ANALISI REALE

PROGRAMMA PRELIMINARE a.a 2011/12

1. Differenziazione ed integrazione: Richiami sull’integrale di Lebesgue.

Funzioni integrali e il Teorema di Differenziazione di Lebesgue in Rⁿ .

Funzione massimale di Hardy Littlewood.

Differenziazione di funzioni monotone. Funzioni a variazione limitata,

assolutamente continue e il Teorema Fondamentale del Calcolo

Integrale in R. Funzioni convesse e la disuguaglianza di Jensen.

2. Successioni di funzioni misurabili: Convergenza quasi uniforme

e teorema di Egorov. Convergenza in misura e teorema della scelta.

3. Spazi L^p: Definizione. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski,

convergenza, completezza. Confronto tra convergenze. Duale di L^p.

Convoluzione e proprieta`. Nuclei di sommabilita`, teorema di Fejer e

mollificatori.

4. Spazi di Hilbert: Definizione e proprietà fondamentali. Proiezioni e

il teorema delle proiezioni. Decomposizione in somma di spazi ortogonali.

Basi ortonormali. Funzionali lineari continui ed il Teorema di Riesz.

Forme bilineari ed il Teorema di Lax-Milgram.

5. Cenni alle Serie di Fourier oppure  alla Trasformata di Fourier.