C.L. in Matematica/ Matematica per le Applicazioni

                        Universita' di Milano - Anno Academico 2002/2003

                                             Prof. K. R. Payne
 
 

Lezioni 1-2: [25/02/02] – Presentazione del corso e il principio di massimo in una dimensione:

Esempi di principi di massimo. Tipi di equazioni differenziali. Domande di base nel campo di equazioni differenziali. Tipi di equazioni differenzili che soddisfano un principio di massimo. Il principio di massimo forte/debole in una dimensione per l'equazione L[u] = u'' + g(x)u' = f(x) con f nonnegativo. Il lemma di Hopf per tale equazione.

Lezione 3: [27/02/03] - Il principio di massimo in una dimensione.

Dimostrazione del Lemma di Hopf. Principio di massimo per l'equazione (L + h)[u] = u'' + g(x)u' + h(x)u = f(x)
con f nonnegativo. Esempi di motivazione e dicussione sul segno di u ed h. Principio di massimo nel caso h nonpositivo.

Lezioni 4-5: [04/03/03] - Il principio di massimo generalizzato ed unicita' in una dimensione.

Il principio di massimo generalizzato per l'equazione (L + h)[u] = f(x) con f nonnegativo  ma senza ipotesi sul segno di h
(il caso generale di equazioni lineari del secondo ordine). Dimostrazione e conseguenze (vincoli sulla oscillazione delle soluzioni). Unicita' per il problema di Cauchy  nel caso generale. Unicita' per il problema di Dirichlet nel caso h nonpositivo. Osservazioni sul caso generale e altre condizioni del bordo (problema di Neumann).

Lezioni 6-7: [11/03/03] - Sopra/sottosoluzioni per il problema di Dirichlet in una dimensione.

Motivazione e definizione di sopra/sottosoluzione per il problema di Dirichlet per l'equazione (L + h)[u] = f(x).
Stime a priori punto per punto in termine di sopra/sottosoluzioni (nel caso h nonpositivo). Costruzione esplicita di sopra/sottosoluzioni e stime apriori uniforme, unicita', dipendenza continua sui dati. Il caso generale (h limitata): stime a priori punto per puntotramite sopra/sottosoluzioni. Sopra/sottosoluzioni ordinate.

Lezione 8: [13/03/03] - Sopra/sottosoluzioni per il problema di Cauchy ed operatori semilineari

Definizione e stime a priori punto per punto per l'equazione (L + h)[u] = f(x) con conditioni di Cauchy.
Definizione di sottosoluzione w per l'equazione semilineare u'' + H(x,u,u') = 0 con l'ipotesi H descrescente in u.
Prime osservazioni. Principio di massimo per la differenza w - u. Sopra/sottosoluzioni per l'equazione semilineare con condizioni di Dirichlet e stime a priori puntoper punto.

Lezioni 9-10: [18/03/03] – Il problema dell’autovalore in una dimensione

Definizione di autovalore, autofunzione con condizioni di Dirichlet al bordo. Prime osservazioni. La funzione peso e il suo ruolo. Stime sullo spettro in termine dei coefficienti nella equazione. Teorema sulla esistenza di autovalore principale nel caso della equazione: [L + h + lambda k]u = 0 con condizioni di Dirichlet. Dimostrazione tramite un argomento di “shooting” con l’autovalore come parametro.

Lezione 11: [20/03/03] – Il principo di massimo per equazioni ellittiche

L’operatore di Laplace (il laplaciano) in R^n, le equazioni di Laplace e Poisson. Principio di massimo/minimo “super forte” per il laplaciano stettamente positiva/negativa. Interpretazione fisica della equazione di Laplace . L’equazione come esempio di legge di conservazione. Richiami sul teorema della divergenza e il teorema di “vanishing” per funzioni continue.

Lezione 12: [27/03/03] - Funzioni armoniche e la proprieta' del valor medio

La proprieta' del valor medio rispetto alle palle e sfere (MVP1 e MVP2). Il principio di massimo forte per funzioni con la proprieta' del valor medio. Funzioni armoniche soddifano MVP1 e MVP2 e quindi anche il principio di massimo/minimo forte.

Lezioni 13-14: [01/04/03] - Misura ed integrazione in R^n

Richiami sulla integrazione secondo Riemann e Lebesgue in R^n. Misura ed integrazione su k-varieta'. Definizioni e prime proprieta'. Coordinate polari in R^n e la formula di co-area.

