Analisi Matematica II

C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni

Universita' di Milano - Anno Accademico 2008/2009

Prof. K. R. Payne e la Dott.ssa M. Calanchi (Edizione 1)

 

 

 

CALENDARIO DELLE LEZIONI ED ESERCITAZIONI (PROVISORIO)

 

 

MAR

MER

VEN

Mar

3) L1+ L2

4) L3 + L4

6) E1 + E2

 

10)  L5 + E3

11) L6 + L7

13) E4 + E5

 

17) L8 + E6

18) L9 + L10

20) E7 + E8

 

24) L11 + E9

25) L12 + L13

27) E10 + E11

Apr

31) L14 + L15

1) L16 + L17

3) E12 + E13

 

7) E14 + E15

8) L18 + L19

10) ----VACANZA----

 

14)----VACANZA----

15)----VACANZA----

17) E16 + E17

 

21) E18 + E19

22) L20 + L21

24) ER1 + ER2

Mag

28)  ----Compitini----

29)  ----Compitini----

1) ----VACANZA----

 

5) L22 + E20

6) L23 + L24

8) E21 + E22

 

12) L25 + E23

13) L26 + L27

15) E24 + E25

 

19) L28 + E26

20) L29 + L30

22) E27 + E28

 

26) L31 + E29

27) L32 + L33

29) E30 + E31

Giu

2) ----VACANZA----

3) L34 + L35

5) E32 + E33

 

9) L36 + E34

10) L37 + ES 35

12) E36 + E37

 

16)

 

 

 

L=Lezione

E= Esercitazione

 

 

LCA= Lezione Corso Avanzato

ER= Esercizi di Riassunto

 

 

 

L = Lezione 

LCA = Lezione Corso Avanzato

E = Esercitazione

ER =  Esercitazione di Riassunto

 

Integrazione: 13 ore

  1. Introduzione del corso: cose burocratiche e introduzione ai problemi da affrontare
  2. Primitive e l'integrale indefinito: condizione necessaria, non unicita’ della primitiva, integrale indefinito.
  3. Integrazione per ispezione, linearita’, per parti, per sostituzione
  4. L'integrale di Riemann. Motivazione, definizione, e primi esempi e controesempi. Il criterio di Cauchy.
  5. Dimostrazione del criterio di Cauchy
  6. Classe di funzioni integrabili: continue, monotone, continue a tratti.
  7. Proprieta' dell'integrale: linearita’, decomposizione del dominio, monotonia, segno. Teorema della media integrale.
  8. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale: Funzioni integrali, il teorema fondamentale, esistenza di primitive, formula fondamentale del calcolo integrale.
  9. Calcolo di integrali definiti: integrazione per parti, cambiamento di variabili, simmetrie. Altre funzioni definite mediante integrali.
  10. Integrali impropri: definizioni ed esempi.
  11.  Integrali impropri. Criterio del confronto, confronto asintotico. Funzioni di confronto.
  12. Convergenza assoluta di integrali impropri.
  13. Funzioni integrali generalizzati. Studio qualitativo di una funzione integrale.

 

Serie: 6 ore

  1. Introduzione alle serie numeriche. Definizioni e primi esempi.
  2. Criteri di convergenza per le serie. Condizione necessaria, di Cauchy. Serie a termini con segno costante: regolarita’ ed il criteri del confronto.
  3. Criterio e del confronto asintotico, dell'integrale, del rapporto.
  4. Criterio della  radice, della condensazione. Convergenza assoluta delle serie.
  5. Convergenza assoluta e condizionata delle serie. Criterio di Leibniz.
  6. Convergenza incondizionata ed i teoremi di Dirichlet e di Riemann.  (Il prodotto di Cauchy ed il teorema di Mertens).

