Corso di Laurea in Fisica

Analisi 3 --- a.a. 2010/11
Syllabus

Ultimo aggiornamento 15 ottobre 2010.
Analisi 3
Codice:
Crediti: 6
Semestre: I
Anno accademico: 10/11

Docente: Marco Peloso
Ore di didattica: 52 totali, di cui 20 ore di Esercitazioni.
Modalità d'esame: prova scritta + prova orale.

 

Il ricevimento è fissato su appuntamento.

 

 

Programma del corso (a partire dallo scorso a.a.)

  • Funzioni implicite. Definizioni e primi risultati. Il teorema di U.Dini nel caso di 2 variabili reali(*). Regolarità di ordine superiore al primo(*). Teorema del Dini nel caso generale. Invertibilità locale.
  • Ottimizzazione vincolata. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange(*) sia con vincolo scalare sia con vincolo vettoriale.
  • La misura di Lebesgue in R^n. La misura esterna: definizione e prime proprietà(*). La classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue e la sua struttura di sigma-algebra(*). Proprietà della misura di Lebesgue(*). Esistenza in R di un insieme non Lebesgue-misurabile(*).
  • Funzioni misurabili. Definizioni equivalenti(*). La nozione di proprietà valida quasi ovunque. Proprietà delle funzioni misurabili. Approssimazione con funzioni semplici(*).
  • L'integrale secondo Lebesgue. Il caso delle funzioni non-negative: definizione, proprietà, relazioni con la misura del sottografico(*). Funzioni di segno arbitrario: integrabilità(*). Integrazione per successioni di funzioni: convergenza monotona e convergenza dominata. Relazioni con l'integrale di Riemann.
  • Calcolo degli integrali multipli. I teoremi di G.Fubini e L.Tonelli. Diffeomorfismi. Cambiamento di variabili.
  • Superfici.Superfici regolari. Coordinate locali e cambiamento di parametri. Versore normale. Area di una superficie. Superfici orientabili e superfici con bordo. Integrale di superficie. Teoremi di Stokes e della divergenza.
  • Integrazione lungo curve regolari. Definizione; lunghezza di una curva. Orientabilità. Nozione di lavoro di un campo vettoriale lungo una curva orientata.
  • Teoria del potenziale. Campi vettoriali e forme differenziali lineari su aperti di R^n: definizioni. Basi canoniche per lo spazio tangente ed il suo duale; rappresentazione di campi e forme differenziali. Integrale di una forma differenziale lungo una curva regolare orientata. Esattezza di una forma e condizioni equivalenti(*). Forme chiuse e relazioni con le forme esatte(*). Il lemma di Poincare' per gli insiemi stellati(*). Invarianza omotopica dell'integrale di una forma chiusa. Insiemi semplicemente connessi, chiusura ed esattezza.

 

Materiale didattico

Testo adottato: Analisi Matematica 2, N. Fusco, C. Marcellini, P. Sbordone, Liguori Editore.
Complementi di Analisi, C. Maderna, P.M. Soardi, (file pdf scaricabile).
Eserciziario: Esercizi scelti di Analisi Matematica 2 e 3, C. Maderna, G. Molteni, M. Vignati, Città Studi Edizioni
Altri testi: Lezioni di Analisi Matematica 2, C. Maderna, P. M. Soardi, Città Studi Edizioni.


Propedeucità: Analisi 1, Analisi 2.


Siti del corso:http://www.mat.unimi.it/~peloso/Fisica/analisi3.html.

 

 

 

 

 

 

home

marco.peloso@mat.unimi.it