Diario delle lezioni di Istituzioni di Matematiche
                                            C.L. in Informatica
                        Universita' di Milano - Anno Academico 2002/2003

                                             Prof. K. R. Payne
 
 


Lezione 1: [03/03/03] – Presentazione del corso e richiami su notazioni e concetti di base:

Insiemi numerici. I numeri naturali N: insiemi finiti ed insiemi infiniti, sottoinsiemi propri di N in correspondenza biunivoca con N, insiemi numerabili. I numeri interi relativi Z. I numeri razionali Q e prime proprieta': Q e' numerabile ed e' campo ordinato. Rappresentazione decimale di numeri razionali. I numeri reali R via rappresentazione decimale. R come campo ordinato completo che contiene Q (che non e' completo). Intervalli in R. Definizione di maggiorante, minorante, massimo, minimo e limitatezza di sottoinsiemi di R.

Lezione 2: [04/03/03] - L'estremo superiore/inferiore e funzioni da R in R:

Definizione del estremo superiore/inferiore per sottoinsiemi di R. Teorema sulla proprieta' dell'estremo superiore/inferiore con dimostrazione tramite la completezza di R. Esempi ed esercizi, definizione equavalente del sup/inf di un insieme dato.
Q e' denso in R: enunciato e discussione. Funzioni: dominio, codominio, immagine, grafico di una funzione. Prime proprieta': iniettivita', suriettivita', invertiblita', monotonia. Esempi.

Lezione 3: [10/03/03] - Funzioni da R in R

Teorema sulla monotonia in senso stretto e invertibilita'. La restrizione di una funzione ad un sottoinsieme del
dominio. Esempi. Limitatezza e convessita' di funzioni. Esempi ed esercizi. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari
e le loro proprieta': potenze ad esponente naturale/intero/razionale/reale, esponenziali e logaritmi in base a positivo
diverso da 1.

Lezione 4: [12/03/03] - Funzioni da R in R

Esercizi su logaritmi, esponenziali. L'esponenziale e logaritmo naturale. Definizione del costante di Nepero "e".
Funzioni trigonometrici. Definizione di sin(x), cos(x) come funzioni circolari. Prime proprieta': limitatezza, simmetria (pari/dispari), periodicita', identita' di Pitagora, grafici. Definizione di tan(x) e le sue proprieta'. Esercizi su valori delle funzioni trigonometriche e disequazioni. Costruzione delle funzioni inverse arcsin(x), arccos(x), arctan(x).

Lezione 5: [17/03/03] - Alcune disugaglianze e numeri complessi

Alcune disuguaglianze in campo reale ed esercizi sull’estremo superiore inferiore. L’idea di stimare una funzione composta. Il campo complesso. Forma algebrica e trigonometrica di un numero complesso: modulo e argomento principale di un numero complesso. Prodotti, potenze, e radici di numeri complessi.  Esempi ed esercizi.

Lezione 6: [19/03/03] – Successioni a valori reali ed esercizi di riassunto per il primo compitino

Definizione di successione come funzione da N in R. Esempi e grafici di successioni. Limitatezza di una successione: estremo supeiore, inferiore di una successione esempi. Monotonia per una successione: prime osservazioni ed esempi. Esercizi sulla invertibilita’ di una funzione e calcolo della funzione inversa. Esercizi sull’estremo/superiore/massimo/minimo di un insieme.

Lezione 7: [24/03/03] - Limiti di successioni.

Limite di una successione: idea intuitiva e definizione di limite. Esempi. Osservazioni sulla definizione di limite/successione convergente. Esempi. Successioni divergenti. Successioni regolari/irregolari. Teorema sulla regolarita' delle successioni monotone. Primi limiti notevoli. Strumenti per il calcolo di limiti: criterio del confronto, operazioni algebriche. Esempi e commenti. Forme di indecisione.

Lezione 8: [26/03/03] - Calcolo di limiti

Successioni infiniti ed infinitesimi. Proprieta' algebiche delle successioni infiniti/infinitesimi. Esempi. Limiti notevoli: formule di limite con potenze, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche. Il numero “e” e forme di indicisione 1^(infinito). Esempi ed esercizi. Criterio del rapporto. Limiti notevoli: infiniti di ordine crescente

Lezione 9: [31/03/03] - Successioni definite per ricorrenza

Definizione ed impostazione del problema di analizzare un processo iterativo. Esempio della progressione geometrica.
Metodo implicito per l'analisi di una successione definita per ricorrenza: punti fissi, monotonia, linitatezza.
Esempi. L'algoritmo di Erone.

Lezione 10: [02/04/03] - Limiti di funzioni e continuita'

Il concetto del limite, esempi ed osservazioni. Limite destro/sisistro. Prime proprieta' del limite: unicita', limitatezza locale,
permanenza del segno. Strumenti per il calcolo: criterio del confronto, proprieta' algebriche, forme di indicisione.
Esistenza del limite per funzioni limitate e monotone. Definizione di continuita' in un punto/in un'insieme. Primi esempi: continuita' delle funzioni elementari sul loro dominio. Tipi di discontinuita': discontinuita' eliminabile, punto di salto, discontinuita' di seconda specie, esempi ed esercizi.

