- Calcolo integrale (secondo Riemann) per f: R → R Antiderivazione: l'integrale
indefinito e le principali
tecniche per il calcolo delle funzioni
primitive. Riemann-integrabilità per f:[a,b] → R, e l'integrale definito. Significato
geometrico dell'integrale. Condizioni di integrabilità (*). Proprietà dello spazio delle
funzioni integrabili e dell'integrale. Teorema del valor medio (*). La funzione integrale e
le sue proprietà. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (*) e le sue
conseguenze. Calcolo degli integrali definiti. Integrali impropri, condizioni di
convergenza, criterio del confronto (*). Funzioni integrali: studio qualitativo del grafico.
- Calcolo differenziale per f: R^n→ R^m Limiti,
continuità e problematiche connesse.
Derivate direzionali. Vettore gradiente e
matrice jacobiana. Differenziabilità. Iper-piano tangente. Condizioni necessarie (*) e/o
sufficienti (*) per la differenziabilità. Composizione di funzioni differenziabili.
Diffeomorfismi tra aperti di R^n. Derivate seconde, matrice hessiana, teorema di
Schwarz. Derivate direzionali di ordine k. Le funzioni di classe C^k. La formula di Taylor
(*). Ottimizzazione libera. Stazionarietà (*), punti estremanti e di sella. Utilizzo della
matrice hessiana per la classificazione dei punti estremanti.
- Successioni di funzioni Convergenza puntuale, funzione limite, problematiche connesse. Convergenza
uniforme e conseguenti risultati: teorema del doppio limite; continuità (*), integrabilità e
derivabilità della funzione limite. Completezza dello spazio delle funzioni continue.
Teorema di Banach-Caccioppoli (*).
- Serie di funzioni Convergenza puntuale, assoluta, uniforme, totale e relazioni reciproche (*). Criterio di
Cauchy per la convergenza uniforme. Serie di potenze, raggio di convergenza (*) e
criteri per determinarlo. Continuità della funzione somma (*) e teorema di Abel.
Integrazione e derivazione per serie: la serie derivata. Regolarità della funzione somma.
Funzioni analitiche; teorema di Taylor. Cenni alle serie di potenze in
C.
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Equazioni differenziali ordinarie Equazioni del primo ordine, forma normale, problema di Cauchy, teorema di Peano per
l'esistenza locale della soluzione. Equazione integrale di Volterra. Equivalenza tra il
problema di Cauchy e quello integrale di Volterra (*). Teoremi di esistenza e unicità
globale (*) e locale. Alcune tipologie di equazioni del I ordine: variabili separabili, lineari,
Bernoulli, Riccati, omogenee.
Equazioni di ordine k≥1: problema di Cauchy (*), risultati di esistenza e unicità delle
soluzioni. Equazioni lineari, omogenee e non: struttura dell'insieme delle soluzioni (*),
matrice wronskiana, metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Il caso dei coefficienti
costanti. Equazioni di Eulero.
(*): di questi argomenti è richiesta una dettagliata, e corretta, presentazione.
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Materiale didattico
Testo adottato: Analisi Matematica 2,
C. Maderna, II ediz., Città Studi Edizioni.
Altri testi:Principles of
Mathematical Analysis, W. Rudin, Mc Graw Hill.
Eserciziario:
Esercizi scelti di Analisi Matematica 2 e 3, C. Maderna, G. Molteni, M. Vignati, Città Studi Edizioni
Propedeucità
Analisi Matematica 1.
Siti del corso:http://www.mat.unimi.it/~peloso/Fisica/analisi2.html.
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