Analisi Matematica II

            C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni

            Universita' di Milano - Anno Accademico 2007/2008

                  Prof. K. R. Payne e i Dott. M. Calanchi, C. Tarsi, e L. Vesely

 

 

CALENDARIO DELLE LEZIONI ED ESERCITAZIONI (PROVISORIO)

 

 

 

MAR

MER

VEN

Feb

 

27) L1 + L2

29) L3 + E1

Mar

4)  L4 + E2

5) L5 + E3

7) L6 + E4

 

11) L7 + E5

12) L8 + E6

14) L9 + E7

 

18) L10 + E8

19) L11 + E9

21) ----VACANZA----

 

25) ----VACANZA----

26) ----VACANZA----

28) L12 + E10

 

1) L13 + E11

2) L14 + E12

4) L15 + E13

Apr

8) L16 + E14

9) L17 + E15

11) L18 + E16

 

15) L19+ E 17

16) L20 + E 18

18) L21 + E19

 

22) L22 + E20

23) ER1

25) ----VACANZA----

 

29) ----Compitini----

30) ----Compitini----

2) ----Compitini----

Mag

6) L23 + L24

7) L25 + E21

9) L26 + E22

 

13) L27 + E23

14) L28 + E24

16) L29 + E25

 

20) L30 + E26

21) L31+ E27

23) L32 + E28

 

27) L33 + E29

28) L34 + E30

30) L35 + E31

 

3) L36 + E32

4) L37 + E33

6) LCA1 + E34

Giu

10) LCA2 + E35

11) LCA3 + E36

13) LCA4 + ER2

 

 

L = Lezione 

 

LCA = Lezione Corso Avanzato

E = Esercitazione

ER =  Esercitazione di Riassunto

 

Integrazione: 12 ore

  1. Introduzione del corso: cose burocratiche e introduzione ai problemi da affrontare
  2. Primitive e l'integrale indefinito: condizione necessaria, non unicita’ della primitiva, integrale indefinito.
  3. Integrazione per ispezione, linearita’, per parti, per sostituzione
  4. L'integrale di Riemann. Motivazione, definizione, e primi esempi e controesempi. Il criterio di Cauchy.
  5. Dimostrazione del criterio di Cauchy e classe di funzioni integrabili: continue, monotone, continue a tratti.
  6. Proprieta' dell'integrale: linearita’, decomposizione del dominio, monotonia, segno. Teorema della media integrale.
  7. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale: Funzioni integrali, il teorema fondamentale, esistenza di primitive, formula fondamentale del calcolo integrale.
  8. Calcolo di integrali definiti: integrazione per parti, cambiamento di variabili, simmetrie. Altre funzioni definite mediante integrali.
  9. Integrali impropri: definizioni ed esempi.
  10.  Integrali impropri. Criterio del confronto, confronto asintotico. Funzioni di confronto.
  11.  Convergenza assoluta di integrali impropri. Comportamento asintotico di funzioni integrali. Studio qualitativo di una funzione integrale.

 

Serie: 6 ore

  1. Introduzione alle serie numeriche. Definizioni e primi esempi.
  2. Criteri di convergenza per le serie. Condizione necessaria, di Cauchy. Serie a termini con segno costante: regolarita’ ed il criteri del confronto.
  3. Criterio e del confronto asintotico, dell'integrale, del rapporto.
  4. Criterio della  radice, della condensazione. Convergenza assoluta delle serie.
  5. Convergenza assoluta e condizionata delle serie. Criterio di Leibniz.
  6. Convergenza incondizionata ed i teoremi di Dirichlet e di Riemann.  Il prodotto di Cauchy ed il teorema di Mertens.

