfaces and Kuga Satake varieties.
Mich. Math. J. 56 (2008) 375-399.

[HL] H. Hauer, I. Longhi,
Teitelbaum's exceptional zero conjecture in the function field case.
J. Reine Angew. Math. 591 (2006) 149-175.

[HMS1] D. Huybrechts, E. Macri, P. Stellari,
Derived equivalences of K3 surfaces and orientation,
arXiv:0710.1645.

[HMS2] D. Huybrechts, E. Macri, P. Stellari,
Stability conditions for generic K3 categories,
Compos. Math. 144 (2008) 134-162.

[HS1] D. Huybrechts, P. Stellari,
Equivalences of twisted K3 surfaces,
Math. Ann. 332 (2005) 901-936.

[HS2] D. Huybrechts, P. Stellari,
Proof of Caldararu's conjecture,
Adv. Stud. Pure Math. 45 (2006) 31-42.

[LMu1] A. Lanteri, R. Munoz,
Varieties with small discriminant variety,
Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006) 5565-5585.

[LMu2] A. Lanteri, R. Munoz,
Discriminant locus of ample and spanned line bundles,
J. Pure Appl. Algebra 212 (2008), 808-831.

[LM1] A. Lanteri, H. Maeda,
Special varieties in adjunction theory and ample vector bundles,
Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 130 (2001) 61-75.

[LM2] A. Lanteri, H. Maeda,
Ample vector bundles with zero loci having a bielliptic curve section of low degree,
Geom. Dedicata 131 (2008) 111-122.

[LN] A. Lanteri, C. Novelli,
Varieties of small degree with respect to codimension and ample vector bundles,
J. Math. Soc. Japan 60 (2008) 341-361.

[LMaP] A. Lanteri, R. Mallavibarrena, R. Piene,
Inflectional loci of scrolls,
Math. Z. 258 (2008) 557-564.

[Lo1] M. Longo,
On the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for modular elliptic curves over totally real fields.
Ann. Inst. Fourier 56 (2006), 689-33.

[Lo2] M. Longo,
On the anticyclotomic Iwasawa's Main Conjecture for Hilbert modular forms,
preprint.

[MNS] E. Macr*¨, M. Nieper-Wisskirchen, P. Stellari,
The module structure of Hochschild homology in some examples,
C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008) 863-866.

[ST] J.C. Sierra, A.L. Tironi,
Varieties with a reducible hyperplane section whose two components are hypersurfaces.
Proc. Amer. Math. Soc. 135 (2007) 1263-1269.

[S] P. Stellari,
A finite group acting on the moduli space of K3 surfaces.
Trans. Amer. Math. Soc. 360 (2008) 6631-6642.

[Sc] C. Schoen,
A family of surfaces constructed from genus 2 curves,
Internat. J. Math. 18 (2007) 585-612.

[T] A.L. Tironi,
Scrolls over four dimensional varieties,
to appear.

[V] S. Vigni,
On ring class eigenspaces of Mordell-Weil groups of elliptic curves over global function fields.
J. Number Theory 128 (2008) 2159-2184.
 

Nella primavera del 2010 si intende organizzare a Gargnano del Garda il convegno "Giornate di Geometria Algebrica e argomenti correlati" aperto ai piu' giovani ricercatori del settore.

GEOMETRIA:
a) Teoria di Hodge
Alzati e van Geemen intendono continuare la loro ricerca sui conic bundles sulle superfici quartiche e il gruppo di Brauer di tali superfici K3.

Bini e Colombo intendono proseguire la loro ricerca sullo spazio dei moduli delle curve, parzialmente in collaborazione con Fontanari, van der Geer, Harer e Frediani.

Bini, Colombo, Garbagnati e van Geemen intendono studiare le varietà di Calabi-Yau di dimensione tre, in particolare quelle birazionali a quozienti di ipersuperfici di Fermat. Inoltre intendono studiare le strutture di Hodge di tipo CY nella coomologia delle varietà abeliane di tipo Weil. Si considereranno anche applicazioni alla teoria delle stringhe.

