Matematica del Continuo

C.L. in Comunicazione Digitale

Universita' di Milano - Anno Accademico 2009/2010

Prof. K. R. Payne e  Dott.ssa F. Messina (Edizione 2)

 

 

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29) L2

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6) E2

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Vacanza

 

 

 

 

 

Facolta'

Lezione

sospesa

 

 

 

Missione K

 

 

 

 

 

Test ingr.

Lezione

sospesa

 

 

 

Sospesa

Lezione

sospesa

 

 

 

 

L = Lezione 

E = Esercitazione

 

MATEMATICA del CONTINUO

 

LEZIONI ed ESERCITAZIONI

 

a.a. 2009/2010

Proff. K. Payne e F. Messina

 

 

Lezioni: (di due ore)

 

  1. Elementi di logica, insiemi numerici e funzioni
  2. Numeri naturali, interi, razionali e reali: irrazionalità della radice di due. I numeri reali come campo ordinato completo. Numeri complessi: motivazione, rappresentazione algebica e trigonometrica ed operazioni di somma, prodotto, coniugato, modulo.
  3. Numeri complessi: radici dell’unita’, calcolo di radici e decomposizione di polinomi complessi, teorema fondamentale dell’algebra, forma normale di funzioni razionali.
  4. Numeri naturali, interi, razionali e reali: numerabilità dei razionali e non numerabilità dei irrazionali, massimi e minimi per sottoinsiemi dei reali.
  5. Numeri naturali, interi, razionali e reali: l’estremo superiore/inferiore e legami con massimo/minimo, cenni sulla completezza dei reali. Principio di induzione ed illustrazioni: disuguaglianza di Bernouilli, binomio di Newton.
  6. Successioni: esempi di successioni in contesto informatico, proprietà definitivamente vere, monotonia e limitatezza,  sottosuccesioni.
  7. Limiti di successioni: nozione di limite, successioni convergenti/divergenti, unicità del limite e passaggio alle sottosuccessioni. Limitatezza di successioni convergente e regolarità di successioni monotone.
  8. Limiti di successioni: esempi notevoli (potenze, logaritmi, esponenziali), teorema del confronto (fattoriale e potenza di potenza), operazioni su limiti e forme di indecisione, il numero di Nepero.
  9. Limiti di successioni: confronto tra infiniti ed o piccolo, criteri del rapporto e della radice, operazioni con gli o piccoli, somma di infiniti, successioni asintotici, relazione tra o piccolo ed asintotico
  10. Limiti di successioni: altri simboli di Landau ( O grande, Omega grande, Theta grande) e terminologia (tipo di crescita potenza tramite Theta, esponenziale tramite confronto con potenze).
  11. Funzioni continue: motivazione, definizione, interpretazione grafica, operazioni con le funzioni continue
  12. Funzioni continue: punti di discontinuità e loro classificazione, continuità e non di funzioni elementari (razionali, esponenziali, logaritmi, trigonometriche, modulo, gradini, parte intere e frazionarie), cambiamento di variabili nei limiti.
  13. Funzioni continue: il teorema degli zeri e algoritmo per la costruzione, il teorema di Weierstrass
  14. Calcolo differenziale: motivazione della derivata, definizione di derivata e derivabile, esempi, equivalenza con differenziabilità, derivate di funzioni elementari, derivate di potenze di |x| (punti angolosi e cuspide)
  15. Calcolo differenziale: derivate di funzioni elementari (numero e, logaritmo, potenze reali, seno, coseno, operazioni con le derivate (somma, prodotto, quoziente, composta), cenni all’inversione e arcotangente.
  16. Calcolo differenziale: i teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy, monotonia e la ricerca di estremi, convessità, e suo ruolo in ottimizzazione, esempi notevoli di ottimizzazione
  17. Calcolo differenziale: teorema di De l’Hôpital e confronto di infiniti/infinitesimi, approssimazione mediante polinomi (la formula di Taylor).
  18. Calcolo differenziale:  uso di sviluppi per estremi locali, sviluppi delle funzioni elementari
  19. Calcolo integrale: il problema del calcolo delle aree, approssimazione ed esempio concreto con esaustione equipartita, l’ integrale di Riemann, esempi integrabili e non (funzione di Dirichlet ), prime proprietà (area con segno, valor medio, additività rispetto gli intervalli).
  20. Calcolo integrale: classe di funzioni integrabile secondo Riemann (Criterio di Cauchy, funzioni continue, monotone, limitate con numero finito di discontinuità, proprietà dell’integrale (proprietà algebriche, monotonia e stime, teorema della media, area con segno, additività ed annullamento). TFCI per funzioni continue, formula fondamentale del calcolo integrale.
  21. Calcolo integrale: dimostrazione del TFCI per funzioni continue, funzioni integrali e ruolo delle ipotesi del TFCI, esistenza di primitive. Integrale indefinito (definizione, proprietà, primi esempi). Calcolo delle primitive (per ispezione, per scomposizione, per sostituzione, per parti,)
  22. Calcolo integrale: integrazione in senso improprio (definizioni, calcolo di esempi notevoli, confronto e confronto asintotico)
  23. Somme e serie: somme finite o sommatorie (definizioni, esempi), manipolazione di somme finite (shift e cambio indice, spezzamenti), sommatorie doppie e prodotti di sommatorie, il problema di sommare infiniti numeri. Definizione di serie e carattere di una serie (convergente, divergente, irregolare) . Primi esempi (serie geometrica, serie di Mengoli, serie telescopiche). Condizione necessaria per la convergenza.
  24. Somme e serie: operazioni lineari, regolarità di serie a termini di segno definitivamente costante, criterio del confronto e confronto asintotico (incluso lettura tramite i diversi simboli di Landau), criterio della radice e del rapporto. Esempi. 
  25. Somme e serie: criterio dell’integrale. Convergenza assoluta e semplice. Esempi. Criterio di Leibniz. Esercizi sui diversi criteri di convergenza.
  26. Somme e serie: rapidità di convergenza/divergenza di serie (stime asintotiche sulle somme parziali (ridotte) oppure sui resti). Stima di Leibniz. Tecniche per serie a termini non negativi (formule esplicite per le ridotte, uso dei diversi criteri: dell’ integrali, di confronto semplice ed asintotico, del rapporto).
  27. Somme e serie: ripresa delle stime asintotiche della rapidità di convergenza/divergenza, confronto classico tramite i diversi simboli di Landau e stime asintotiche collegate ai vari simboli. Esercizi.
  28. Somme e serie: serie di potenze reali (raggio di convergenza, sviluppi di Taylor, somma della serie di Taylor). Manipolazione di serie di potenze (combinazioni lineari, prodotto di convoluzione, derivazione ed integrazione di somme, manipolazione tramite la serie geometrica)
  29. Ricorsione e funzioni generatrici: introduzione alle equazioni di ricorrenza (metodo di Newton per l’approssimazione di radici, i numeri di Fibonacci, numeri di Catalan, numeri ormonici, metodi classici via monotonia e limitatezza
  30. Ricorsione e funzioni generatrici: funzioni generatrici e risoluzione delle equazioni di ricorrenza (serie di potenze ordinaria, ricorrenze lineari a due termini, successione di Fibonacci), serie di potenze formali (natura algebrica e principio di identità, regole di manipolazione senza stime, derivazione ed integrazione)
  31. Ricorsione e funzioni generatrici: manipolazione di coefficienti in serie di potenze formali (shift dell’indice, moltiplicazione per polinomi, divisione per l’indice, convoluzione in serie di potenze formali ed i numeri di Catalan, somma parziale ed i numeri armonici)
  32. Ricorsione e funzioni generatrici:, conseguenze dell’analiticità (calcolo esatto di serie, stime asintotiche per soluzioni di un’equazione di ricorrenza, rilettura serie geometrica, altri esempi con razionali fratte ed esponenziali)

