O graziosa luna, io mi rammento
che, or volge l'anno, sovra questo colle
io venia pien d'angoscia a rimirarti:
e tu pendevi allor su quella selva
siccome or fai, che tutta la rischiari.
Ma nebuloso e tremulo dal pianto
che mi sorgea sul ciglio, alle mie luci
il tuo volto apparia, che travagliosa
era mia vita: ed è, né cangia stile,
o mia diletta luna. E pur mi giova
la ricordanza, e il noverar l'etate
del mio dolore. Oh come grato occorre
nel tempo giovanil, quando ancor lungo
la speme e breve ha la memoria il corso,
il rimembrar delle passate cose,
ancor che triste, e che l'affanno duri!

(Giacomo Leopardi)


Sistemi Dinamici 1


Contenuti:

Alcuni teoremi che costituiscono la base per lo studio dei sistemi dinamici. In termini grossolani si possono distiguere due parti: la prima dedicata alla dinamica ordinata; la seconda che introduce gli elementi necessari per comprendere l'insorgere della dinamica caotica.

  • Strumenti tecnici: equazioni differenziali e serie di Lie.
  • Forme normali per un sistema di equazioni differenziali nell'intorno di un equilibrio: i teoremi di Poincaré, Dulac e Siegel. Il problema dei piccoli divisori.
  • Mappe del piano complesso: il problema del centro di Schroeder ed il teorema di Siegel.
  • Il teorema della varietà stabile. Intersezioni omocline ed origine del caos.
  • La dinamica caotica: il modello del ferro di cavallo e la dinamica simbolica. Il teorema di ricorrenza di Poincaré.
  • Dinamica iperbolica: il lemma dell'orbita-ombra (shadowing lemma) e le sue conseguenze.
  • Corsi propedeutici:

    Trattandosi di un corso della laurea specialistica, si suppone che lo studente abbia frequentato i corsi fondamentali della laurea triennale.
    Il corso si ricollega idealmente a quello di Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni, dove argomenti simili sono trattati a livello fenomenologico, e ne costituisce in qualche senso la continuazione. Aver frequentato quel corso è certamente molto utile, se non indispensabile.

    Testi:

    Verranno fornite delle dispense. Eventuali riferimenti complementari verranno suggeriti durante le lezioni.

    Esami:

    La data verrà concordata direttamente col docente al termine del corso.

    Documentazione accessibile da questa pagina:

    Il materiale messo in rete è soggetto a continuo aggiornamento. Sarò grato agli studenti che vorranno segnalarmi errori, imprecisioni o anche semplicemente pagine non del tutto chiare. Colgo l'occasione per ringraziare gli studenti degli anni passati che l'hanno fatto.
    Le dispense sono in forma bilingue, nel senso che sono scritte parte in italiano e parte in CTL(*), a volte mischiati nello stesso paragrafo. Prevedo di mettere in rete una versione completamente in CTL per facilitare lo studio ad improbabili studenti stranieri che vorranno frequentare il corso, ma non so se e quando accadrà.


    (*) CTL : Common Technical Language. Un linguaggio che ha lo scopo di rendere possibile la comunicazione tra persone di nazionalità e lingua madre diverse, entrato in uso presso la comunità scientifica. Ha qualche somiglianza con l'inglese, benché abbia poco a che vedere con l'inglese letterario: uno scrittore nato in Gran Bretagna lo considerebbe probabilmente un guazzabuglio di dialetti a diffusione mondiale nato da una pesante contaminazione di una parvenza di inglese originario con le lingue locali.

    Appunti degli anni precedenti:

    1. Capitolo 1: Equazioni differenziali e serie di Lie.
    2. Capitolo 2: Equilibria of analytic differential equations
    3. Capitolo 3: Iteration of analytic functions. Nota: il capitolo è alquanto incompleto. La parte che manca (quando arriverà) sarà una versione adattata dell'articolo scaricabile qui.
    4. Capitolo 4: Invariant manifolds and homoclinic points.
    5. Capitolo 5: Statistical behaviour.
    6. Capitolo 6: Hyperbolic systems.
    7. Appendice A: Variazioni sul metodo di Lie.
    8. Appendice B: Variazioni sulle norme.
    9. Appendice C: Strumenti aritmetici.
    10. Bibliografia


    Lezioni dell'anno in corso:


    Copia delle schede proiettate in aula. Disponibili in tre formati:
  • Capitolo 1: Overview on differential equations appunti, normale, ridotta.
  • Capitolo 2: The Poincaré--Siegel center problem appunti, normale, ridotta.
  • Capitolo 3: Lie series and Lie transforms appunti, normale, ridotta.
  • Capitolo 4: The theorem of Siegel appunti, normale, ridotta.
  • Capitolo 5: Non linear elliptic equilibria appunti, normale, ridotta.
  • Capitolo 6: Invariant manifolds and homoclinic points appunti, normale, ridotta.
  • Capitolo 7: Statistical behaviour appunti, normale, ridotta.
  • Capitolo 8: Hyperbolic systems appunti, normale, ridotta.


    Man cannot love mortal things.
    He can only love immortal things
    for an instant.

    (G.K. Chesterton: Heretics, ch. VII)



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