Lezione 1: [9/10/01] – Presentazione del corso e richiami su notazioni e concetti di base:

 Lo spazio R^n: prodotto scalare,  norma euclidea, funzione di distanza, sottoinsiemi particolari, insiemi aperti/chiusi, insiemi limitati, convergenza di successioni a valori in R^n, insiemi compatti.

Lezione 2: [10/10/01] – Richiami su notazioni e concetti di base:

Limiti e continuita’ per funzioni in piu’ variabili: definizioni ed esempi. Calcolo differenziale per funzioni in piu’ variabili: derivate parziali/direzionali, il gradiente, esempi di equazioni alle derivate parziali, differenziabilita’, il differenziale, la matrice jacobiana, gli spazi C^k(A). La formula di Taylor in piu’ variabili: richiami ed esercizi, piano (spazio) tangente al grafico di una funzione differenziabile, la matrice hessiana e massimi/minimi locali.

Lezione 3: [11/10/01] – Convessita’ di funzioni in piu’ variabili:

Richiami sulla convessita’ per funzioni da R in R: definizione e criterio per convessita’. Definzione ed esempi di insiemi convessi in R^n. Definizione ed esempi di convessita’ di funzioni (definite  in uno convesso a valori in R). Osservazioni sulla regolarita’ di funzioni convesse. Caratterizzaione tramite l’epigrafico. Criterio di convessita’ per funzioni differenziabili in A/ funzioni di classe C^2(A) con A convesso. Esercizi.

Lezione 4: [16/10/01] – Funzioni implicite:

Problemi di funzioni/curve definite implicitamente da un’equazione in due variabili. Esempi ed osservazioni. Teorema di Dini in due variabili. Teorema sulla derivazione della funzione implicita. Esercizi su il teorema di Dini in due variabili: esistenza di funzioni implicite/ soluzioni di equazioni funzionali e lo sviluppo di Taylor di esse.

Lezione 5: [17/10/01] – Funzioni implicite:

Esercizi su il teorema di Dini in due variabili. Il teorema di Dini in piu’ variabili (dimostrazione per esercizio). Esercizi su il teorema di Dini in piu’ variabili. Motivazione per il teorema di Dini per sistemi di equazioni.

Lezione 6: [18/10/01] – Funzioni implicite:

Il teorema di Dini per sistemi di equazioni (senza dimostrazione). Discussione sulle ipotesi del teorema. Esercizi. Elenco (parziale) di applicazioni dei teoremi di Dini.

Lezione 7: [23/10/01] – Applicazioni del teorema di Dini:

Teorema sulle curve di livello (curve definite implicitamente), l’equazione della retta tangente ad una curva di livello regolare. Esempi e il rolo dei punti critici.  Teorema sulle superfici di livello (dimostrazione per esercizio), l’equazione del piano tangente ad una superficie regolare. Invertibilita’ locale: riassunto della situazione per funzioni da R in R. Esempi. Definizione di diffeomorfismo locale/globale di classe C^k. Teorema della funzione inversa (invertibilita’ locale).

Lezione 8: [24/10/01] – Inversione locale e diffeomorfismi

Fine della dimostrazione del teorema della funzione inversa. Equivalenza fra jacobiano non nullo e diffeomorfismo locale. Esercizi: cambiamento lineare di variabili, coordinate polari, coordinate cilindriche, coordinate sferciche.

Lezione 9: [25/10/01] - Inversione globale e massimi/minimi vincolati

Il problema della invertibilita' globale. Condizioni neccessarie affinche' una funzione f sia invertibile su un dominio dato: il jacobiano di f non nullo, f manda l'interno del dominio nel interno dell'imagine e il bordo nel bordo. Esempi. Teorema sulla invertibilita' globale (senza dimostrazione). Il problema degli estremi vincolati. Definizione di un vincolo regolare. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di due variabili. Definizione di punto critico vincolato e relazione con punti critici della funzione lagrangiana. Esempi del uso del metodo di moltiplicatori di Lagrange incluso il metodo variazionale per trovare gli autovalori di una matrice simmetrica.

Lezione 10: [30/10/01] - Massimi/minimi vincolati

Condizione sufficiente affinche' un punto critico vincolato sia un estremo locale. Esempi. Il caso di un vincolo in piu' variabili. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange e la natura di punti critici vincolati. Esempi. Cenno sul caso di piu' vincoli. Definizione di un sistema regolare di vincoli e conseguenze.

Lezione 11: [31/10/01] - Curve in R^n: concetti fondamentali

Definizione di curva (parametrica) in R^n, equazioni parametriche di una curva, sostegno di una curva, vettore di velcita', velocita' scalare. Esempi. Osservazioni su curve: diverse parametrizzazioni con lo stesso sostegno e l'orientazione indotta dal parametrizzazione. Tipi di curve: semplice, chiusa, piana. Esempi ed esercizi. Definzione di curva regolare e regolare a tratti. Conseguenze della regolarita': versore tangente e retta tangente ad una curva regolare. Esempi.

