Unità operativa di Milano Città Studi

Presentazione
La definizione originaria delle coniche come sezioni di un cono è oggi sostanzialmente trascurata, in favore di quella di luoghi dei punti del piano soddisfacenti determinate proprietà, ma nei testi spesso anche questa definizione  viene usata quasi solo per ricavare le equazioni canoniche delle coniche. Invece, approfondendo lo studio sintetico con l'aiuto di un software di geometria dinamica, si possono risolvere geometricamente questioni riguardanti le tangenti a una conica e mettere in luce importanti analogie tra i vari tipi di coniche. Ancora, tramite la costruzione di modelli 3D, si può far riscoprire ai ragazzi la dimostrazione dell'equivalenza delle due definizioni proposta nel 1822 dal matematico belga Dandelin nei tre casi delle coniche non degeneri.

Breve descrizione dell’attività (si veda descrizione Laboratori chiavi in mano): il laboratorio consta di due parti, la prima centrata sulla definizione delle coniche come luoghi di punti nel piano, la seconda sulla interpretazione delle coniche come sezioni di un cono.
1. Mediante l’aiuto di un programma di geometria dinamica (e.g. il software libero GeoGebra), gli studenti indagano le coniche da un punto di vista sintetico, cioè prescindendo dalle loro equazioni nel piano cartesiano, e risolvono questioni sulle tangenti che mettono in evidenza profonde analogie tra i vari tipi di coniche. Come attività di rinforzo per quelle al computer, si “piegano” gli inviluppi delle coniche; infine, con l’intero gruppo classe si mette in evidenza il percorso fatto.
2. La definizione originaria delle coniche come le curve che si ottengono tagliando un cono con un piano non passante per il suo vertice è oggi sostanzialmente trascurata, in favore di quella di luoghi dei punti del piano. Tramite la costruzione di modelli 3D, i ragazzi riscoprono la dimostrazione del matematico belga Dandelin che connette i due punti di vista. Dapprima riflettono sulle nozioni di geometria solida necessarie per il seguito, poi, con materiale povero (sfere in polistirolo e in PVC, cannucce, spiedini o spaghetti…), costruiscono il modello di Dandelin nel caso dell’ellisse (un cono con un piano secante lungo una curva chiusa e le sfere tangenti al cono e al piano) e ripercorrono la sua dimostrazione. Con l’aiuto di un disegno, la modificano al caso dell’iperbole; infine costruiscono un modello per il caso della parabola, da usare come supporto alla dimostrazione.

Materiale per lo svolgimento del laboratorio: schede di lavoro, bozza di guida per l’insegnante possono essere richieste alla Prof.ssa Frigerio.

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