 

Funzioni di piu’ variabili: 12 ore

  1. R^n come spazio vettoriale, spazio metrico, spazio euclideo.Limiti e restrizioni, limiti e successioni  (strumenti per non-esistenza).
  2. Spazi metrici: metriche equivalenti, metriche indotte da norme, stime per fare limiti non banali. Limiti e continuita’ per funzioni da R^n in R^m: proprieta’ algebriche, riduzione ai componenti,  e regole di conto.
  3. Calcolo differenziale in piu’ variabili. Derivate direzionali, derivate parziali, e funzione gradiente per funzioni a valori reali. Motivazione per il concetto di differenziabilita’
  4. Differenziabilita’ e le prime conseguenze. Iperpiano tangente al grafico di una funzione differenziabile. Teorema del differenziale totale.
  5. Differenziabilita’ per funzioni a valor vettoriali. Definizione e prime conseguenze.
  6. Differenziazione di funzioni composte.
  7. Il Teorema di Lagrange e conseguenze: teorema sul gradiente nullo e teorema del incremento finito.
  8. Derivate parziali di ordine superiore ed il teorema di Schwarz.
  9. Differenziabilita’ del secondo ordine e funzioni di classe C^2. La formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano e di Lagrange.
  10. Estremi locali per funzioni di piu’ variabili: condizioni necessarie e sufficienti per funzioni regolari.
  11. Estremi locali per funzioni di piu’ variabili: tecniche per funzioni irregolari (stime sul incremento e Weierstrass)
  12. Estremi globali ed esercizi di riassunto

 

Equazioni differenziali: 6 ore

  1. Introduzione alle equazioni differenziali: generalita’, e primi esempi. Equazioni del primo ordine. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicita’ locale.
  2. Equazioni a variabili separabili. Risoluzione, l’equazione di crescita’ esponenziale e l’equazione logistica. Osservazioni  sullo studio qualitativo.
  3. Equazioni lineari del primo ordine: il caso omogeneo e non. Teorema di esistenza ed unicita’ globale.
  4. Equazioni di Bernoulli, omogenee, (di Riccati).
  5. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine k. Equazione omogenea associata, soluzione generale, struttura dell’insieme delle soluzioni. (Risoluzione di equazioni non omogenee con termini noti di forma particolare).
  6. Equazioni differenziali di ordine superiore: problemi al contorno

 

 

Esercitazione:

 

Integrazione: 13 ore

Primitive – 5 ore (E1 – E5)

Integrali definiti, integrabilita’ secondo Riemann, esistenza di primitive  3ore (E6 – E8)

Integrali impropri – 3 ore (E9 – E10)

Funzioni integrali – 3 ore (E11 – E13)

 

Serie:  6 ore

Somme e condizione necessaria – 1 ora (E14)

Criteri: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice, condensazione, Leibniz  – 2 ore (E15 – E16)

Serie con parametro (carattere di serie) –  2 ore (E17 – E18)

Serie con termini non espliciti: via integrali,  successioni per ricorrenza – 1 ora (E19)

 

Funzioni di piu’ variabili: 11 ore

Limiti e continuita’ via la definizione, introduzione alle stime,  norme equivalenti – 2 ore (E20-E21)

Derivate parziali, direzionali, iperpiano tangente, regola della catena, (EDP)– 2 ore (E22) – (E23)

Continuita’, derivabilita’ differenziabilita’ – 2 ore (E24 – E25)

Derivate di ordine superiore e formula di Taylor – 1 ora (E26)

Estremi locali per funzioni regolari, irregolari - 2 ore (E27 – E28)

Estremi locali via controllo del incremento (funzioni integrali) – 1 ora (E29)

Estremi globali – 1 ora (E30)

 

Equazioni differenziali: 6 ore

Equazioni a variabili separabili e lineari del primo ordine – 2 ore (E31 – E32)

Equazioni di Bernoulli, omogenee, Riccatti  - 2 ore (E33 – E34)

Equazioni lineari a coefficienti costanti di ordine k omogenee, problemi al contorno – 2 ore (E35 – E36)