Lezione 1: [25/01/02] – Presentazione del corso e richiami su notazioni e concetti di base:

Insiemi, relazione di appartenenza, esempi di insiemi numerici, relazione parziale di inclusione. I numeri naturali N: le assiomi di Peano, sottoinsiemi propri di N in correspondenza biunivoca con N, insiemi numerabili. I numeri interi relativi Z, i numeri razionali Q.

Lezione 2: [26/02/02] – Il campo dei numeri reali R ed il concetto di funzione:

Le assiomi del campo ordinato completo. Q e' un campo ordinato ma non e' completo. Invervalli, intorni circolari in R. Il valor assoluto. Il concetto di funzione, dominio, codominio, immagine, iniettivita', suriettivita', biettivita': definizioni ed esempi. Funzioni costante, costante a tratti. La funzione valor assoluto di x. Restrizione di una funzione ad un sottoinsieme del suo dominio. Definizione della funzione inversa ed invertibilita' di funzioni iniettiva.

Lezione 3: [01/03/02] –  Funzioni da R in R

Esercizi sulla iniettivita'/invertibilita' di una funzione. Funzioni monotone e test per l'invertibilta'. Esempi. Definizione
di funzione pari, dispari, convesse, concave. Funzioni di potenze ad esponente naturale:  grafici e prime proprieta'.
Funzioni di potenze ad esponente intero, razionale. Esercizi ed osservazioni.

Lezione 4: [05/03/02] – Funzioni esponenziali/logaritmiche ed il concetto dell'estremo superiore:

Funzioni di potenza ad esponente reale (discorso huristico). Funzioni esponenziali/logaritmiche: grafici e prime proprieta'. Esercizi. Definizione di insieme limitato superiormente/inferiormente. Definzione di massimo/minimo di un'insieme.
Teorema sulla esistenza del estremo superiore/inferiore in R. Esempi ed applicazioni dell'estremo superiore/inferiore.

Lezione 5: [08/03/03] - L'estremo superiore/inferiore e funzioni trigonometriche:

Dimostrazione del Teorema sulla esistenza di sup/inf in R. Esempi ed applicazioni dell'uso di sup/inf. Caraterizzazione del sup/inf , legame con max/min, esempi. Funzioni circolari sin(x) e cos(x): definizione, prime proprieta' (limitatezza, periordicita', simmetria, relazione di Pitagora, formule di  "somma degli angoli", grafici. Funzione tan(x) definizione, proprieta', grafico. Esempi ed esercizi: risoluzione di equazioni/disequazioni.
 

Lezione 6: [11/03/02] - Successioni a valori in R

Definizione come funzione da N in R,  come insieme numerabile ordinato. Esempi, commenti e notazione.
Prime proprieta' : limitatezza, monotonia e segno. Il concetto di una proprieta' che vale definitivamente.
Esempi ed esercizi. Limite di una successione: idea intuitiva e definizione di limite. Esempi.

Lezione 7: [12/03/02] - Limiti di successioni.

Osservazioni sulla definizione di limite/successione convergente. Esempi. Successioni divergenti.
Successioni regolari/irregolari. Teorema sulla regolarita' delle successioni monotone. Primi limiti notevoli.
Strumenti per il calcolo di limiti: criterio del confronto, operazioni algebriche. Esempi e commenti.
Forme di indecisione.

Lezione 8: [15/03/02] - Calcolo di limiti

Richiami sulle forme di indecisione. Successioni infiniti ed infinitesimi. Proprieta' algebiche delle successioni infiniti/infinitesimi. Esempi. Limiti notevoli: formule di limite con potenze, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche. La disuguaglianza di Bernoulli. Il numero “e” e forme di indicisione 1^(infinito). Esempi ed esercizi.
 

Lezione 9: [18/03/02] - Calcolo di limiti

Limiti notevoli: infiniti di ordine crescente ed il concetto di "o". Criterio del rapporto.  Esempi.
Richiami su "n!". Esercizi di riassunto. Commenti sugli strumenti ancora di sviluppare (continuita' e la frormula di Taylor).

