Laurea Magistrale in Matematica

Analisi di Fourier

a.a. 2016/17, primo semestre

Aggiornato il 20 settembre 2016.



Semestre: I
Anno accademico: 16/17

Docenti: Marco Peloso e Maura Salvatori
Ore di didattica: 42
Periodo delle lezioni: 26 settembre - 20 dicembre 2016.
Orario delle lezioni: lunedì 10:30-12:30, mercoledì 13:30-15:30 aula 7.
Modalità d'esame: prova orale.

 


 

Materiale didattico


 

Programma D'ESAME

  • Introduzione. Il toro 1-dimensionale. Funzioni periodiche e serie trigonometriche. [K]
  • Coefficienti di Fourier e loro principali proprietÓ. Convergenza in $L^2$, teorema di Parseval. [K]
  • Nuclei di sommabilità. I nuclei di Dirichlet, Fejér, Poisson. SommabilitÓ secondo CesÓro e secondo Abel-Poisson. [K]
  • Funzioni armoniche in un disco: problema di Dirichlet, convergenza radiale, unicitÓ della soluzione. [S-S]
  • Convergenza e sommabilità puntuale: test del Dini, teorema di Dirichlet ([K], [S-S]). Il fenomeno di Gibbs.
  • La trasformata di Fourier in $R^n$: teoria $L^1$, $L^2$. [P]
  • Funzioni di Schwartz in $R^n$. Lo spazio delle distribuzioni temperate, loro trasformata di Fourier e altre operazioni. [P]
  • Decomposizione di Calderon-Zygmund di una funzione $L^1$. [P]
  • Trasformata di Hilbert e limitatezza $L^p$. [P]
  • Integrali singolari in $R^n$. [P]
  • Spazi di Sobolev. [P]
  • Gli operatori classici della fisica matemmatica. [P]
  • La trasformata di Fourier in Lp con 1< p<2. [K]
  • Convergenza in norma delle serie di Fourier: funzione coniugata, e il Teorema di Riesz. [K]
  • Moltiplicatori di Fourier: corpi convessi e la sfera ([S], [P]).
  • La formula di sommazione di Poisson ([K]). Il principio di indeterminazione di Heisenberg ([Kr], [S-S]). Il teorema di campionamento di Shannon. [So]
Bibliografia

Testi di riferimento:
  • [K] Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover 2nd edition, New York 1976.
  • [P] Appunti del corso per l' a.a. 15/16.
  • [So] P.M. Soardi, Appunti sulle Ondine, (disponibili online).
  • [S-S] E. Stein e R. Shakarchi, Fourier Analysis, an Introduction, Princeton University Press, Princeton 2003.
  • [S-W] E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton Univ. Press, Princeton 1971.
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Altri testi:
  • J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics 29, American Mathematical Society, Rhode Island 2001.
  • L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, GTM 249, Springer-Verlag Ed.
  • E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ. Press, Princeton 1970.

 


 

 

 

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