Corsi di Analisi Complessa (6 cfu oppure 9 cfu)

Universita' di Milano - Anno Accademico 2013/2014

Prof. Maura Salvatori



A
partire dall'a.a. 2012/13 ci sono due corsi di Analisi Complessa: uno da 6 cfu e l'altro da 9 cfu.
Il corso da 6 cfu e` mutuato dalla prima parte di quello da 9 cfu.
I rispettivi programmi trattano i seguenti argomenti:


    Introduzione, richiami sui numeri complessi.
    Funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann.
    Integrali di linea nel campo complesso, primitive olomorfe.
    Il teorema di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.
    Esempi di funzioni olomorfe, serie di potenze e loro proprietā.
    Regolaritā delle funzioni olomorfe: il teorema degli zeri, il principio di identitā.
    Conseguenza della formula integrale di Cauchy: il teorema di Weierstrass, formula delle derivate.
    Teorema della mappa aperta, dell'invertibilitā locale di una funzione olomorfa e principio del massimo modulo.
    Teorema globale di Cauchy.
    Singolaritā isolate e sviluppi di Laurent.
    Calcolo dei residui.
    Applicazioni del teorema del residui al calcolo di integrali definiti.
    Funzioni armoniche. Integrale di Poisson.
    Il teorema di Rouchč e il teorema dell'indicatore logaritmico.
    Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco.

    Trasformazioni conformi.
    Teorema della mappa di Riemann.
    Funzioni intere. Prodotti infiniti.
    Teorema di fattorizzazione di Weierstrass.
    Funzioni interi di ordine finito, Teorema di fattorizzazione di Hadamard.
    Funzione gamma di Eulero.

        - corso da 6 cfu: 28 ore di lezione (mart. e ven.) + 16 ore di esercitazione/esercizi guidati  (dott. L. Vesely, lun.)
                - corso da 9 cfu: 42 ore di lezione (mart. e ven.) + 22 ore di esercitazione/esercizi guidati (dott. L. Vesely, lun.)


    MODALITA` DI ESAME

- La prova d'esame consiste di: una prova scritta e, a seguire, la prova orale.

L'esonero dalla prova scritta puo` essere ottenuto mediante il superamento di (3 o 4) prove parziali
della durata massima di 30 minuti e che si terranno durante il corso.


       
      



        Testo di alcune prove scritte: 23 gennaio 20137 febbraio 2013;  21 febbraio2013; 17 aprile 2013; 21 giugno 2013; 10 luglio2013;
19 settembre 2013; 23 gennaio 2014; 19 febbraio 2014; 6 maggio 2014; 19 giugno 2014; 14 luglio 2014; 16 settembre 2014

           Appunti di Analisi Complessa  (Redatti dal prof. Marco Peloso)

        - S. Lang, Complex Analysis, 4th Edition, Springer-Verlag Ed.
        - R. Churchill and J. Brown, Complex Variables and Applications, 5th Edition,  McGraw-Hill Inc.
        - J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd Edition, Springer-Verlag Ed.
        - E. M. Stein and R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton Lectures in Analysis II, Princeton Univ. Press
        - L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd Edition, McGraw-Hill Science Ed.