Lezione 15: [03/04/03] - Calcolo della misura di palle, sfere.

Proprieta' di omogeneita' rispetto il raggio, variazione del volume di B_r rispetto ad r. La funzione gamma di Eulero e il volume della palla unitaria in R^n.

Lezioni 16-17: [08/04/03] - Funzioni armoniche

Richiami sulla proprieta' del valor medio ed il principio di massimo. Regolarita' della funzione armoniche via la proprieta' del valor medio e mollificazione. Unicita' per il problema di Dirichlet per domini limitati (commenti sul caso illimitato).
Stima sulle derivate prime di una funzione armoniche nell'interno. Teorema di Liouville.

Lezione 18: [10/04/03] - Funzioni armoniche

Stime a priori su tutte le derivate di una funzione armoniche. Analiticita' delle funzioni armoniche. Disuguaglianza di Harnack. Teorema di convergenza di Harnack.

Lezioni 19-20: [29/04/03] - Esistenza di soluzioni per il problema di Dirichlet per il laplaciano.

Le identita' di Green. Soluzioni fondamentali per il laplaciano in R^n con n > 1e prime proprieta'. Formula di rappresentazione di Green per funzioni regolari. Le funzioni di Green. Costruzione di una funzione di Green per una palla B_R via l'inversione rispetto la sfera di raggio R e prime proprieta'. Teorema sulla esistenza di una funzione armonica su B^R con data di Dirichlet continua sul bordo.

Lezioni 21-22: [06/05/03] - Funzioni subarmoniche ed il metodo di Perron

Definizione di u subarmoniche/superarmoniche per u di classe C^2. Proprieta' delle funzioni subarmoniche regolari e la definzione di u subarmonica/superarmonica per u solo continua. Proprieta' delle funzioni subarmoniche continue.
Lemma di sollevimento armonico. Definizione di subfunzione relativa ad una funzione g al bordo. Teorema di Perron: l'estremo superiore delle subfunzioni relative ad g e' armonica. Lemma sul comportamento della funzione di Perron al bordo: funzione barriere e punti regolari al bordo.

Lezione 23: [08/05/03] - Esistenza per il problema di Dirichlet via il metodo di Perron

Dimostrazione del Lemma di Perron al bordo. L'esistenza di funzioni barriere e la condizione di sfera esterna.
Teorema di esitenza di una funzione armonica con g continua al bordo per domini regolari.

Lezioni 24-25: [13/05/03] - Operatori ellittici di secondo ordine

Definizione di ellitticita' e ellitticita' uniforme per L un operatore alle derivate parziali di secondo ordine e lineare. Esempi ed osservazioni. Il principio di massimo "superforte" e il PdM debole per operatori uniformemente ellittici con coefficiente c(x) di ordine zero nonnegativo. Unicita' per il problema di Dirichlet.

Lezioni 26-27: [20/05/03] - Il principio di massimo forte ed il principio di massimo generalizzato

Lemma di Hopf per operatori uniformemente ellittici con c(x) nonnegativo per domini con la condizione di sfera interna al bordo. Principio di massimo forte per tali operatori. Applicazioni del PdM forte: principio di confronto ed unicita' per problemi al contorno. Il principio di confronto di Serrin (senza ipotesi sul segno di  c(x)). Il principio di massimo generalizzato per operatori ellittici.

Lezione 28: [22/05/03] - Il principio di massimo generalizzato ed applicazioni

Il PdMG per domini stretti. Unicita' per il problema di Dirichlet senza ipotesi sul segno di c(x). Sopra/sottosoluzioni e stime a priori per le soluzioni del problema di Dirichlet.

Lezioni 29-30: [27/05/03] - Stime a priori per equazioni ellittiche

Stime sugli autovalori per operatori uniformemente ellittici con condizioni di Dirichlet al bordo. Stima uniforme per una soluzione regolare del problema di Dirichlet. Stima uniforme e globale per il gradiente di una soluzione molto regolare del problema di Dirichlet. 

Lezione 31: [29/05/03] - Stime a priori e soluzioni deboli per equazioni ellittiche

Fine della dimostrazione sulla stime sul gradiente. Derivate in senso debole: motivazione e formule di integrazione per parti. La derivata in senso debole per funzioni continue oppure localmente integrabile. Esempi.