1) prerequisiti sulle equazioni differenziali: * Definizione di soluzione, riduzione di sistemi di ordine qualsiasi a sistemi del primo ordine autonomi. * Problema di Cauchy, enunciato del teorema di esistenza ed unicita' e sviluppo in serie di potenze delle soluzioni (analiticita' delle soluzioni). * Prolungamento delle soluzioni: applicazioni teorema stima a priori crescita sublineare delle soluzioni (logistica ed eq. Newton conservative). 2) Sistemi Dinamici *Ritratto di fase dei sistemi autonomi del primo ordine in una variabile reale. *Sistemi lineari: esponenziale di una matrice ed operatore di evoluzione. Classificazione sistemi piani. Soluzione generale nel caso di matrice diagonalizzabile. *Ritratto di fase dei sistemi autonomi del secondo ordine in una variabile reale. *Stabilita' alla Lyapunov: definizioni. Teoremi di stabilita' per sistemi lineari: caso diagonalizzabile (con dimostrazione) e non (con esempi). *Derivata di Lie e costanti del moto. *Stabilita' sistemi non lineari: "secondo" teorema di Lyapunov (metodo diretto), ovvero l'esistenza di una funzione di Lyapunov implica la stabilita' (enunciato e dimostrazione). Generalizzazioni: luogo degli zeri della derivata di Lie. *Linearizzazione attorno ad un punto di equilibrio. Primo teorema di Lyapunov sulle relazioni tra stabilita' lineare e stabilita' non lineare (con parziale dimostrazione, caso autovalori parte reale negativa). Bibliografia consigliata: In generale, le dispense del prof. Giorgilli sono il testo di riferimento. Per la prima parte, puo' risultare un ottimo supporto il testo Pagani-Salsa, Analisi Matematica Vol 2, cap. 4 Altri riferimenti in lingua inglese possono essere i seguenti: [Brau] M. Braun, Differential Equation and Their Applications, Springer-Verlag, fourth edition. (Commento: cap 4.10 per Lotka-Volterra; cap 4.11, 4.12 e 4.13 per appro- fondimenti su epidemiologia e dinamica popolazioni. Appendice C per programmi in C.) [CoddLev] E.A. Coddington, N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equation, Int. Ser. in Pure and Applied Math.. (Commento: cap 13 per stabilit ́ asintotica in asistemi non lineari; cap 15 per classificazione e perturbazione di sistemi piani; cap 16 per approfondimenti su insiemi limite e teoria Poincar`-Bendixson.) [ArnODE] V.I.Arnol’d, Ordinary Differential Equation, Springer-Textbook, third edi- tion. (Commento preso dal libro: “There are dozens of books on ODEs, but none with the elegant geometric insight of Arnol’d’s book”.) [HirSma] M.W. Hirsch, S. Smale, Differential Equation, Dynamical Systems and Linear Alge- bra, Academic Press, Inc... (Commento: cap. 5 e 6 per la teoria generale dei sistemi lineari in Rn . Cap. 9 per stabilit ́ alla Lyapunov. Cap. 12 per ecologia.) [Str] S.H. Strogatz. Nonlinear dynamics and chaos : with applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Addison-Wesley Publishing Company. (Commento: testo “divulgativo” con diversi esercizi ed interessanti applicazioni.)