Lezione 11: [07/04/03] - Continuita'

Proprieta' algebiche e composizione di funzioni continue. Teorema degli zeri: enunciato, osservazioni sull'ipotesi, dimostrazione via il metodo di bisezione. Esempi ed esercizi. Teorema dei valori intermedi: enunciato e dimostrazione.
Continuita' di una funzione inversa.

Lezione 12: [09/04/03] - Derivate

Motivazione per il concetto della derivata di una funzione. Definizione di derivabilita' in un punto ed in un insieme.
Derivata destra/sinistra. Primi esempi: funzioni costanti, affine, il valor assoluto, sin(x), cos(x), potenze. Regole di derivazione. Velocita' ed accelerazione istantanea. La retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Esempi.

Lezione 13: [28/04/03] - Derivate e applicazioni delle derivate

Esercizi di riassunto: calcolo delle derivate, equazione della retta tangente, derivata di una funzione inversa. Derivabilita' e continuita'. Esempi di funzioni continue ma non derivabile: punti angolosi e cuspidi. Estremi locali e globali. Il teorema di Fermat sugli estremi locali: enuncaito, dimostrazione, osservazioni sulle ipotesi

Lezione 14: [30/04/03] - Applicazioni delle derivate

I teoremi di Rolle e Lagrange. Legami fra la monotonia di una funzione il segno della prima derivata. Convessita' di una funzione e la seconda derivata. Punto di flesso. Esempi ed esercizi. Asintoti verticali, orizzontali, obliqui. Definizioni ed esempi.

Lezione 15: [05/05/03] - Applicazioni delle derivate

Limiti notevoli che risultano dalle formule di derivazione. Il teorema di De l'Hopital. Esempi ed esercizi.

Lezione 16: [07/05/03] - La formula di Taylor

La formula di Taylor di ordine n con resto di Peano. Il polinomio di Taylor. Esempi di sviluppi di Taylor e MacLaurin per funzioni elementari. I simboli di Landau "o" e "~". Prime proprieta'

Lezione 17: [12/05/03] - La formula di Taylor

Come costruire il polinomio di Taylor tramite sviluppi noti ed operazioni algebriche. Applicazione della formula di Taylor per il calcolo di limiti in forma di indecisione. Esempi ed esercizi. La formula di Taylor con resto di Lagrange. Stime sull'errore in una approsimazione di Taylor.

Lezione 18: [14/05/03] - Serie numeriche

Definizione di serie numeriche, successione di somme parziali, somma di una serie. Tipi di serie: convergente, divergente, irregolare. Esempi fondamentali: serie geometrica (ed applicazione alla representazione decimale di numeri razionali), serie di Mengoli, serie armonica, serie armonica generalizzata. L'idea di confronto per decidere la convergenza di una serie.

Lezione 19: [19/05/03] - Serie numeriche

Osservazioni sulle serie: legami fra il termine generale e la successione di somme parziali. Condizione necessarie per la convergenza. Esempi. Operazioni algebiche sulle serie. Criteri di convergenza per serie a termini nonnegativi: criterio del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice. Esempi ed esercizi.

Lezione 20: [21/05/03] - Serie numeriche ed il problema dell'area

Convergenza assoluta e semplice (condizionale) per serie con termini qualsiasi. Serie alternate e il criterio di Leibniz con stime sulla somma parziale. Esempi. Il problema dell'area di un sottografico per una funzione positiva. Il metodo di esaustione per il suo calcolo che porta verso il concetto dell'integrale definito. Esempi di calcolo dell'area.

Lezione 21: [26/05/03] - L'integrale di Riemann

L'integrale di Riemann per funzioni limitate su intervalli limitati: somme ed integrali superiori/inferiori e la definizione di integrabilita' secondo Riemann. Esempi di funzioni limitate integrabili e non (funzione di Dirichlet). Classe di funzioni integrabili secondo Riemann: funzioni continue, monotone, continue a tratti su [a,b] limitato. Il criterio di Cauchy per l'integrabilita'. Prime proprieta' dell'integrale: legame con il problema dell'area, additivita' rispetto al dominio, il valor medio. Teorema fondamentale del calcolo integrale: enunciato ed applicazione al calcolo di integrali definiti.

Lezione 22: [28/05/03] - L'integrale indefinito ed integrali impropri

Dimostrazione del TFCI. Funzioni integrali come primitive per funzioni continue. Esempi e controesempi. Caratterizzazione delle primitive di una funzione. L'integrale indefinito. Tecniche di integrazione: per inspezione, per scomposizione, per sostituzione, per parti. Esempi e commenti. Il problema di integrali impropri per funzioni su intervalli illimitati e per funzioni illimitate. Definizione e calcolo di integrali impropri. Confronto fra serie numeriche ed integrali impropri su intervalli illimitati.