ANALISI MATEMATICA 1   

PROGRAMMA PRELIMINARE a.a. 2010/11

 

 

Campo reale e campo complesso

L’insieme dei numeri reali: campo ordinato con la proprietà dell’estremo superiore.

Esistenza delle radici n-esime dei numeri positivi.

Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica e forma trigonometrica.

Formula di de Moivre, radici ennesime. Il teorema fondamentale dell’algebra.

 

Insiemi, funzioni e spazi metrici

Richiami di teoria elementare degli insiemi e delle applicazioni tra insiemi.

 Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti.

Insiemi numerabili, insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R.

Spazi metrici. Intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi,

insiemi compatti, insiemi connessi. Il campo reale esteso come spazio metrico.

 

Successioni

Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà.

La condizione di Cauchy. Sottosuccessioni.

Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone.

Il limite che definisce il numero “e”.

 

Serie numeriche

Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari.

Serie assolutamente convergenti. Il criterio di Cauchy.

Criteri sufficienti di convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibnitz.

Operazioni sulle serie. Riordinamenti.

 

Applicazioni tra spazi metrici

Limiti di funzioni. Definizione equivalente per successioni.

Continuità. Controimmagine di un aperto. Continuità e compattezza. Continuità e connessione.

Continuità della funzione composta. Continuità della funzione inversa. Uniforme continuità.

Funzioni reali di variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Asintoti. Discontinuità.