Lezione 12: [06/11/01] - Curve rettificabili: lunghezza di una curva

Definizione di curva rettificabile e lunghezza di una curva rettificabile. Rettificabilita' di curve di classe C^1. Curve continue ma non rettificabili, lunghezza del grafico di una funzione da R in R, lunghezza di una curva polare. Esempi ed esercizi. Proposizione sulla decomposizione di curve (dimostrazione per esercizio).

Lezione 13: [07/11/01] - Curve rettificabili: lunghezza di una curva

Rettificabilita' di curve C^1 a tratti. Curve equivalenti nel senso C^0 e nel senso C^1. Invarianza della lunghezza di una curva rispetto un cambiamento ammissibile di parametro (omeomorfismo/diffeomorfismo). Cambiamento di variabile nel caso di una curva regolare. Il parametro di lunghezza d'arco sia nel caso generale di una curva rettificabile sia nel caso di una curva regolare. Parametrizzazione di una curva regolare rispetto lunghezza d'arco. Esempi.

Lezione 14: [08/11/01] - Integrale curvilineo di una funzione

Definizione dell'integrale di una funzione lungo una curva rispetto lunghezza d'arco. Invarianza dell'integrale rispetto un cambiamento ammisibile di parametro.  Prime proprieta' dell'integrale: linearita' e monotonia rispetto la funzione integranda, stima sul modulo dell'integrale curvilineo, decomposizione della curva. Definizione di valor medio di una funzione lungo una curva e baricentro di una curva. Il caso di curve piane: interpretazione geometrica dell'integrale curvilineo, grafici e curve polari. Esempi ed esercizi.

Lezione 15: [ 13/11/01] – Campi vettoriali ed integrali di linea

Campi vettoriali ed il concetto di lavoro. Definizione di integrale di linea di un campo vettoriale lungo una curva regolare/regolare a tratti.Esempi e prime proprieta’: linearita’, dipendenza dall’orientazione e parametrizzazione, scomposizione di curve. Campi conservativi e funzione potenziale. Caratterizzazione di campi conservativi tramite proprieta’ dell’integrale di linea. Esempi ed esercizi.

Lezione 16: [14/11/01] – Forme differenziali lineari

Definizione di forme differenziale lineare. Il differenziale di una funzione. Campo vettoriale associato ad una forme differenziale. Integrale di una forme differenziale lungo una curva regolare a tratti. Prime proprieta’. Forme estate e le funzioni primitive. Caratterizzazione di forme estate tramite I loro integrale lungo curve. Esempi ed esercizi.

Lezione 17: [15/11/01] – Forme estate e forme chiuse

Definizione di forme differenziale chiusa in un aperto di R^n. Relazione generale fra forme chiuse e forme estate. Domini stellati. Teorema sulle forme chiuse in un dominio stellato; costruzione di una funzione primitiva. Esercizi su domini stellati e forme chiuse/estate.

Lezione 18: [20/11/01] – Forme differenziali e campi vettoriali

Dimostrazione del teorema sulle forme chiuse in un dominio stellato. Campi vettoriali irrotazionale in R^n. Il rotore di un campo in R^3. Correspondenze fra forme estate/chiuse e campi conservativi/irrotazionali. Altre formule per le primitive di una forma esatta/ le funzioni potenziali di un campo conservativo; I casi di rettangoli, coni aperti per forme/campi omogenei. Esercizi.

Lezione 19: [21/11/01] – Integrali multipli secondo Riemann

Cenno sullo scopo dell’argomento. Integrali doppi su rettangoli: cenno della teoria. Definizione di integrabilita’ secondo Riemann. Esempi classici di funzioni integrabili e non. Intepretazione geometrica dell’integrale di Riemann: volume sotto il grafico di una funzione non negativa. Il critereo di Cauchy e l’integrabilita’ delle funzioni continue (senza dimostrazioni che sono uguali a quelli unidimensionali). Il principio diCavalieri-Lagrange per il calcolo di integrali doppi. Il teorema di riduzione per integrali doppi su rettangoli (senza dimostrazione). Commenti ed esempi per illustrare il teorema.

Lezione 20: [22/11/01] – Esercizi di riassunto prima della prova intermedia

Esercizi sul teorema di Dini: aspetti globali dello studio della funzione implicita e riassunto del caso di una superficie definite in modo implicito. Esercizi sugli estremi vincolati: come trovare i punti critici vincolati e come determinare gli estremi globali. Commenti sulle curve, integrali curvilinei, campi vettoriali.

Lezione 21: [11/12/01] – Integrali doppi su domini piu’ generali

Esercizi su integrali doppi su rettangoli. Definizione di integrabilita’ secondo Riemann per domini limitati nel piano. Insiemi di misura nulla secondo Peano-Jordan nel piano. Misurabilita’ di insiemi limitati nel piano. Esempi ed esercizi. Funzioni generalmente continue e l’integrabilita’ di esse (senza dimostrazione).Integrali doppi su domini normali e formule di riduzione per il calcolo (senza dimostrazione). Esempi ed esercizi.