Garbagnati intende continuare la sua ricerca sugli automorfismi simplettici delle superfici K3 e sui loro spazi dei moduli, parzialmente in collaborazione con A. Sarti.

Basandosi su un recente lavoro di C. Schoen, van Geemen intende applicare metodi di teoria delle deformazioni allo studio di varietà abeliane di tipo Weil di dimensione quattro. In collaborazione con M. Schuett intende studiare la geometria e l'aritmetica di certe curve di Shimura compatte che sono spazi di moduli di superfici K3 con un automorfismo fissato.

b) Categorie derivate
Stellari intende continuare i suoi studi sulle categorie derivate parzialmente in collaborazione con A. Canonaco, D. Huybrechts ed E. Macrì. In particolare, si occuperà dello studio delle proprietà geometriche degli spazi di moduli di oggetti stabili (secondo Bridgeland) in categoria derivata. Un altro filone di ricerca sarà lo studio di condizioni di stabilit*? su cubic 3-folds e 4-folds.

c) Geometria algebrica classica
Lanteri, con Novelli, e parzialmente con Arrondo, si propone di ricercare una buona nozione di Delta-genere (scalare o vettoriale) per fibrati vettoriali ampi e di sviluppare la classificazione per valori piccoli di tale invariante (generalizzando risultati di Fujita e di Ionescu).
Lanteri con de Fernex e Beltrametti si propone di studiare le variet*? proiettive contenenti come sottovarietà ampia una fibrazione in varietà contenenti molti spazi lineari. Il caso di scroll e fibrazione in quadriche è già stato trattato in [BdFL], ma sembra interessante poter includere nel quadro altri casi significativi considerati recentemente in letteratura.
Lanteri, con Beltrametti e Sommese, intende studiare la curva affine, associata naturalmente ad una varietà polarizzata (X,L), definita dal polinomio di Hilbert di xK_X+yL nel complessificato dello spazio delle classi di equivalenza numerica di X. Tale curva rappresenta un nuovo invariante atto a descrivere propriet*? di struttura di (X,L).
Lanteri, con Beltrametti, Knutsen e Novelli, intende studiare le varietà quasi polarizzate con particolare riferimento a possibili risultati di caratterizzazione attraverso il "nef value".
Lanteri, con Besana e Di Rocco, intende continuare lo studio della varietà costituita degli 0-schemi di un sistema lineare ampio e senza punti base che implicano la riducibilità degli elementi del sistema lineare che li contengono.
Lanteri, con Malalvibarrena e Piene proseguirà lo studio del comportamento osculatorio degli scroll n-dimensionali su una varietà di dimensione piccola. Nel caso in cui la base sia una superficie speciale ci si attende di ottenere delle formule esplicite per i luoghi inflessionali, estendendo risultati di [LMaP].

Tironi intende descrivere delle superfici razionali ellittiche con rango di Mordell-Weil almeno 5 e studiare loro estendibilità a 3-fold, come divisori ampi. Inoltre intende classificare varietà polarizzate da un divisore riducibile in superficie di del Pezzo e applicazioni.

Alzati e Tortora intendono iniziare lo studio di alcuni spazi di moduli di fibrati vettoriali di rango 2 su curve e su superfici. Intendono anche proseguire con la classificazione delle varietà di dimensione piccola e/o grado minimo, in particolare superfici in P^4.

Bertolini e Turrini intendono studiare luoghi focali per affrontare il problema dell'ampiezza del fibrato normale delle sottovariet*? delle Grassmaniane di rette. Inoltre intendono studiare la struttura di varietà legate dentro varietà pfaffiane.

Un programma in collaborazione tra de Fernex e M. Mustata riguarda l'estensione dei risultati in [dFM] al caso generale, in particolare verso la conjettura di Shokurov. In un lavoro in progesso tra de Fernex e C. Hacon si studiano problemi di deformazione di singolarità e di log plurigeneri, con applicazioni sulle deformazioni di varietà di Fano.

d) Applicazioni
Alzati, Bertolini, Tortora e Turrini intendono proseguire lo studio delle configurazioni critiche per la ricostruzione di scene statiche e dinamiche nel caso di piu' viste, sotto due aspetti: teorico, con particolare attenzione all'ideale delle varietà ottenute e con strumenti di teoria della liaison, e applicativo, con l'aiuto di esperimenti simulati e reali.