Lezione 10: [19/03/02] - Successioni definite per ricorrenza

Definizione ed impostazione del problema di analizzare un processo iterativo. Esempio della progressione geometrica.
Metodo implicito per l'analisi di una successione definita per ricorrenza: punti fissi, monotonia, linitatezza.
Esempi. L'algoritmo di Erone.

Lezione 11: [22/03/02]  - Successioni definite per ricorrenza e numeri complessi

Esercizi sull'analisi di una successione definita per ricorrenza. I numeri complessi C: forma algebrica ed il piano complesso.
Operazione algebriche e la struttura di campo. Il conuigato complesso e modulo di un numero complesso.
Convergenza di successioni a valore in C. Forma trigonmetrica e coordinate polari. Potenze e radici di numeri complessi.
Esempi.

Lezione 12: [26/03/02] - Limiti di funzioni

Il concetto del limite, esempi ed osservazioni. Limite destro/sisistro. Prime proprieta' del limite: unicita', limitatezza locale, permanenza del segno. Strumenti per il calcolo: criterio del confronto, proprieta' algebriche, forme di indicisione. Teorema sulla esistenza del limite per funzioni limitate e monotone.

Lezione 13: [27/03/02] - Continuita'

Definizione di continuita' in un punto/in un'insieme. Primi esempi: continuita' delle funzioni elementari sul loro dominio.
Tipi di discontinuita': discontinuita' eliminabile, punto di salto, discontinuita' di seconda specie, esempi ed esercizi.
Prime proprieta': limitatezza locale, permanenza del segno, proprieta' algebiche. Teorema sulla composizione di funzioni continue.

Lezione 14: [09/04/02] - Proprieta' fondamentali delle funzioni continue

Teorema degli zeri: enunciato, osservazioni sull'ipotesi, dimostrazione via il metodo di bisezione. Esempi ed esercizi.
Teorema dei valori intermedi: enunciato e dimostrazione. Teorema di Weierstrass (esistenza di massimo/minimo): enunciato ed osservazioni sull'ipotesi. Esempi ed esercizi.

Lezione 15: [10/04/02] - Derivate

Motivazione per il concetto della derivata di una funzione. Definizione di derivabilita' in un punto ed in un insieme.
Derivata destra/sinistra. Primi esempi: funzioni costanti, affine, il valor assoluto, sin(x), cos(x), potenze. Velocita' ed accelerazione istantanea. La retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Esempi.

Lezione 16: [12/04/02] - Derivate

Derivabilita' e continuita'. Esempi di funzioni continue ma non derivabile: punti angolosi e cuspidi. Calcolo delle
derivate. Teorema sulle operazioni algebriche. Teorema sulla composizione (la regola della catena). Teorema sulla derivata della funzione inversa. Osservazioni, esempi, esercizi.

Lezione 17: [17/04/02] - Derivate

Esercizi e complementi. La retta tangente e nuovi "limiti notevoli".

Lezione 18: [18/04/02] - Applicazioni delle derivate

Estremi locali e globali. Il teorema di Fermat sugli estremi locali. I teoremi di Rolle e Lagrange.  Monotonia di una funzione e la prima derivata, estremi locali. Convessita' di una funzione e la seconda derivata. Punto di flesso. Esempi ed esercizi.

Lezione 19: [23/04/02] - Studio qualitativo di una funzione

Data una funzione lo studio del dominio, evenutuali simmetrie, limiti agli estremi, asintototi verticali/orizzontali/obliqui, monotonia ed estremi locali, convessita' e punti di flesso. Esempi ed esercizi.

Lezione 20: [29/04/02] - La formula di Taylor ed il calcolo di limiti

Il teorema di De l'Hopital sul calcolo di limiti in forma d'indecisione. Esempi ed esercizi. La formula di Taylor di ordine n con resto di Peano. Il polinomio di Taylor. Esempi.

Lezione 21: [30/04/02] - La formula di Taylor

Esempi ed esercizi. I simboli di Landau "o" e "~". Proprieta' elementari dei "o". Esempi ed esercizi sul calcolo di limiti tramite gli sviluppi di Taylor.

