Corso di Laurea in Fisica

Analisi 3 --- a.a. 2008/09
Syllabus

Ultimo aggiornamento 10 settembre 2008.


Analisi 3
Codice:
Crediti: 7
Semestre: I
Anno accademico: 08/09

Docente: Marco Peloso
Ore di didattica: 64 totali, di cui 24 ore di Esercitazioni.
Modalità d'esame: prova scritta + prova orale.

 

Il ricevimento è fissato su appuntamento.

 


 

Programma del corso

  • Serie di funzioni e di potenze. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme, totale e loro relazioni(*). Test di Weierstress per la convergenza uniforme. Serie di potenze, raggio di convergenza(*). Criterio della radice e del rapporto. Continuitą della funzione somma(*), teorema di Abel; derivabilità e integrabilità termine a termine(*); analiticità della funzione somma(*). Serie di Taylor e criteri di sviluppabilità(*).
  • La misura di Lebesgue in R^n. La misura esterna: definizione e prime proprietà(*). La classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue e la sua struttura di sigma-algebra(*). Proprietą della misura di Lebesgue(*). Esistenza in R di un insieme non Lebesgue-misurabile(*).
  • Funzioni misurabili. Definizioni equivalenti(*). La nozione di proprietà valida quasi ovunque. Proprietą delle funzioni misurabili. Approssimazione con funzioni semplici(*).
  • L'integrale secondo Lebesgue. Il caso delle funzioni non-negative: definizione, proprietà, relazioni con la misura del sottografico(*). Funzioni di segno arbitrario: integrabilità(*). Integrazione per successioni di funzioni: convergenza monotona e convergenza dominata. Relazioni con l'integrale di Riemann.
  • Calcolo degli integrali multipli. I teoremi di G.Fubini e L.Tonelli. Diffeomorfismi. Cambiamento di variabili.
  • Funzioni implicite. Definizioni e primi risultati. Il teorema di U.Dini nel caso di 2 variabili reali(*). Regolaritą di ordine superiore al primo(*). Teorema del Dini nel caso generale. Invertibilità locale.
  • Ottimizzazione vincolata. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange(*) sia con vincolo scalare sia con vincolo vettoriale.
  • Superfici.
  • Integrazione lungo curve regolari. Definizione; lunghezza di una curva. Orientabilità. Nozione di lavoro di un campo vettoriale lungo una curva orientata.
  • Teoria del potenziale. Campi vettoriali e forme differenziali lineari su aperti di R^n: definizioni. Basi canoniche per lo spazio tangente ed il suo duale; rappresentazione di campi e forme differenziali. Integrale di una forma differenziale lungo una curva regolare orientata. Esattezza di una forma e condizioni equivalenti(*). Forme chiuse e relazioni con le forme esatte(*). Il lemma di Poincare' per gli insiemi stellati(*). Invarianza omotopica dell'integrale di una forma chiusa. Insiemi semplicemente connessi, chiusura ed esattezza.

 


Materiale didattico

Testo adottato: Analisi Matematica 2, N. Fusco, C. Marcellini, P. Sbordone, Liguori Editore.
Eserciziario: Esercizi scelti di Analisi Matematica 2 e 3, C. Maderna, G. Molteni, M. Vignati, Città Studi Edizioni
Altri testi: Lezioni di Analisi Matematica 2, C. Maderna, P. M. Soardi, Città Studi Edizioni
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Propedeucità: Analisi 1, Analisi 2.


Siti del corso:http://www.mat.unimi.it/~peloso/Fisica/analisi3.html.

 


 

 

 

 

 

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