CORSO DI GEOMETRIA 4

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Geometria Differenziale di Abate-Tovena ed. Springer

Differential geometry of curves and surfaces - M.Do Carmo (DGCS)



LEZIONI Dell’anno 2018:


Lezione 1 (12\03\2018): Introduzione alle Curve nel piano. Ascissa curvilinea. Equazioni di Frenet.  Lez12016.pdf


Lezione 2 (14\03\18):) Basi positivamente orientate e Prodotto vettoriale (1.4) prodottovett.pdf

Curve nello spazio (1.2,1.3). Equazioni di Frenet (1.5). Interpretazione della torsione. Elica  Cilindrica.  Calcolo della sua ascissa curvilinea, torsione e curvatura.

Teorema  di rigidità per curve nello spazio (solo enunciato). curve2.pdf


Lezione 3 (26\03\18): Definizione di Superficie Elementare, o foglio semplice di superficie. Definizione di spazio tangente e piano tangente affine. Interpretazione geometrica del piano tangente. Grafico di una funzione C^\infty. Definizione di superficie regolare. Esempi (la sfera). Teorema del cambio delle coordinate. Superficie come varietà differenziabile di dimensione 2. lez3.pdf


Lezione 4 (09\04\18): Prima forma fondamentale. Calcolo di lunghezze, ampiezza di angoli e area di regioni. Mappe differenziabili tra superfici. La mappa differenziale. Esempi. Il campo normale. Orientabilità. lezio4.pdf


Lezione 5 (17\04\18): La mappa di Gauss. Operatore di Weingarten. Linearita’ e simmetria.  Curvatura normale. Teorema di Meusnier. Curvature principali come max e min della curvatura normale e come autovalori reali dell’operatore di Weingarten. Interpretazione geometrica della seconda forma fondamentale. lez5.pdf


Lezione 6:  Risoluzione di esercizi del Foglio 4\5. Linee di curvatura, curve asintotiche. Caratterizzazione di punti sulla superficie. Superfici con tutti i punti ombelicali. Lez6.pdf


Lezione 7: Isometrie locali e globali. Il piano e il cilindro. Il catenoide e l’elicoide.

Interpretazione geometrica della curvatura di Gauss. lezio7.pdf

Il teorema Egregium di Gauss. Idea della dimostrazione. lezio8.pdf


Lezione 8

Altri concetti di geometria intrinseca. Derivata covariante e geodetiche. Eser7.pdf



Lezione 9

Il teorema di Gauss-Bonnet. Idee. Ultimalez.pdf







ESERCITAZIONI dell’anno 2018:


Esercitazione 1 (28/03/18): Richiami sulla topologia quoziente. Lo spazio proiettivo reale. Esercizi vari: Retrazioni per deformazioni. Esempi, l’otto e il piano con due buchi e altri esempi simili nel piano e nello spazio.


Esercitazione 2 (07/03/18):

Il gruppo fondamentale. Esempi di calcolo del gruppo fondamentale con i teoremi di Van Kampen I e II. (Note di un corso)

Capitolo1.pdf Parte sulla classificazione delle sup. topologiche

Capitolo2.pdf Parte sulla teoria dell’omotopia

Capitolo3.pdf Gruppo fondamentale e teoremi di Van Kampen I e II


Esercitazione 3 (19/03/18):

Curvatura per curve piane non parametrizzate mediante ascissa curvilinea (visto a lezione 1).  Curvatura per curve date in forma cartesiana (esercizio per casa). sol7316.pdf

Curvatura, torsione e terna di Frenet per curve non parametrizzate mediante ascissa curvilinea nello spazio.

[Risoluzione esercizio 9, 10 (Foglio 1 di esercizi) [caratterizzazione dell’elica cilindrica]. eser2geo4.pdf

Esercitazione 4 (21/03/18):

Curvatura per curve date in forma cartesiana (esercizio per casa). sol7316.pdf

Risoluzione esercizi su foglio 0,1,2

Risoluzione esercizio 8 (Foglio 1 di esercizi) [caratterizzazione delle curve sulla sfera]. eser2geo4.pdf



Esercitazione 5 (11\04\18): Superfici di rotazione (Esempi: Toro, sfera, cilindro ) e superfici rigate: Superficie rigata delle tangenti e delle binormali. Esempio di foglio semplice che non e’ una superficie regolare. Esercizi sulla Lossodromia sulla sfera Esercitaz3.pdf


Esercitazione 6 (18\4\18): Campo normale e prima forma fondamentale per superfici date come grafico. Retroimmagini di valori regolari. Eserc4.pdf

Curvatura Gaussiana, natura dei punti su di una superficie. Calcolo della curvatura media e gaussiana in coordinate locali. Calcolo della curvatura di Gauss per superfici di rotazione, per superfici date come grafico e per retroimmagini di valori regolari di applicazioni diffrenziabili. Applicazione allo studio dei punti delle quadriche non degeneri.coordloc.pdf


Esercitazione 7-8: Risoluzione di esercizi vari anche del Foglio 5.

Esercizi sulle curve asintotiche e linee di curvatura

eser6.pdf


















FOGLI DI ESERCIZI: (solitamente svolgo alle esercitazioni i fogli di esercizi assegnati volta volta)


-Esercizi sulle curve nel piano e nello spazio. 

Foglio 0: Es12016.pdf

Foglio 1:es1_geo4.pdf

Foglio 2: foglio2.pdf


-Esercizi Prima forma fondamentale.

Foglio 3: foglio3.pdf

Foglio 3bis: foglio3bis.pdf


-Esercizi con la seconda forma fondamentale (risolti a lezione).

Foglio4: foglio4.pdf

Foglio 5: foglio5.pdf


-Esercizi sulla geometria intrinseca e geodetiche. (Non incluso nel programma 2017)

Foglio 6: foglio6.pdf

Foglio 7: foglio7.pdf


Esercizi in preparazione Primo compitino

(esercizi Di CristinaTurrini):esercizi_geo4_Iparte_2013_2014.pdf


Soluzione di un esercizio sui punti iperbolici chiesto da studenti: es-puntiIp.pdf