TOPOLOGIA ALGEBRICA 

Docenti: Cristina TURRINI e Marina BERTOLINI

Programma in italiano

Omologia singolare, significato geometrico di H0 e H1.
Omologia della coppia di spazi topologici. Successione esatta di omologia relativa.
Successione esatta di Mayer Vietoris.
Esempi di calcolo di gruppi di omologia.  Applicazioni dell’omologia delle sfere. Teorema di invarianza della dimensione e del bordo. Generalizzazione del teorema della curva di Jordan.
Richiami sui CW-complessi di tipo finito. Omologia cellulare ed esempi di calcolo.
Funzioni di Morse. Il lemma di Morse. Il I e II teorema di Morse. Il teorema di Reeb. Varietà differenziabili compatte e CW complessi finiti. Disuguaglianza e uguaglianza di Morse.
Prodotto Cup. Anello di coomologia. Esempi. Il teorema dei coefficienti universali.

Programma in inglese

Singular homology. Geometric meaning of  H0 e H1.
Topological pairs and relative homology. The long exact sequence in relative homology. Mayer Vietoris exact sequence. 
Examples. Applications of the homology of spheres. 
The invariance of dimension and of the boundary.  Generalized Jordan curve theorem.
CW-complex of finite type. The cellular homology complex. Examples of cellular homology.
Morse Functions. Morse Lemma. Morse theorems I and II. Reeb theorem.  Differentiable compact manifolds and CW complexes .  Morse's inequality and equality.
Cup product. The cohomology ring. Examples. The universal coefficient theorem.

Propedeuticità consigliate

Geometria 5

Materiale di riferimento

- M. J. Greenberg, J. R. Harper, Algebraic Topology. A First Course, The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1981.
- A. Hatcher, Algebraic Topology, online version.
- J. Milnor, Morse Theory, Annals Study 51. Princeton Univ. Press, Princetone, 1963.