Ultimo aggiornamento
10 settembre 2008.
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Analisi 3
Codice:
Crediti: 7
Semestre: I
Anno accademico: 08/09
Docente: Marco Peloso
Ore di didattica: 64 totali,
di cui 24 ore di Esercitazioni.
Modalità d'esame: prova scritta + prova orale.
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Il ricevimento è fissato su appuntamento.
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Programma del corso
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- Serie di funzioni e di potenze. Convergenza puntuale, assoluta,
uniforme, totale e loro relazioni(*). Test di Weierstress per la
convergenza uniforme. Serie di potenze,
raggio di convergenza(*). Criterio della radice e del rapporto. Continuitą della funzione somma(*),
teorema di Abel; derivabilità e integrabilità termine a termine(*); analiticità della funzione somma(*).
Serie di Taylor e criteri di sviluppabilità(*).
- La misura di Lebesgue in R^n. La misura esterna: definizione e prime proprietà(*). La classe degli
insiemi misurabili secondo Lebesgue e la sua struttura di sigma-algebra(*). Proprietą della misura di Lebesgue(*). Esistenza in R di un insieme non Lebesgue-misurabile(*).
- Funzioni misurabili. Definizioni equivalenti(*). La nozione di proprietà valida quasi ovunque.
Proprietą delle funzioni misurabili. Approssimazione con funzioni semplici(*).
- L'integrale secondo Lebesgue. Il caso delle funzioni non-negative: definizione, proprietà, relazioni con
la misura del sottografico(*). Funzioni di segno arbitrario: integrabilità(*). Integrazione per successioni di
funzioni: convergenza monotona e convergenza dominata. Relazioni con l'integrale di Riemann.
- Calcolo degli integrali multipli. I teoremi di G.Fubini e L.Tonelli. Diffeomorfismi. Cambiamento di
variabili.
- Funzioni implicite. Definizioni e primi risultati. Il teorema di U.Dini nel caso di 2 variabili reali(*).
Regolaritą di ordine superiore al primo(*). Teorema del Dini nel caso generale. Invertibilità locale.
- Ottimizzazione vincolata. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange(*) sia con vincolo scalare sia con
vincolo vettoriale.
- Superfici.
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Integrazione lungo curve regolari. Definizione; lunghezza di una curva. Orientabilità. Nozione di
lavoro di un campo vettoriale lungo una curva orientata.
- Teoria del potenziale. Campi vettoriali e forme differenziali lineari su aperti di R^n: definizioni. Basi
canoniche per lo spazio tangente ed il suo duale; rappresentazione di campi e forme differenziali. Integrale
di una forma differenziale lungo una curva regolare orientata. Esattezza di una forma e condizioni
equivalenti(*). Forme chiuse e relazioni con le forme esatte(*). Il lemma di Poincare' per gli insiemi stellati(*). Invarianza omotopica dell'integrale di una forma chiusa. Insiemi semplicemente connessi, chiusura ed
esattezza.
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Materiale didattico
Testo adottato: Analisi Matematica 2,
N. Fusco, C. Marcellini, P. Sbordone, Liguori Editore.
Eserciziario:
Esercizi scelti di Analisi Matematica 2 e 3, C. Maderna, G. Molteni, M. Vignati, Città Studi Edizioni
Altri testi: Lezioni di Analisi Matematica 2, C. Maderna, P. M. Soardi, Città Studi Edizioni.
Propedeucità:
Analisi 1, Analisi 2.
Siti del corso:http://www.mat.unimi.it/~peloso/Fisica/analisi3.html.
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marco.peloso@mat.unimi.it
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