 

Funzioni di piu’ variabili: 14ore

  1. Introduzione alle funzioni di piu’ variabili. Spazi metrici:  definizione, intorni sferici ed esempi
  2. Spazi metrici: esempi, insiemi aperti, la topologia metrica.
  3. Spazi metrici. Proprieta' di Hausdorff. Punti interni, esterni, di bordo, di accumulazione. Insiemi aperti, chiusi, limitati. Proprieta' elementari ed esempi..
  4. Spazi metrici: metriche equivalenti, metriche indotte da norme. Definizioni e prime osservazioni su convergenza di successioni, completezza, successioni di Cauchy, limiti e continuita' di funzioni tra spazi metrici..
  5. Limiti negli spazi metrici: esempi elementari tramite la definizione, unicita' del limite, limiti e restrizioni, limiti e successioni.
  6. Continuita' in spazi metrici. Definizione e la sua forma topologica. Continuita’ delle funzioni composte. Limiti e continuita’ per funzioni da R^n in R^m:
  7. Limiti e continuita’ per funzioni da R^n in R^m: proprieta’ elementari e regole di conto.
  8. Calcolo differenziale in piu’ variabili. Derivate direzionali, derivate parziali, e funzione gradiente per funzioni a valori reali. Motivazione per il concetto di differenziabilita’
  9. Differenziabilita’ e le prime conseguenze. Iperpiano tangente al grafico di una funzione differenziabile. Teorema del differenziale totale.
  10. Differenziabilita’ per funzioni a valor vettoriali. Definizione e prime conseguenze. Differenziazione di funzioni composte.
  11. Il Teorema di Lagrange e conseguenze: teorema sul gradiente nullo e teorema del incremento finito.
  12. Derivate parziali di ordine superiore ed il teorema di Schwarz. Differenziabilita’ del secondo ordine e funzioni di classe C^2.
  13. La formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano e di Lagrange. Estremi locali per funzioni di piu’ variabili.
  14. Estremi locali per funzioni di piu’ variabili. Condizioni necessarie e sufficienti.
  15. Estremi globali ed il Teorema di Weierstrass.

 

Equazioni differenziali: 5 ore

  1. Introduzione alle equazioni differenziali: generalita’, e primi esempi. Equazioni del primo ordine. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicita’ locale.
  2. Equazioni a variabili separabili. Risoluzione, l’equazione di crescita’ esponenziale e l’equazione logistica. Osservazioni  sullo studio qualitativo.
  3. Equazioni lineari del primo ordine: il caso omogeneo e non. Teorema di esistenza ed unicita’ globale.
  4. Equazioni di Bernoulli, omogenee, di Ricatti.
  5. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine k. Equazione omogenea associata, soluzione generale, struttura dell’insieme delle soluzioni. Risoluzione di equazioni non omogenee con termini noti di forma particolare.

 

Esercitazione:

 

Integrazione: 12 ore

Primitive – 5 ore (E1 – E5)

Integrali definiti – 2 ore (E6 – E7)

Integrali impropri – 3 ore (E8 – E9)

Funzioni integrali – 3 ore (E10 – E12)

 

Serie:  6 ore

Somme e condizione necessaria – 1 ora (E13)

Criteri: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice, condensazione, Leibniz  – 2 ore (E14 – E15)

Serie con parametro (carattere di serie) –  2 ore (E16 – E17)

Serie con termini non espliciti: via integrali,  successioni per ricorrenza – 1 ora (E18)

 

Funzioni di piu’ variabili: 12 ore

Insiemi aperti, chiusi, compatti, limitati. Punti interni, esterni, isolati, di accumulazione – 2 ore (E19 - E20)

Limiti e continuita’ via la definizione, introduzione alle stime,  norme equivalenti – 2 ore (E21-E22)

Derivate parziali, direzionali, iperpiano tangente e regola della catena – 2 ore (E23 – E24)

Continuita’, derivabilita’ differenziabilita’ – 2 ore (E25 – E26)

Derivate di ordine superiore e formula di Taylor – 1 ora (E27)

Estremi locali per funzioni regolari, irregolari - 2 ore (E28 – E29)

Estremi locali di funzioni integrali ed estremi globali– 1 ora (E30)

 

Equazioni differenziali: 6 ore

Equazioni a variabili separabili e generalita’ – 2 ora (E31 – E32)

Equazioni lineari del primo ordine Bernoulli, omogenee, Riccatti  - 2 ore (E33 – E34)

Equazioni lineari a coefficienti costanti di ordine k – omogenee e non – 2 ore (E35 – E36)