Le forme Siegel modulare sono stato studiate recentemente nell'ambiente della teoria delle superstringhe. Van Geemen, in collaborazione con i fisici Cacciatori e Dalla Piazza, intende di ottenere nuovi risultati sulla `funzione partizione' delle superstringhe, le funzioni `n-points' e la teoria delle funzioni theta. Tale studio piu` approfondito richiede sia un'ulteriore sviluppo della teoria delle supersuperficie di Riemann sia di un approcio piu` intrinseco alle forme modulare in questo contesto.
 

ARITMETICA:
Massimo Bertolini, in collaborazione con Henri Darmon e Kartik Prasanna, si propone di investigare la possibilit*? di ampliare i metodi noti per la costruzione di punti razionali su curve ellittiche (o piu' generalmente, su varietà abeliane modulari) basati sulla teoria della moltiplicazione complessa. Come è noto, la possibilità di una tale costruzione è essenziale nello studio della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer per la funzione L complessa L(E,s) di E. Un approccio che si intende seguire nei prossimi anni prende le mosse dallo studio di certi cicli algebrici a moltiplicazione complessa di dimensione r > 0, detti cicli di Heegner generalizzati, definiti su generalizzazioni delle varieta' di Kuga-Sato aventi dimensione 2r +1. Le congetture di Beilinson e Bloch-Kato mettono in relazione le altezze di Arakelov di tali cicli con i valori critici centrali delle funzioni L complesse associate al prodotto di forme modulari paraboliche di peso r+2 e certe serie theta.
Il preprint [BDP] determina completamente l'immagine dei cicli di Heegner generalizzati rispetto alle mappe di Abel-Jacobi complesse e p-adiche. Nel primo caso, si ottengono integrali dei periodi associati a forme modulari di peso r+2. Nel secondo caso, si dimostra che l'immagine di Abel-Jacobi p-adica dei cicli è uguale al valore di una funzione L p-adica di Rankin in un punto non appartenente al dominio di interpolazione p-adica.
Ci si propone di partire dai risultati di [BDP] per ottenere nuove costruzioni di punti razionali su curve ellittiche, in casi in cui la rappresentazione galoisiana della curva è un fattore della coomologia etale intermedia della varietà. In questa situazione, la congettura di Tate sui cicli implica la possibilità di ottenere punti razionali sulla curva ellittica come immagine di cicli rispetto ad una corrispondenza algebrica. Nel caso di certe curve ellittiche a moltiplicazione complessa, ci aspettiamo di ottenere risultati indipendenti dalla congettura di Tate, legati a precedenti risultati di Rubin.

Longo intende applicare sistematicamente la teoria delle famiglie analitiche di forme modulari di Hilbert allo studio dell'aritmetica - in particolare, alla costruzione di punti razionali - delle curve ellittiche su campi totalmente reali.

Vigni intende approfondire lo studio delle formule degli zeri eccezionali per curve ellittiche, anche in connessione con la teoria di Hida delle famiglie di forme modulari.

Longhi sta lavorando sulla teoria di Iwasawa per curve ellittiche, ed in particolare sulla costruzione di funzioni L p-adiche associate a tali curve, anche in vista della dimostrazione di una "Main Conjecture" in quest'ambito. Si sta inoltre occupando dell'estensione del concetto di punto di Stark-Heegner e dei suoi collegamenti con la teoria delle funzioni L.

MOTIVI:
Barbieri Viale intende proseguire le sue ricerche su le congetture di Deligne e i motivi di Voevodsky usando il funtore di Albanese, parzialmente in collaborazione con J. Ayoub. In particolare, intende dimostrare le congetture di Deligne mediante le realizzazioni applicate al funtore di Albanese.
Inoltre, intende sviluppare la teoria delle strutture di Hodge formali e la possibilità di introdurre una struttura, detta `sharp', sulla coomologia singolare di varietà algebriche complesse. In collaborazione con A. Bertapelle (dell'univ. di Padova) intende studiare i motivi misti `sharp'.