Lezione 22: [12/12/01] – Integrali multipli e cambiamento di variabili

Teorema sulle proprieta’ principali dei integrali doppi: linearita’, monotonia, teorema della media, scomposizione dei domini (senza dimostrazione). Cenno sulla teoria di integrali multipli in R^n con n > 2. Teorema di riduzione per il calcolo di integrali tripli: riduzione per fili e per stati (senza dimostrazioni). Esercizi sul conto di integrali tripli. Formula di cambiamento di variabili in integrali multipli. Esempi classici nel piano (coordinate polarie cambiamento lineare di variabili). Esercizi.

Lezione 23: [13/12/01] – Cambiamento di variabili ed integrali multipli in senso generalizzato

Esempi classici nello spazio (coordinate cilindriche e sferiche). Esercizi sul conto di integrali tripli via cambiamento di variabili. Il ruolo di simmetria nel conto di integrali multipli – esercizi. Integrali multipli generalizzati nel caso dominio illimitato oppure funzione integranda illimitata. Definizioni ed esempi classici. Esercizi.

Lezione 24: [18/12/01]- I teoremi di Gauss, Green, Stokes nel piano

Domini normali regolari e domini regolari nel piano e le loro proprieta’. Orientazione positiva sul bordo. Le formule di Gauss-Green per domini normali regolari e domini regolari. Il teorema della divergenza per domini regolari. Il teorema di Stokes per domini regolari. Interpretazioni fisiche ed esercizi.

Lezione 25: [19/12/01] – Applicazioni dei teoremi di Gauss,Green, Stokes e superficie regolari

Calcolo di integrali doppi tramite integrali curvilinei e vice-versa, calcolo dell’area di un dominio regolare tramite le formule di Gauss-Green. Formule di integrazione per parti in integrali doppi su domini regolari. Definizione di superficie regolare parametrizzata ed esempi classici (superficie parametrizzata, grafici, insieme di livello). Piano tangente e retta normale per superfici regolari.

Lezione 26: [20/12/01] – Superficie ed integrali di superficie

Equazione del piano tangente ad una superficie regolare. Esempi classici. Definizione di area di una superficie regolare parametrizzata ed esempi classici. Cambiamento ammissibile di coordinati locali e parametrizzazioni equivalenti di una superficie regolare. Teorema sull’invarianza dell’area rispetto parametrizzazioni equivalenti (cenno sulla dimostrazione). Integrale di una funzione scalare su una superficie regolare. Esercizi.

Lezione 27: [08/01/02] - Superficie ed integrali di superficie

Esercizi di riassunto su superficie regolari e l'area di un superficie. Formula di Guldino per l'area di una superficie di roatzione, l'area di una superficie regolare a pezzi. Esercizi sugli integrali di superficie.

Lezione 28: [09/01/02] - Il teorema della divergenza nello spazio

Definizione ed esempi di superfici orientabili. Definizione ed esempi del calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata. Le formule di Gauss nello spazio. Il teorema della divergenza nello spazio per domini regolari. Esercizi sull'applicazione del teorema.

Lezione 29: [10/01/02] - Il teorema di Stokes nello spazio

Definizione di superficie regolare con bordo e superficie stokiana. Compatibilita' delle orientazioni una superficie
orientata con quella sul suo bordo. Esempi. Il teorema di Stokes (del rotore) nello spazio. Cenno sulla dimostrazione.
Esempi ed esercizi. Formule di integrazione per parti nello spazio.

Lezione 30: [15/01/02] - Esercizi su i teoremi di Gauss-Green, Stokes e della divergenza.

Formule intrinsiche per la divergenza ed il rotore di un campo vettoriale. Calcolo degli integrali di linea per forme differenziali lineari via il teorema di Stokes. Calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie (senza e con bordo) via il teorema della divergenza. L'uso di cambiamento di variabili, argomenti di simmetria nel calcolo di integrali multipli.

---

Seminari integrativi: Due lezioni sull'argomento "Funzioni Armoniche"

Lezione A1: [16/01/02] - Funzioni armoniche

Definizione di una funzione armoncia in un aperto di R^n. Motivazione: leggi di conservazione e funzioni olomorfe.
Esempi di funzioni armoniche: polinomi di grado uno, certi polinomi di grado due. Come si fa costruire piu' esempi:
struttura di spazio vettoriale delle funzioni armoniche in un dominio dato, composizione di una funzione armonica con una traslazione, traformazione lineare ortogonale, dilatazione. Invarianze dell'operatore Laplaciano rispetto queste trasformazioni. Funzioni armoniche invariante per traslazioni e rotazioni.

Lezione A2: [17/01/02] - Funzioni armoniche

Funzioni armoniche invariante per rotazione e la soluzione fondamentale del Laplaciano in dimensione n. Funzioni armoniche nel piano invariante per dilatazione ; il Laplaciano in coordinate polari. Il principio di massimo per le funzioni armoniche in un dominio compatto in R^n. Una funzione armonica e' determinata in modo unico dalla sua restrizione al bordo. La proprieta' del valor medio per le funzioni armoniche (dimostrazione in dimensione 3). Il principio di massimo forte per le funzioni armoniche in un dominio compatto e connesso.