 

 

Esercitazioni: (di due ore)

 

  1. Funzioni: immagini, contro immagini, monotonia, simmetria, periodicità
  2. Funzioni: grafici di funzioni elementari, logaritmi e loro proprietà, trasformazioni di grafici
  3. Numeri complessi: passaggio da rappresentazione algebrica a trigonometrica, e vice versa, calcoli di operazioni su numeri complessi, risoluzione di equazioni polinomiali
  4. Numeri complessi: decomposizione di polinomi in campo reale e complesso, determinazione di forma normale di funzioni razionali (a coefficienti reali) in campo reale
  5. Sup/inf e max/min: verifica comprensione. Proprietà definitive di successioni
  6. Verifiche delle nozione di limiti e dei simboli di Landau
  7. Determinazione del comportamento asintotico di una successione
  8. Verifica della definizione di limiti e continuità, manipolazione dei simboli di Landau per funzioni
  9. Calcolo di derivate ed applicazioni a monotonia (e forse convessità)
  10. Estremi locali/globali
  11. Calcolo e manipolazione di sviluppi di Taylor
  12. Comportamento asintotico di funzioni e successioni mediante sviluppi
  13. Calcolo di primitive
  14. Calcolo di integrali definiti, aree
  15. Calcolo di integrali impropri, aree
  16. Manipolazione di somme finite (usando anche parti interi), carattere di serie.
  17. Carattere di serie e stime asintotiche collegate
  18. Carattere di serie, raggio di convergenza di serie di potenze (reale), manipolazione di serie di potenze e calcolo di somme
  19. Funzioni generatrici di successioni assegnate
  20. Risoluzione di equazioni di ricorrenza lineari a due o tre termini
  21. Esercizi di riassunto
  22. Esercizi di riassunto
  23. Simulazione scritto
  24. Correzione simulazione