Corso di laurea in Matematica

Programma d’esame di Analisi Matematica 1 (a.a. 2010/11)

redatto con riferimento al testo

“P.M. Soardi: Lezioni di Analisi Matematica, Città Studi Edizioni, 2010”.

Proff. Maura Salvatori e Clemente Zanco

1. Numeri reali. Rappresentazione decimale dei numeri razionali. Numeri reali e ordinamento; estremo superiore ed inferiore e loro proprietà; massimo e minimo di un insieme;√2 non è razionale (*), teorema di densità (*), teorema di completezza (*). Partizioni di Q e di R. Operazioni tra numeri reali: R è campo ordinato. Radici, potenze, logaritmi nel campo reale. Spazi euclidei (*).

2. Numeri complessi. Il campo complesso. Il sottocampo dei numeri reali. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi; coniugato e modulo di un numero complesso e loro proprietà (*), operazioni in forma trigonometrica (*), formula di De Moivre (*). C è campo non ordinato. Radici n-esime di un numero complesso (*); teorema fondamentale dell'algebra.

3. Funzioni. Immagini e controimmagini. Restrizione, funzione inversa, composta. Successioni, indici. Potenza di un insieme. Potenza del numerabile; numerabilità dell’unione e del prodotto cartesiano di insiemi numerabili (*). Potenza del continuo; non numerabilità di R (*). Proprietà degli insiemi infiniti. Potenza dell’insieme delle parti: P(N) è equipotente a R (*).

4. Spazi metrici. Definizione ed esempi. Intorni; proprietà di Hausdorff (*). Classificazione dei punti: punti interni, esterni, di frontiera; punti isolati, punti di accumulazione e loro caratterizzazione (*); insieme derivato. Insiemi aperti, insiemi chiusi e loro caratterizzazione (*). Unioni e intersezioni di aperti e di chiusi (*). Chiusura di un insieme. Diametro di un insieme, coincidenza con il diametro della chiusura (*). Insiemi compatti: condizioni necessarie per la compattezza (*) e caratterizzazione. Sottoinsiemi chiusi di compatti sono compatti (*); famiglie decrescenti di compatti non vuoti hanno intersezione non vuota (*). Teorema di Heine-Borel e di Bolzano-Weierstrass. R esteso come spazio metrico. Norme e distanze.

5. Successioni. Successioni in spazi metrici e convergenza. Unicità del limite (*). Limitatezza delle successioni convergenti (*). Sottosuccessioni e punti di accumulazione (*); regolarità delle sottosuccessioni di una successione regolare (*). Successioni a valori reali e loro comportamento. Operazioni in R esteso e calcolo dei limiti. Forme d’indecisione. Teoremi della permanenza del segno e del confronto (*). Successioni monotone e loro regolarità (*). Il limite di sen(x_n)/x_n quando x_n tende a 0 (*) e i limiti fondamentali che se ne deducono (*). Il numero "e"; i limiti fondamentali che si deducono da “e” (*). Criterio del rapporto (*). Confronto tra infiniti ed infinitesimi, relazioni di “asintotico” e “o piccolo”. Successioni in R^k. Classe limite di successioni reali e sue proprietà (*); massimo e minimo limite e proprietà relative. Successioni di Cauchy in spazi metrici. Spazi metrici completi. Completezza di Rⁿ (*) ; completezza degli spazi metrici compatti.

6. Serie numeriche. Definizioni ed esempi basilari; convergenza assoluta. La condizione di Cauchy e sue conseguenze (*). Serie a termini reali di segno costante; criteri del confronto (*), della radice (*), del rapporto (*), di condensazione. Criterio di Leibniz (*); criterio di Dirichlet. Somma di serie. Proprietà associativa e commutativa per le serie; teorema di Riemann.

7. Funzioni e limiti di funzioni. Funzioni tra spazi metrici: definizione di limite ed esempi. Unicità del limite (*). Funzioni reali di variabile reale: definizione di limite nei vari contesti possibili. Funzioni limitate, estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di una funzione. Teoremi della permanenza del segno e del confronto (*). Calcolo dei limiti: limiti e operazioni algebriche, limiti e composizione. Limiti notevoli. Confronto tra infiniti ed infinitesimi, relazioni di “asintotico” e “o piccolo” e loro impiego. Asintoti al diagramma di una funzione. Limiti di funzioni e limiti successionali (*). Classe limite di una funzione.

8. Continuità. Continuità puntuale e globale di funzioni tra spazi metrici. Caratterizzazione della continuità globale mediante le controimmagine di aperti o chiusi (*). Continuità delle funzioni composte. Continuità delle funzioni reali di variabile reale. Funzioni elementari e continuità. Continuità e operazioni algebriche. Classificazione delle discontinuità di funzioni reali di una variabile reale. Continuità e compattezza (*), teorema di Weierstrass (*). Teoremi degli zeri, dei valori intermedi e di Darboux (*). Funzioni monotone ed esistenza dei limiti (*). Discontinuità delle funzioni monotone (*). Continuità della funzione inversa di una funzione continua invertibile su un intervallo. Uniforme continuità: definizione, teorema di Heine-Cantor. Lipschitzianità.

Dei teoremi contrassegnati con (*) potrà essere richiesta la dimostrazione in sede di esame orale.

Testi consigliati:

· P.M. Soardi: Lezioni di Analisi Matematica, Città Studi Edizioni, 2010.

· W. Rudin: Principi di Analisi Matematica, Mc Graw Hill Libri, Italia.

· L. De Michele, G. L. Forti: Analisi Matematica: problemi ed esercizi, CLUP.

· E. Giusti: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Bollati.

· B. Gelbaum, J. Olmsted: Counterexamples in analysis, Holden-Day.