Corso di laurea in Matematica

 

Programma d’esame di Analisi Matematica 1  (a.a. 2010/11)

redatto con riferimento al testo

 “P.M. Soardi: Lezioni di Analisi Matematica, Cittą Studi Edizioni, 2010”.

 

Proff.  Maura Salvatori e Clemente Zanco

 

 

 

1. Numeri reali.  Rappresentazione decimale dei numeri razionali. Numeri reali e ordinamento; estremo superiore ed inferiore e loro proprietą; massimo e minimo di un insieme;√2 non Ź razionale (*), teorema di densitą (*), teorema di completezza (*).  Partizioni di Q e di R. Operazioni tra numeri reali: R Ź campo ordinato. Radici, potenze, logaritmi nel campo reale. Spazi euclidei (*).

 

2. Numeri complessi. Il campo complesso. Il sottocampo dei numeri reali. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi; coniugato e modulo di un numero complesso e loro proprietą (*), operazioni in forma trigonometrica (*), formula di De Moivre (*). C Ź campo non ordinato. Radici n-esime di un numero complesso (*); teorema fondamentale dell'algebra.

 

3. Funzioni. Immagini e controimmagini. Restrizione, funzione inversa, composta. Successioni, indici. Potenza di un insieme. Potenza del numerabile; numerabilitą dell’unione e del prodotto cartesiano di insiemi numerabili (*). Potenza del continuo; non numerabilitą di R (*). Proprietą degli insiemi infiniti. Potenza dell’insieme delle parti: P(N) Ź equipotente a R (*).

 

4. Spazi metrici. Definizione ed esempi. Intorni; proprietą di Hausdorff (*). Classificazione dei punti: punti interni, esterni, di frontiera; punti isolati, punti di accumulazione e loro caratterizzazione (*); insieme derivato. Insiemi aperti, insiemi chiusi e loro caratterizzazione (*). Unioni e intersezioni di aperti e di chiusi (*). Chiusura di un insieme. Diametro di un insieme, coincidenza con il diametro della chiusura (*). Insiemi compatti: condizioni necessarie per la compattezza (*) e caratterizzazione. Sottoinsiemi chiusi di compatti sono compatti (*); famiglie decrescenti di compatti non vuoti hanno intersezione non vuota (*). Teorema di Heine-Borel e di Bolzano-Weierstrass. R esteso come spazio metrico.  Norme e distanze.

 

5. Successioni.  Successioni in spazi metrici e convergenza.  Unicitą del limite (*). Limitatezza delle successioni convergenti (*). Sottosuccessioni e punti di accumulazione (*); regolaritą delle sottosuccessioni di una successione regolare (*).  Successioni a valori reali e loro comportamento.  Operazioni in R esteso e calcolo dei limiti. Forme d’indecisione. Teoremi della permanenza del segno e del confronto (*). Successioni monotone e loro regolaritą (*). Il limite di sen(xn)/xn quando xn tende a 0 (*) e i limiti fondamentali che se ne deducono (*). Il numero "e"; i limiti fondamentali che si deducono da “e” (*). Criterio del rapporto (*). Confronto tra infiniti ed infinitesimi, relazioni di “asintotico” e “o piccolo”. Successioni in Rk. Classe limite di successioni reali e sue proprietą (*); massimo e minimo limite e proprietą relative.  Successioni di Cauchy in spazi metrici. Spazi metrici completi. Completezza di Rn (*) ; completezza degli spazi metrici compatti.

 

 

6.  Serie numeriche.  Definizioni ed esempi basilari; convergenza assoluta. La condizione di Cauchy e sue conseguenze (*).  Serie a termini reali di segno costante; criteri del confronto (*), della radice (*), del rapporto (*), di condensazione. Criterio di Leibniz (*); criterio di Dirichlet. Somma di serie. Proprietą associativa e commutativa per le serie; teorema di Riemann.

 

7.  Funzioni e limiti di funzioni. Funzioni tra spazi metrici: definizione di limite ed esempi. Unicitą del limite (*). Funzioni reali di variabile reale: definizione di limite nei vari contesti possibili. Funzioni limitate, estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di una funzione. Teoremi della permanenza del segno e del confronto (*). Calcolo dei limiti: limiti e operazioni algebriche, limiti e composizione. Limiti notevoli. Confronto tra infiniti ed infinitesimi, relazioni di “asintotico” e “o piccolo” e loro impiego. Asintoti al diagramma di una funzione. Limiti di funzioni e limiti successionali (*). Classe limite di una funzione.

 

8. Continuitą. Continuitą puntuale e globale di funzioni tra spazi metrici. Caratterizzazione della continuitą globale mediante le controimmagine di aperti o chiusi (*). Continuitą delle funzioni composte. Continuitą delle funzioni reali di variabile reale. Funzioni elementari e continuitą.  Continuitą e operazioni algebriche. Classificazione delle discontinuitą di funzioni reali di una variabile reale.  Continuitą e compattezza (*), teorema di Weierstrass (*).  Teoremi degli zeri, dei valori intermedi e di Darboux (*).  Funzioni monotone ed esistenza dei limiti (*). Discontinuitą delle funzioni monotone (*). Continuitą della funzione inversa di una funzione continua invertibile su un intervallo. Uniforme continuitą: definizione, teorema di Heine-Cantor. Lipschitzianitą.

 

 

 

Dei teoremi contrassegnati con (*) potrą essere richiesta la dimostrazione in sede di esame orale.

 

 

Testi consigliati:

Š       P.M. Soardi: Lezioni di Analisi Matematica, Cittą Studi Edizioni, 2010.

Š       W. Rudin: Principi di Analisi Matematica, Mc Graw Hill Libri, Italia.

Š       L. De Michele, G. L. Forti: Analisi Matematica: problemi ed esercizi, CLUP.

Š       E. Giusti: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Bollati.

Š       B. Gelbaum, J. Olmsted: Counterexamples in analysis, Holden-Day.