Traccia delle lezioni
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Mappa logica del corso (sintesi del discorso iniziale). Trascurando molti dettagli, dà delle indicazioni su come muoversi, quali sono i punti panoramici, dove vogliamo arrivare, quali spunti ci sono per ulteriori passeggiate ecc.
Le frecce non sempre seguono un unico percorso: non bisogna mai leggere una casella in cui entrano due frecce prima di aver letto entrambe le caselle da cui le frecce partono. Le frecce tratteggiate indicano un legame da precisare meglio nel corso e quella azzurra indica ricadute. Versione .pdf

Capitolo I: Terminologia.  Lo scopo di queste pagine è di richiamare le nozioni algebriche che verranno usate nel corso, illustrandole con qualche esempio di riferimento.
Le dimostrazioni, ove presenti, si intendono inserite come esercizio per lo studente, per abituarlo al ragionamento deduttivo. In prima lettura possono tranquillamente essere saltate e riprese semmai quando successivi esempi o enunciati stimolino la curiosità di vedere perché le cose funzionino in un certo modo. Versione .pdf

Capitolo II: Fattorizzazioni in elementi irriducibili. La parte fondamentale del capitolo caratterizza i domini a fattorizzazione unica e mostra come questa proprietà sia ereditata dagli anelli di polinomi a coefficienti in tali domini. Vengono dati numerosi esempi (anche di portata teorica: PID e in particolare domini euclidei) e controesempi. Versione .pdf
Per una sintesi grafica si veda la Mappa dei problemi di fattorizzabilità. Versione .pdf

Capitolo III: Ordinamenti sui monomi dell'anello di polinomi k[x1,..xn]. Viene introdotto il concetto di ordinamento monomiale, con numerosi esempi e viene data una strategia per collegare un'ordinamento monomiale ad una matrice. Versione .pdf

Capitolo IV: Divisione in k[x1,...xn] e teorema della base. Viene definita la divisione di un polinomio per un insieme ordinato di polinomi, relativamente ad un ordinamento monomiale, fornendo un algoritmo per il calcolo di quozienti e resto. Si dimostra il lemma di Dickson sulla cardinalità degli insiemi di generatori degli ideali monomiali e, grazie alla definizione di divisione, se ne deduce il teorema della base di Hilbert (equivalente alla condizione catenaria sugli ideali di k[x1,..xn]). Versione .pdf

Capitolo VBasi di Gröbner. Vengono definite e ne vengono illustrate le proprietà. Se ne danno varie caratterizzazioni, di cui una attraverso le sizigie dei LT dei polinomi della base e il concetto di riducibilità a zero di un polinomio rispetto alla base, due algoritmi (ingenuo e di Buchberger) con cui calcolarle e se ne mostrano alcune applicazioni nella teoria degli ideali. È il cuore del corso.  Versione .pdf
Esercizi sul capitolo V . Versione .pdf

Capitolo VI:  Soluzioni di sistemi ed ideali. Si definiscono le varietà affini (insiemi delle soluzioni di un sistema di equazioni "polinomiali") e si inizia lo studio della corrispondenza tra ideali di un anello di polinomi e varietà. Si introducono con esempi i problemi che verranno affrontati e risolti nei Capitoli VII e VIII e, proprio utilizzando i risultati di tali capitoli, si danno condizioni di finitezza dell'insieme di soluzioni di un sistema di equazioni "polinomiali". Solo accennato l'argomento del passaggio a forma implicita. Versione .pdf

Capitolo VII: Eliminando ed estendendo
Parte prima. Versione algebrica della teoria dell'eliminazione e dell'estensione. Ideali (e ordinamenti) di eliminazione k-esima. Il teorema di estensione viene dimostrato supponendo nota la teoria del risultante. Versione .pdf
Parte seconda. Teoria del risultante. Strumento per verificare se due o più polinomi hanno fattori comuni: viene introdotto nel caso monodimensionale per due polinomi e poi esteso al caso multidimensionale e a più polinomi, ottenendo sempre un polinomio in una indeterminata in meno rispetto a quelli di partenza. Versione .pdf
Parte terza.  Conseguenze. Rilettura geometrica del teorema di estensione tramite il concetto di proiezione k-esima di una varietà. Parte incompleta per mancanza di tempo. Versione .pdf
Esercizi sul capitolo VII . Versione .pdf

Capitolo VIIINullstellensatz  Varie versioni del celeberrimo teorema di Hilbert; sue ricadute sulla risolubilità dei sistemi. Ideali radicali e biunivocità della corrispondenza tra varietà e ideali radicali se il campo è algebricamente chiuso. Varietà irriducibili e ideali primi, punti e ideali massimali. Scomposizione minimale di una varietà e suoi corrispettivi algebrici. Versione .pdf
Esercizi sul capitolo VIII . Versione .pdf

Programma d'esame dell'anno accademico 2003/04 e successivi anni. Versione .pdf