Geometria Algebrica I
Anno accademico 2009-2010
Programma del corso:
Varietà algebriche affini.Insiemi algebrici affini. Topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Varietà affini.
Funzioni sulle varietà: morfismi e isomorfismi; campo delle funzioni razionali e applicazioni razionali.
Varietà algebriche proiettive. Insiemi algebrici proiettivi. Varietà proiettive. Morfismi, funzioni razionali ed equivalenza birazionale.
Proprietà delle varietà
Spazio tangente e singolarità. Dimensione di una varietà. Grado di una varietà proiettiva: cenni di teoria dell'eliminazione e Teorema di Bezout. Esempi.
Esempi:
Curve razionali normali. Immersione di Segre. Immersione di Veronese. Spazio delle coniche di P2. Proiezioni. Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali. Grassmanniane G(k,n) e immersione di Plücker. Esempi di geometria enumerativa: rette su una superficie di P3.
Fibrati vettoriali:
Definizione. Esempi di fibrati. Sezioni. Fibrati lineari e cenni alle mappe da varietà negli spazi proiettivi. Rivisitazione delle applicazioni già viste (Veronese, Segre, Plücker) con la teoria dei fibrati lineari.
Riferimenti:
M.C. Beltrametti, Letture su curve, superfici e varietà proiettive speciali, Bollati Boringhieri BdM.K. Hulek, Elementary Algebraic Geometry, AMS BdM.
K. Ueno, An Introduction to Algebraic Geometry, AMS BdM.
K. Ueno, Algebraic Geometry 1 e 2, AMS BdM, BdM.
W. Fulton, Algebraic curves, Benjamin BdM.
J. Harris, Algebraic Geometry, GTM, Springer BdM.
M. Reid, Undergraduate algebraic geometry, CUP, BdM.
I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer Verlag BdM, BdM.
Ulteriori indicazioni bibliografiche saranno fornite durante il corso.
