CORSO DI GEOMETRIA 4

Testi Consigliati

Geometria Differenziale di Abate-Tovena ed. Springer

Differential geometry of curves and surfaces - M.Do Carmo (DGCS)

In genere le lezioni sono il lunedì e le esercitazioni il mercoledì

AVVISO TUTORAGGIO:Avviso data tutoraggio - Luglio 2019.pdf

LEZIONI:

Lezione 1 Introduzione alle Curve nel piano. Ascissa curvilinea. Equazioni di Frenet. Lez12016.pdf

Lezione 2 ( Basi positivamente orientate e Prodotto vettoriale (1.4) prodottovett.pdf

Curve nello spazio (1.2,1.3). Equazioni di Frenet (1.5). Interpretazione della torsione. Elica Cilindrica. Calcolo della sua ascissa curvilinea, torsione e curvatura.

Teorema di rigidità per curve nello spazio (solo enunciato). curve2.pdf

Lezione 3 Definizione di Superficie Elementare, o foglio semplice di superficie. Definizione di spazio tangente e piano tangente affine. Interpretazione geometrica del piano tangente. Grafico di una funzione C^\infty. Definizione di superficie regolare. Esempi (la sfera). Teorema del cambio delle coordinate. Superficie come varietà differenziabile di dimensione 2. lez3.pdf

Lezione 4 : Prima forma fondamentale. Calcolo di lunghezze, ampiezza di angoli e area di regioni. Mappe differenziabili tra superfici. La mappa differenziale. Esempi. Il campo normale. Orientabilità. lezio4.pdf

Lezione 5 : La mappa di Gauss. Operatore di Weingarten. Linearita’ e simmetria. Curvatura normale. Teorema di Meusnier. Curvature principali come max e min della curvatura normale e come autovalori reali dell’operatore di Weingarten. Interpretazione geometrica della seconda forma fondamentale. lez5.pdf

Lezione 6: Risoluzione di esercizi del Foglio 4\5. Linee di curvatura, curve asintotiche. Caratterizzazione di punti sulla superficie. Superfici con tutti i punti ombelicali. Lez6.pdf

Lezione 7: Isometrie locali e globali. Il piano e il cilindro. Il catenoide e l’elicoide.

Interpretazione geometrica della curvatura di Gauss. lezio7.pdf

Il teorema Egregium di Gauss. Idea della dimostrazione. lezio8.pdf

Lezione 8

Altri concetti di geometria intrinseca. Derivata covariante e geodetiche. Eser7.pdf

Lezione 9

Il teorema di Gauss-Bonnet. Idee. Ultimalez.pdf

ESERCITAZIONI:

Esercitazione 1: Richiami sulla topologia quoziente. Lo spazio proiettivo reale. Esercizi vari: Retrazioni per deformazioni. Esempi, l’otto e il piano con due buchi e altri esempi simili nel piano e nello spazio.

Esercitazione 2 :

Il gruppo fondamentale. Esempi di calcolo del gruppo fondamentale con i teoremi di Van Kampen I e II. (Note di un corso)

Capitolo1.pdf Parte sulla classificazione delle sup. topologiche

Capitolo2.pdf Parte sulla teoria dell’omotopia

Capitolo3.pdf Gruppo fondamentale e teoremi di Van Kampen I e II

Esercitazione 3:

Curvatura per curve piane non parametrizzate mediante ascissa curvilinea (visto a lezione 1). Curvatura per curve date in forma cartesiana (esercizio per casa). sol7316.pdf

Curvatura, torsione e terna di Frenet per curve non parametrizzate mediante ascissa curvilinea nello spazio.

[Risoluzione esercizio 9, 10 (Foglio 1 di esercizi) [caratterizzazione dell’elica cilindrica]. eser2geo4.pdf

Esercitazione 4:

Curvatura per curve date in forma cartesiana (esercizio per casa). sol7316.pdf

Risoluzione esercizi su foglio 0,1,2

Risoluzione esercizio 8 (Foglio 1 di esercizi) [caratterizzazione delle curve sulla sfera]. eser2geo4.pdf

Esercitazione 5: Superfici di rotazione (Esempi: Toro, sfera, cilindro ) e superfici rigate: Superficie rigata delle tangenti e delle binormali. Esempio di foglio semplice che non e’ una superficie regolare. Esercizi sulla Lossodromia sulla sfera Esercitaz3.pdf

Esercitazione 6: Campo normale e prima forma fondamentale per superfici date come grafico. Retroimmagini di valori regolari. Eserc4.pdf

Curvatura Gaussiana, natura dei punti su di una superficie. Calcolo della curvatura media e gaussiana in coordinate locali. Calcolo della curvatura di Gauss per superfici di rotazione, per superfici date come grafico e per retroimmagini di valori regolari di applicazioni diffrenziabili. Applicazione allo studio dei punti delle quadriche non degeneri.coordloc.pdf

Esercitazione 7-8: Risoluzione di esercizi vari anche del Foglio 5.

Esercizi sulle curve asintotiche e linee di curvatura

eser6.pdf