Lezione 22: [06/05/02] - Serie numeriche

Definizione di serie, successione di somme parziali, serie convergente, divergente, indeterminata. Esempi del calcolo della somma di una serie; la serie geometrica e la serie di Mengoli. Serie telescopiche. La serie armonica. Osservazioni e prime proprieta' delle serie. Condizione necessarie per la convergenza. Esempi ed esercizi.

Lezione 23: [07/05/02] - Serie numeriche

Proprieta' algebriche e criteri di convergenza (del confronto, del confronto asintotico, degli infinitesimi, del rapporto, della radice). La serie armonica generalizzata. Esempi ed esercizi sull'uso dei criteri.

Lezione 24: [10/05/02] - Serie numeriche

Esercizi di riassunto. Serie alternate e il criterio di Leibniz. Convergenza assoluta e semplice. Esempi ed esercizi.

Lezione 25: [13/05/02] - Integrali definiti e l'integrale di Riemann

Motivazione tramite il problema dell'area. Metodi di approssimazione per ecesso/difetto. Esempi elementari. L'integrale secondo Riemann per funzioni limitate su un'intervallo limitato: partizioni, somme superiore/inferiore, l'integrale superiore/inferiore. Integrabilita' secondo Riemann. Esempi di funzioni integrabili e non.

Lezione 26 - [14/05/02] - Integrali definiti ed il teorema fondementale del calcolo integrale

Proprieta' degli integrali definiti: l'integrale e l'are, additivita' risp. al dominio, linearita' e monotonia risp alla funzione integranda. Il valor medio di una funzione integrabile. Esempi ed esercizi. Il criterio di integrabilita' di Cauchy e classe di funzioni integrabili: funzioni limitate e continue/monotone/continue a tratti. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
e conseguenze sul calcolo degli integrali definti.

Lezione 27 - [17/05/02] - Integrali indefiniti

Definizione di funzione primitiva e l'esistenza per funzioni continue (TFCI). L'integrale indefinito. Esempi elementari degli integrali indefiniti. Regole di integrazione e formule di antidifferenziazione. Esempi ed esercizi sull'uso del TFCI.

Lezione 28 - [21/05/02] - Calcolo degli integrali

Tecniche di integrazione: per inspezione, scomposizione, sostituzione. Applicazioni degli integrali: l'area di una figura piana, volume di un solido di rotazione, il valor medio, le funzioni integrali. Esempi ed esercizi.

Lezione 29 - [24/05/02] - Integrali impropri

Definzione di integrale improprio (in senso generalizzato) per funzioni definite su un intervallo illimitato e per funzioni illimitate. Esempi elementari. Criteri per la convergenza di un'integrale improprio: per confronto, per confronto asintotico.
Esempi ed esercizi.

Lezione 30 - [27/05/02] - Integrali impropri e funzioni integrali

Esercizi di riassunto sul calcolo/convergenza degli integrali improri. Il dominio di una funzione integrale ed integrazione in senso generalizzato. Lo studio qualitativo di una funzione integrale. Applicazioni delle funzioni integrali.

Lezione 31 - [28/05/02] - Equazioni differenziali

Definizione di equazione differenziale di ordine n, soluzione di un'equazione differenziale. Esempi elementari:
primitive, funzioni integrali. Il concetto di soluzione generale e soluzione particolare. Il problema di Cauchy.
Esempi dalle scienze: le equazioni di Newton, Malthus, Verhulst. Equazioni a variabili separabili: soluzioni costanti e metodo per la risoluzione. Esempi ed esercizi.

Lezione 32 - [31/05/02] - Equazioni differenziali

L'integrazione del modello logistico (Verhulst). Equazioni lineari del primo ordine. Formule per le soluzioni
generali e per le soluzione del problema di Cauchy. Esempi, esercizi, osservazioni.

Lezione 33 - [03/06/02] - Equazioni differenziali e chisura del corso

Esercizi sulla risoluzione di equazioni differenziali (equazioni separabili ed equazioni lineari). Commenti finali sul corso.