ANALISI MATEMATICA 1
PROGRAMMA PRELIMINARE
a.a. 2010/11
Campo reale e campo
complesso
L’insieme dei numeri reali: campo ordinato con la
proprietà dell’estremo superiore.
Esistenza
delle radici n-esime dei numeri positivi.
Il
campo dei numeri complessi. Forma algebrica e forma
trigonometrica.
Formula
di de Moivre, radici ennesime. Il teorema
fondamentale dell’algebra.
Insiemi,
funzioni e spazi metrici
Richiami
di teoria elementare degli insiemi e delle applicazioni tra insiemi.
Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti.
Insiemi
numerabili, insiemi con la potenza del continuo. Non
numerabilità di R.
Spazi
metrici. Intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi,
insiemi
compatti, insiemi connessi. Il campo reale esteso come spazio metrico.
Successioni
Successioni
convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà.
La
condizione di Cauchy. Sottosuccessioni.
Successioni
in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone.
Il
limite che definisce il numero “e”.
Serie
numeriche
Serie
in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari.
Serie
assolutamente convergenti. Il criterio di Cauchy.
Criteri
sufficienti di convergenza assoluta. Serie a termini di segno
alterno e criterio di Leibnitz.
Operazioni
sulle serie. Riordinamenti.
Applicazioni
tra spazi metrici
Limiti
di funzioni. Definizione equivalente per successioni.
Continuità.
Controimmagine di un aperto. Continuità e
compattezza. Continuità e connessione.
Continuità
della funzione composta. Continuità della funzione inversa. Uniforme
continuità.
Funzioni
reali di variabile reale. Esistenza del limite per
funzioni monotone. Asintoti. Discontinuità.