The real trouble with this world of ours
is not that it is an unreasonable world,
nor even that it is a reasonable one.
The commonest kind of trouble is that
it is nearly reasonable, but not quite.
Life is not an illogicality;
yet it is a trap for logicians.
It looks just a little more
mathematical and regular than it is;
its exactitude is obvious,
but its inexactitude is hidden;
its wildness lies in wait.

(G. K. Chesterton)

La dinamica del caos,

il caos della dinamica

Programma:

Il corso intende proporre agli ascoltatori una linea di lettura dello sviluppo della Meccanica e, più in generale, della teoria dei Sistemi Dinamici. Seguendo il filo conduttore della dinamica planetaria si rivede lo sviluppo delle nostre conoscenze dalla descrizione classica dei moti dei corpi celesti come sistema perfettamente ordinato alla scoperta dei fenomeni caotici. Si mostra in particolare come la coesistenza di ordine e caos sia un fenomeno tipico: il caos è talvolta ben nascosto, ma estremamente pervasivo.
  1. Dagli epicicli di Ipparco alle leggi di Keplero alla gravitazione di Newton: lo sviluppo storico dei fondamenti della dinamica.
  2. La dinamica ordinata: i moti periodici e le loro combinazioni nella dinamica dei sistemi cosiddetti "integrabili".
  3. L'insorgere del caos: l'azione delle risonanze sul comportamento dinamico, ad esempio dei corpi celesti.
  4. Le simulazioni al calcolatore e la caratterizzazione del caos.
  5. La coesistenza di ordine e caos.
  6. Una panoramica sul problema della stabilità del Sistema Solare.

Si parte dal paradigma dei moti ordinati, tipicamente composizione di moti periodici. Il modello principe è costituito dai moti planetari, e dalla scoperta dell'ordine che si cela sotto la loro apparente complessità. In termini moderni si parla di "sistemi integrabili" e di "moti quasi periodici": la dinamica si descrive come combinazione di periodi.

Si passa poi a illustrare le deviazioni rispetto alla dinamica ordinata. Anche in questo campo la dinamica planetaria fa da guida alla scoperta del ruolo delle risonanze nel destabilizzare sistemi all'apparenza del tutto ordinati: i primi esempi sono le deviazioni delle obite di Giove e Saturno e la distribuzione apparentemente bizzarra degli asteroidi. L'uso del calcolatore e la scoperta del comportamento caotico in modelli semplici ha mostrato come il caos sia pervasivo, anche se a volte si manifesta su scale spaziali troppo piccole o su intervalli temporali troppo lunghi per essere percettibile direttamente; è una scoperta che dobbiamo a Poincaré (fine del secolo XIX), ma diventata conoscenza comune settant'anni dopo.

Nella parte finale si illustrano le scoperte matematiche che hanno fortemente influenzato lo studio della dinamica nelle seconda metà del secolo ormai trascorso: il teorema di Kolmogorov sulla persistenza di moti quasiperiodici e il teorema di Nekhoroshev sulla stabilità per tempi esponenzialmente lunghi. Si tratta di due teoremi che si riallacciano al problema della stabilità del sistema planetario - e lo lasciano ancora aperto.

Documentazione:

Qui ci sono le pagine proiettate durante le lezioni. Sono disponibili due formati: ciascuno potrà scegliere quello che preferisce.
  1. Formato A4, orientamento portrait, corpo 10 punti, con spazio per appunti personali in ciascuna pagina.
  2. Formato A4, orientamento landscape, corpo 12 punti.
Qui si trova qualche riferimento bibliografico:

Esempi di programmi:

Molte figure comprese nella documentazione sono state preparate dall'autore usando i programmi scaricabili qui.
Note:
  1. I programmi sono scritti in linguaggio C, compilatore Gnu-C con sistema operativo Linux.
  2. Per la parte grafica (presente in tutti i programmi) si usa una libreria scritta nel millennio scorso dall'autore. Chi desiderasse utilizzarla la può scaricare liberamente accedendo a questa pagina e cercando "Libreria grafica MiZaR".
  3. La libreria funziona sotto sistema operativo Linux. Ovviamente chi la usa lo fa per sua libera scelta, accettando il pacchetto nello stato in cui si trova.



Fairy tales do not tell children the dragons exist.
Children already know that dragons exist.
Fairy tales tell children the dragons can be killed.
(G.K. Chesterton)


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